Décharge d’un condensateur

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1 Décharge d’un condensateur
À t<0 le condensateur était chargé : tension U0 et charge q0=CU0 À t=0 le commutateur K est fermé Équation différentielle Éq. de contour avec i=C duc/dt : RC.duc/dt + uc = 0 Éq. 1er ordre – circuit 1er ordre, racine caractéristique p = -1/(RC) = -1/ avec  = RC temps de relaxation La solution pour t>0 Forme de solution uc(t) = A e pt = A e-t/RC À t=0, uc(t) = U0  A=U0 uo uc(t) K R C uo t uc  — e L’ énergie du champ électrique dans le condensateur se transforme en chaleur dissipé sur le résistance

2 Établir le courant - circuit R-L
À t=0 le commutateur K est fermé : iL+ = iL- = 0 Équation différentielle Avec uL=L di/dt : L.di/dt + R.i = E Éq. 1er ordre – circuit 1er ordre, racine caractéristique p = -R/L = -1/   = L / R : temps de relaxation La solution permanente : iP(t) = E/R Solution pour t>0 : i(t) = E/R + A e-tR/L t=0  A = - E/R i(t) R L E K + _ E/R t i(t) uL(t) = E.e-t/

3 Circuit RLC en série Équation différentielle 2ème ordre
Conditions initiales t=0+: io , qo (tension uo sur condensateur) Équation différentielle 2ème ordre Éq.avec i=C duc/dt et uL=L di/dt =LC d2uc/dt2: uL+uR+uC = LC.d2uc/dt2 + RC.duc/dt +uc = 0 Utiliser pulsation propre o=(LC)-½ [rad/s] et facteur de qualité Q = oL / R = (oRC)–1 ,, o , on a: uc +–– uc + o uc = Q Eq.caractéristique: (2 = 4.L/C : réristance critique) LC.p2 + RC.p + 1 = 0   = C2(R2 - 4.L/C) = C2(R2 -2) ou p2 +(o/Q)p + o2 = 0   =o2(1/(4Q2) -1) i R L C uR uL uC

4 Circuit RLC … Deux racines réelles p1, p2 (distinctes) Solution (sur)amortie (régime apériodique): Condition >0 : R >  = 2 L / C ou Q < ½ Racines négatives p1= - ; p2= - (<) Temp de relaxation  = 1 /   x(t) = A1e p1t + A2e p2t (pour t>0) Amortissement critique (régime apériodique): - racines duplex p1= p2 = - =0 : R =  ou Q = ½  p = -o = (LC)-½  = 1 / o (le plus court) x(t) = (At + B) e-ot

5 Visualisation p1 = - A1e-t p2 = - (> ) A2e- t
Ref.1 Visualisation Visualisation de itd(t) pour [0, 5] avec  = 1/  p1 = - A1e-t p2 = - (> ) A2e- t Réponse globale - amortie A1>A2 Existance d'un extrémum A1<A2

6 Circuit RLC … Deux racines complexes conjuguées solution sous-amortie (régime pseudo-périodique) <0 : R <  ou Q < ½ : p1,2 = - ± j. Amortisement :  = 1/ = 2L / R = 2Q / o x(t) = C.e-t.cos(t+ ) (khi t>0) oscillation électrique ou x(t) = e-t (K1cost + K2sint) 5 Xmax -xmax C y x Visualisation en mode XY