M. Hebal Aziz1, M. Remini Boualem2

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1 M. Hebal Aziz1, M. Remini Boualem2
CHOIX DE LA LOI THÉORIQUE LA MIEUX ADAPTÉE A LA PRÉDÉTERMINATION DES CRUES (CAS DE L’EST ALGÉRIEN) M. Hebal Aziz1, M. Remini Boualem2 1 Département des sciences agronomiques - Université 20 août 1955 de Skikda (Algérie)  : 2  :

2 Plan de travail Introduction; Problématique et objectifs;
Région d’étude et données utilisées; Résultats et interprétations; Conclusion et perspectives.

3 I. INTRODUCTION L'évaluation des valeurs extrêmes de crues revêt un grand intérêt en hydrologie pour la résolution des problèmes relatifs à l’occupation des sols et au dimensionnement des ouvrages hydrauliques. Le territoire national Algérien soumis aux inondations qui se manifestent de façon catastrophique constituant ainsi une contrainte majeure pour le développement économique et social.

4 Les inondations: de 1968 en Algérie, de 1974 des bassins versants de l’algérois et de Sebaou, de 2001 d’Alger et de 2008 de Ghardaïa sont des exemples. D’après le recensement effectué par les services de la protection civile, une commune sur trois (485 communes) est susceptible d’être inondée en partie ou en totalité. Ces inondations sont les catastrophes naturelles les plus fréquentes et les plus destructrices en Algérie, provoquant d’importants dégâts humains et matériels.

5 II. Problématique et objectifs
Le choix d’un modèle fréquentiel à utiliser pour l’extrapolation des queues droites de distributions des données vers les valeurs non observables est délicat. Une question importante se pose : lorsque plusieurs modèles fréquentiels sont acceptés par les tests d’adéquations aux données observées, lequel parmi ceux-ci est le plus fiable?

6 Dans ce travail nous avons essyer de répondre à cette question, en faisant le choix du modèle fréquentiel le plus adéquat à l’estimation des valeurs extrêmes de crues non observables, à partir des observations faites au niveau des stations implantées aux différents endroits du bassin versant de l’oued Seybouse situé au nord est de l’Algérie et ce, à travers l’application de plusieurs critères de choix.

7 III. RÉGION D’ÉTUDE ET DONNÉES UTILISÉES
A. Présentation de la région d’étude Le bassin versant de la Seybouse se situe au nord-est de l’Algérie et couvre 6471 Km2. Il coule du Sud vers le nord. Ce bassin où vie une population estimée à plus de 1 565 846 habitants, comprend 07 Wilayas avec deux principales agglomérations: Annaba et Guelma. Il est équipé de 07 stations hydrométriques, dont les emplacements sont donnés dans la figure 1.

8 Fig. 1 : Zone d’étude et localisation des stations hydrométriques utilisées

9 B. Données utilisées Nous avons collecté les données hydrométriques (débits maximums annuels) de sept (07) stations du bassin de la Seybouse. Celles-ci ont été fournies par l’ANRH de Constantine (Agence Nationale des Ressources Hydriques). La méthode utilisée dans ce travail est celle des maximas annuels. Après traitement de données 06 stations parmi les 07 ont été retenues, leurs caractéristiques sont données sur le tableau 1.

10 Tab.1 Caractéristiques géomorphologiques des stations utilisées
Code station Nom station Oued X (°) Y (°) Z (m) S (km2) P (km) Loued (m) 140202 Moulin Rochfort Cherf 7,596 36,092 710 1710 190 43 140301 Medjez Amar II Bouhamdane 7,042 36,413 520 1105 140 90 140302 Bordj Sabath Sabath 7,300 36,437 270 140501 Bouchegouf Mellah 7,705 36,457 95 550 120 53 140601 Mirebek Seybouse 7,599 36,679 55 5955 330 239 140602 Ain Berda Ressoul 7,763 36,742 10 103 45 24

11 IV. Résultats et interprétation
La démarche à suivre comporte deux grandes étapes distinctes : la première concerne le choix du type (classe) des lois qui ajusterait le mieux nos séries de données. La deuxième étape, concerne le choix de la meilleure loi parmi celles du type choisi dans la phase précédente.

12 A. Choix du type de modèles
Parmi les méthodes utilisées pour choisir le type de modèles qui ajuste le mieux nos séries de données, nous optons au diagramme log-log. Ce diagramme est utilisé essentiellement pour distinguer les lois à décroissance puissance (lois de la classe C), de ceux à décroissance exponentielle (lois de la classe D) (El Adlouni et al 2008) (figure 2).

13 Fig. 2. Distributions ordonnées par rapport à leurs queues droites (extrait d’El Adlouni 2008)

14 Pour vérifier l'hypothèse de linéarité dans ce diagramme, on calcule le coefficient de corrélation associé à la courbe représentée dans ce derniers. Si le coefficient de corrélation observée Ro est supérieur à la valeur critique au niveau de signification choisi, alors l'échantillon est issu d'une loi de la classe C. Sinon, l’échantillon est issu d’une loi de la classe D. Les valeurs critiques données par El Adlouni et al. (2008), sont : Valeur critique au niveau 5% (Rc) = 0,96 Valeur critique au niveau 1% (Rc) = 0,97

15 Tab.2 Valeurs R0 et classe d’appartenance de chaque station
Le tableau 2 donne les valeurs calculées de R0 et la classe d’appartenance de chaque station. Tab.2 Valeurs R0 et classe d’appartenance de chaque station Code station R0 Classe 140501 0.92 D 140301 0.96 - 140601 0.90 140602 0.86 140202 140302 0.91

16 On remarque que 04 séries parmi les 06 utilisées dans cette étude, appartenant à la classe D, c’est-à-dire, que celles-ci présentent un comportement sur leurs queues droite de distribution asymptotiquement exponentiel. Les deux autres stations présentent un coefficient de corrélation observé (R0) égale à celui critique (Rc) au niveau de signification de 5% mais inferieur à celui au niveau de signification de 1% et vu que 67% des stations appartenant à la classe D, il est préférable de les classer dans cette dernière. Alors on peut dire que le type de modèle susceptible de mieux ajuster les distributions étudiées est le type exponentiel.

17 B. Choix du modèle d’ajustement Après avoir déterminé le type de modèles susceptibles de mieux ajuster nos séries de données, il nous sera utile maintenant de faire le choix entre ces modèles. A cet effet, les ajustements sont faits pour les lois constituant la classe D (Gumbel (EV1), Weibull (W2), Halphen A (HA), Gamma (G2) et Pearson III (P3)). Le tableau 3 donne les densités de probabilité de ces dernières.

18 Tab.3 Fonctions de densité de probabilité des lois utilisées
Fonction de densité de probabilité Gumbel (EV1) Weibull (W2) Halphen A (HA) Pearson III (P3) Gamma (G2)

19 La formule de probabilité empirique utilisée dans ce travail est celle de Hazen. L’estimation des paramètres de ces lois, a été faite par la méthode du maximum de vraisemblance à cause de ses propriétés asymptotiques fort intéressantes, un test de χ2 est appliqué pour se renseigner sur l’adéquation de ces lois aux différents échantillons utilisés dans cette étude. Le tableau 4 présente les valeurs de la statistique χ2 et l’erreur de première espèce α.

20 Tab.4 Statistique χ2 et erreur de première espèce α
Code Station Weibull Halphen A Gamma χ² α (%) 140501 07.32 19.76 03.86 42.46 06.03 30.36 140301 04.55 33.65 05.03 16.93 28.38 140601 06.33 17.56 05.17 16.00 05.75 21.86 140602 03.46 62.92 04.69 32.03 03.87 56.80 140202 06.00 19.91 02.62 45.39 07.93 09.41 140302 03.60 46.28 02.20 53.19 01.27 86.70

21 Pour l’établissement d’un classement des lois les plus fiables, nous avons appliqué les critères d’informations suivants : Le Critère d'Information d'Akaike corrigé (AICc), proposé par Hurvich et Tsai (1995) : le critère d’information bayésien (BIC) proposé initialement par Schwarz (1978) : le critère de Schwarz où la probabilité a posteriori est donnée par (Lebarbier et Mary-Huard 2006) : Avec :

22 Les meilleures lois correspondent aux valeurs les plus petites du BIC et de l’AICc, mais à celles les plus grandes de la probabilité a posteriori pour le critère de Schwarz. Ce dernier a l’avantage de pouvoir inclure l’information supplémentaire sous forme de distribution de probabilités a priori, laquelle doit refléter l’information que nous avons acquise sur la pertinence de la loi pour ajuster la variable hydrologique en question. Cette information peut être basée sur notre expérience ou sur une étude régionale par exemple.

23 Cela nécessite deux phases de calcule : la première est une analyse locale et la seconde est une analyse régionale. Dans l’analyse locale, le choix du modèle le plus adéquat, consiste en l’établissement d’un classement pour chaque station indépendamment des autres, basé sur : l’évaluation de la vraisemblance du modèle théorique en question, le nombre de paramètre de celui-ci (principe de parcimonie) et la taille de l’échantillon. C’est-à-dire, qu’à part les données numériques de l’échantillon, aucune information supplémentaire ne sera prise en compte dans les calculs. Dans ce cas, la distribution a priori est supposée uniforme pour toutes les lois.

24 Tab.5 Résultats de calculs pour différents critères
Le tableau 5 présente les résultats de calculs des trois lois les mieux classées. Tab.5 Résultats de calculs pour différents critères Code Station Weibull Halphen A Gamma P (Mi I x) BIC AICc 140501 33.51 460.76 25.71 460.05 40.78 460.37 140301 -   - 82.26  362.61  363.58 17.74 365.68 366.15 140601 43.51 347.38 12.41 349.34 43.60 347.37 140602 16.93 399.77 82.80 397.91 140202 52.30  315.32  312.20 47.70 315.63 313.26 140302 17.71 340.34 82.26 338.19

25 Les résultats obtenus montrent que pour le critère de Schwarz (probabilité a posteriori), 04 échantillons sur les 06 étudiés (67%) suivent la loi Gamma, et les deux autres (33%) suivent la loi Halphen A et aucun échantillon ne suit ni la loi Gumble ni celle de Pearson III ou Weibull. Le critère BIC vient de confirmer ces résultats dans 100% de cas, tandis que le critère AICc dans 83% de cas. Nous remarquons aussi que sur 100% des échantillons qui ne suivent pas la loi Gamma, cette dernière est classée en deuxième position.

26 Dans une étude antérieure, menée sur 28 stations hydrométriques situées dans la partie centrale du nord algérien appartenant aux bassins : Chéliff, Côtiers Algérois et Isser (Hebal et Remini 2011) nous avons pu montré que ces dernières suivent la loi Gamma. Ce résultat combiné à celui trouvé dans ce travail jusqu’à présent nous laisse penser que les distributions des valeurs extrêmes des crues du nord de l’Algérie ont une tendance régionale à suivre la loi Gamma.

27 A ces considérations pratiques, s’ajoutent des considérations théoriques:
La loi Halphen A comprend comme cas limite la loi Gamma (Bobée 1999). L’utilisation de distribution de Halphen A a été limitée en pratique en raison des problèmes de calcul numérique de la fonction de normalisation (Chebana 2010). La loi Halphen A est une loi à trois paramètres et celles de Gamma est une loi à deux paramètres, information que nous n’avons pas exploitée précédemment pour la probabilité a priori P(Mi) prise égale pour toutes les lois.

28 Toutes ces constatations signifient que la loi Gamma peut être la loi la plus adéquate pour l’ajustement des valeurs extrêmes de crues de notre région. Cela nous offre la possibilité de lancer une deuxième phase de calcul basée sur les informations supplémentaires citées en haut (c.à.d. une analyse régionale). Ces dernières sont introduites numériquement dans les calculs sous forme de distribution de probabilité a priori P(Mi). Pour cela, nous devons modifier celle-ci de telle sorte qu’elle doit refléter la tendance régionale allant en faveur de la loi Gamma.

29 Tab. 6 Résultats de calculs après la modification des probabilités a priori
Code Station Halphen A Gamma P(Mi) P (Mi I x) 140301 15.00 45.00 85.00 55.00 140202 47.29 52.71

30 Les résultats finals montrent que toutes les séries de données des stations utilisées suivent la loi Gamma. Par conséquent, celle-ci est donc retenue pour modéliser les distributions des débits extrêmes de crues du bassin versant de la Seybouse. Le tableau 7 donne les paramètres de la loi Gamma pour chaque station calculés par la méthode du maximum de vraisemblance.

31 Tab. 7 Paramètres de la loi
Code Station Paramètres α λ 140501 0,01 1,21 140301 0,00 0,54 140601 1,08 140602 0,02 1,07 140202 0,90

32 V. CONCLUSION ET PERSPECTIVES
Le travail effectué a permis de mettre en exergue, le modèle fréquentiel simulant le mieux les distributions des débits extrêmes de la région d’étude. L’utilisation du diagramme log-log, montre que nos séries de données appartenant à la classe D (distribution asymptotiquement de type exponentiel). Par la suite, l’application du critère d’information de Schwarz aux différentes lois de la classe D met la loi Gamma en première position.

33 Ce résultat vient de contredire la tendance prédominante en Algérie allant en faveur des lois Gumble et Pearson III. Enfin, nous pouvons dire que ce travail constitue un pas sur le chemin de l’étude des valeurs extrêmes de crues en Algérie, son extension sur tous les bassins versants du nord algérien peut aider à l’amélioration des résultats obtenus et de généraliser un modèle fréquentiel qui ajusterait convenablement l'ensemble des séries hydrologiques observées en Algérie du nord.