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Uncertainty Quantification and Propagation in Numerical Simulations of Flow-Structure Interactions Didier Lucor Laboratoire de Modélisation en Mécanique.

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1 Uncertainty Quantification and Propagation in Numerical Simulations of Flow-Structure Interactions Didier Lucor Laboratoire de Modélisation en Mécanique UPMC - UMR CNRS 760 Boite 162, 4 place Jussieu Tel: 33 (0) Paris Cedex 05 Fax: 33 (0) France

2 DNS of 3D turbulent flow past a rigid cylinder at Re=10000 Re=10000 DoF: 200 Millions Number of Processors: 512 Use of multi-level parallelism (MPI-MPI or OpenMP-MPI) Dong & Karniadakis, JFS, (2005).

3 Linear shear case Exponential shear case Uniform case

4 DNS-Experiments comparison of a turbulent flow past a rigid stationary cylinder Re=3900 Energy spectrum based on the transverse velocity component of the flow field in the wake (x/D=7). DNS: Ma & Karniadakis, JFM, (2000). Experiments: Ong & Wallace, Experiments in Fluids (1996).

5 Sources of uncertainty Parameters, simulation constants, material properties Transport coefficients, physical properties geometry Boundary conditions, initial conditions Physical laws, numerical schemes Random inflow condition (stochastic process) Uncertain boundary conditions Random structural parameters

6 generalized Polynomial Chaos (gPC) Not limited to a Gaussian distribution! There exists a unique correspondence between the PDF of the stochastic input and the weighting function of the orthogonal polynomials. Inner product:

7 Polynomials choice Uniform distribution approximation using the Gaussian/Hermite Chaos.

8 gPC summary with : random space dimension : highest polynomial order Example: : Gaussian distribution : Hermite polynomials N =2; P =2 not limited to Gaussian distributions! Mean: Variance :

9 Uncertainty at the inflow velocity boundary condition Deterministic forced motion Noisy inflow past an oscillating cylinder 30% 20% 10% 0% σUσU Dramatic change in the vortices arrangement in the wake. The shedding-mode switches from a (P+S) pattern to a (2S) mode in the presence of uncertainty. For a given level of uncertainty, the change is more pronounced for higher Reynolds numbers. Lucor & Karniadakis, Phys. Rev. Lett. (2005).

10 Instantaneous vorticity field RMS values Lucor & Karniadakis, PRL, (2005).

11 Uncertainty in flow-structure interaction DNS: Dong & Karniadakis, JFS, (2005). Objectives: Uncertainty propagation and quantification in flow-structure interactions coupled phenomena. Sensitivity of the solution to the different random inputs. Stochastic response surfaces. Reliability and robustness of the structures to random perturbations. Technical approach: Intrusive and non-intrusive use of the generalized Polynomial Chaos; Karhunen- Loève stochastic process representation. Development of efficient and accurate stochastic numerical codes DNS-gPC & LES-gPC. Large-scale parallel numerical simulations. Applications: Different sources of uncertainty: - advection velocity (écoulement aux bords) - Source term - Initial conditions - physical properties of the structure - geometry - Boundary conditions Incompressible 2D & 3D turbulent flows in complex stationary or moving geometry. Linear & nonlinear structural models, higher Re numbers.

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13 Turbulence et simulation aux grandes échelles (LES) Objectifs: Propager et quantifier les incertitudes dans les petites échelles (sous-maille) de l'écoulement. Quel est lespace engendré par un modèle sous-maille? Quelles sont les quantités statistiques les moins sensibles (les plus robustes) donc les plus fiables? Construction de nouveaux modèles sous-maille. Etude de la sensibilité de la solution aux différents paramètres des modèles sous-maille. Approche technique: Utilisation intrusive ou non-intrusive des polynômes de chaos généralisés et représentation de Karhunen-Loève. Ecriture dun code de calcul stochastique (LES-PCg) et comparaison/validation avec un code (DNS-PCg) existant. Calculateurs parallèles haute performance. Applications: Ecoulements turbulents ouverts (de type sillage) et écoulements pariétaux à haut nombre de Reynolds.

14 Polynômes de Chaos Processus stochastique du second ordre si: avecet Soit lespace probabilisé: peut sexprimer en fonction de Theoreme de Cameron & Martin: PC-homogène converge pour toute fonctionnelle de L 2

15 Polynômes de Chaos (Généralisés) Le schéma Askey

16 Technique dutilisation du PC pour la résolution déquation différentielle stochastique 1/ Discrétiser le processus aléatoire à laide de variables aléatoires (indépendantes). 2/ Ecrire la solution et les paramètres dentrée incertains sous forme de sommes finies de PC et substituer dans léquation. 3/ Projeter (type Galerkin) sur la base des polynômes orthogonaux considérés. Obtention dun système linéaire.

17 Formulation de la Méthode PC pour les équations de Navier-Stokes Stochastiques 3D Expansion de Fourier dans la direction axiale Décomposition de la solution dans lespace aléatoire:

18 Formulation de la Méthode PC pour les équations de Navier-Stokes Stochastiques 3D Après substitution dans Navier- Stokes: Après avoir pris la transformée de Fourier des équations: Double représentation spectrale: Fourier/PC

19 Formulation de la Méthode PC pour les équations de Navier-Stokes Stochastiques 3D avec Après projection sur la base du PC, pour chaque mode Fourier m, et pour chaque mode chaos n: Calcul des corrélations:

20 Organisation globale du projet et insertion au LMM


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