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Révision des systèmes LIT, convolution et série de Fourier ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunication.

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1 Révision des systèmes LIT, convolution et série de Fourier ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunication

2 Introduction Le diagramme bloc dun système de télécommunication est démontré ci-dessous Présentation 1 SourceÉmetteur Canal Récepteur Destination

3 Éléments dun système de télécommunication Source –Produit un message dinformation Destination –Récipiendaire qui va utiliser linformation produite. Canal –Le lien physique qui portera linformation de la source à la destination. Présentation 1

4 Éléments dun système de télécommunication Émetteur –Lémetteur transforme le message de sa forme actuel à une forme qui permettra sa transmission sur le canal. Récepteur –Le récepteur fait lopération inverse de lémetteur et, si possible, du canal. –Erreur quadratique –Taux derreurs. Présentation 1

5 But de lingénieur Concevoir des émetteurs et des récepteurs qui –ne sont pas dispendieux à produire –minimisent la largeur de bande requise –maximisent le transfert dinformation (la similarité du signal reçu au signal transmis) –utilisent efficacement la puissance Parfois les buts sont contraire aux autres –Par exemple, on améliore le transfert dinformation en augmentant la puissance du signal transmis –Il faut parfois échanger des qualités désirées contre des autres Présentation 1

6 Signaux utiles Présentation 1 t 1 Limpulsion

7 Signaux utiles Limpulsion rectangulaire Présentation 1 t

8 Signaux utiles Limpulsion triangulaire Présentation 1 t

9 Signaux utiles sinc Présentation 1

10 Signaux utiles Sinc carré Présentation 1

11 Révision des systèmes LIT Un système avec x(t) comme entrée produit une sortie y(t) = H(x(t)). Présentation 1 H() x(t)x(t) y(t) = H(x(t))

12 Systèmes linéaires Un système est linéaire si la propriété de superposition sapplique –Supposons le système produit la sortie y 1 (t) pour lentrée x 1 (t) et la sortie y 2 (t) pour lentrée x 2 (t). Alors y 1 (t) = H(x 1 (t)) et y 2 (t) = H(x 2 (t)) –le système H est linéaire si pour x 3 (t) = ax 1 (t)+bx 2 (t), y 3 (t)=H(x 3 (t)) = aH(x 1 (t))+bH(x 2 (t)) = ay 1 (t)+by 2 (t). Présentation 1

13 Exemple 1 y(t) = x 2 (t). Pour lentrée x 1 (t), la sortie est y 1 (t) = x 1 2 (t) et pour lentrée x 2 (t), la sortie est y 2 (t) = x 2 2 (t). Pour x 3 (t) = x 1 (t) + x 2 (t), la sortie est y 3 (t) = x 3 2 (t) = (x 1 (t) + x 2 (t)) 2 = 2 x 1 2 (t) + 2x 1 (t)x 2 (t) + 2 x 2 2 (t). Si le système est est linéaire, y 3 (t) doit être y 1 (t) +y 2 (t) = x 1 2 (t) + x 2 2 (t) y 3 (t) ; alors ce système nest pas linéaire. Présentation 1

14 Exemple 2 y(t) = tx(t). Pour x 3 (t) = x 1 (t) + x 2 (t), la sortie est y 3 (t) = t(x 1 (t) + x 2 (t)) = (tx 1 (t)) + (tx 2 (t)) = y 1 (t) + y 2 (t). Alors ce système est linéaire. Présentation 1

15 Système invariant en temps Un système est invariant en temps si un délai à lentrée ne cause que le même délai à la sortie.. Si y 1 (t) est la sortie qui correspond à lentrée x 1 (t) et x 2 (t) = x 1 (t-) est lentrée qui produit une sortie y 2 (t). Le système est invariant en temps si y 2 (t) = y 1 (t-). Présentation 1

16 Exemples y(t) = tx(t)? y(t) = 3+4x 2 (t)? Présentation 1

17 Systèmes LIT Un système est LIT sil est linéaire et invariant en temps Un système LIT est décrit par sa réponse impulsionnelle. Réponse impulsionnelle, h(t), est la sortie qui correspond à lentrée x(t) = (t). Propriétés du signal (t). –. Présentation 1

18 La sortie dun système LIT Si x(t) est lentrée dun système LIT, la sortie correspondante est y(t) = x(t)*h(t), où * indique la convolution. Présentation 1

19 Propriétés x(t)*(y 1 (t) + y 2 (t)) = x(t)*y 1 (t) + x(t)*y 2 (t). Présentation 1

20 Convolution avec limpulsion Présentation 1

21 Exemple y(t) = (t) *(t) –Utilisez des dessins afin de trouver les limites dintégration. Présentation 1

22 Causalité Un système est causal si la sortie ne dépend pas des valeurs futures de lentrée. Pour un système LIT Quand < 0, y(t) depend de x(t-)=x(t+||). Pour que le système LIT soit causal il faut que h()=0 quand <0. Présentation 1

23 Stabilité Un système est stable si, pour nimporte quelle entrée bornée, la sortie est aussi bornée. Pour quun système LIT soit stable, il faut que Présentation 1

24 Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel: Série de Fourier généralisée Supposons que nous ayons un jeu de fonctions { n (t)} n=0,1,2,…,N où Si c n = 1 pour nimporte quelle valeur de n, on dit que le jeu est un jeu de fonctions orthonormales. Présentation 1

25 Série de Fourier généralisée Prenons une fonction x(t). On veut approximer la fonction x(t) sur lintervalle (t o, t o + T) par la fonction x a (t) qui est donnée par : Lerreur quadratique moyenne (mean square error – MSE) est donnée par :

26 Série de Fourier généralisée La meilleure approximation, x a (t), est la fonction qui minimise lerreur quadratique moyenne.

27 Série de Fourier généralisée le terme est 0 quand n i et cest |X n | 2 c n quand n = i. Soit

28 Série de Fourier généralisée N est minimisée quand X n = (1/c n )y n.

29 Série de Fourier généralisée Alors la meilleure approximation est Où Et

30 Exemple 2 Le signal x(t) = t 2. Nous voulons trouver la meilleure approximation pour x(t) sur lintervalle 0 t 1 avec les fonctions orthogonales démontrées ci-dessous. Trouvez et pour N = 2 et 3.

31 Exemple 2: Solution

32 N diminue en augmentant N.

33 Introduction à la série de Fourier exponentielle complexe Il existe des jeux de fonctions orthogonales { n (t)} - n, pour lequel lapproximation sapproche au signal originale sur lintervalle t o t t o + T.

34 La fonction exponentielle complexe La fonction est périodique avec période T p. Donc T p = m/nf o et la période fondamentale, T f, est la plus petite valeur positive de T p. Donc la période fondamentale est T f = 1/|n|f o. n est un entier

35 Orthogonalité et la constante c n = Pour m=n Pour mn Sur lintervalle t o t t o +T, pour f o = 1/T.

36 La série de Fourier exponentielle complexe La série de Fourier exponentielle complexe du signal x(t) sur lintervalle t o t t o + T est où

37 La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques Considérons le signal sur lintervalle - t. Nous savons que les fonctions exponentielles complexes sont périodiques. La période fondamentale dune fonction exponentielle complexe est T/|n|. La sommation des fonctions périodiques est aussi périodique sil existe un plus petit commun multiple des périodes des fonctions individuelles. Dans ce cas, le plus petit commun multiple des périodes est T.

38 La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 2 est périodique avec période T = 1/f o. La fréquence fondamentale est linverse de la période fondamentale, donc f o est la fréquence fondamentale. Donc si x(t) est aussi périodique avec période T, =x(t) pour - < t < Alors un signal périodique, x(t), avec période T a une série de Fourier x(t) =

39 La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 3 Nous pouvons déterminer les coefficients de Fourier en faisant lintégral sur nimporte quelle période de x(t)

40 Exemple Trouvez la série de Fourier exponentielle complexe du signal périodique x(t)

41 Solution Il faut déterminer –La période de x(t) ainsi que f o. –Les coefficients X n –La série de Fourier

42 Solution 2 Dans notre exemple, la période est 0.5, alors f o = 2. Le jeu de fonctions est e j4nt. Alors

43 Solution 3 Pour n = 0, nous avons X 0 = 0/0.

44 Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe Supposons que le signal x(t) est un signal réel. C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. Le conjugué complexe du coefficient de Fourier X n * est donné par :


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