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03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 1 Modélisation Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques Galilée (1564-1642)

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1 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 1 Modélisation Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques Galilée ( ) Mythe ou réalité? A quoi servent les mathématiques?

2 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 2 Plan de lexposé Présentation du socle commun Modélisation (lien)lien Rôle des mathématiques (lien)lien Exemples concrets de modélisation dans les sciences (lien)lien Modélisation en sciences (lien)lien Projet P3 : activité interdisciplinaire (lien)lien Annexes, Vocabulaire et bibliographie

3 La réalité, du monde du travail a changé et les enjeux sont devenus européens et même mondiaux. lEurope se fixe des objectifs au niveau des systèmes éducatifs. (nécessité damener 50% dune tranche dâge au niveau licence et permettre aux citoyens de pouvoir se former et évoluer tout au long de leur vie). -Il y a maintenant des outils dévaluation sur les objectifs à atteindre notamment pour le socle commun : par ex les tests du programme PISA. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 3

4 Socle Commun Penser en termes de : Connaissances Capacités Attitudes 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 4

5 Ce qui se rajoute On a lhabitude de parler en terme de K et de compétences beaucoup moins en terme dattitude : Quelles attitudes peuvent développer lenseignement des maths et des sciences? Appréhender le monde de façon rationnelle pour mieux le comprendre. -développer un espace de démocratie dans la classe. -on peut communiquer avec dautres (langage universel et même mode validation de la vérité) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 5

6 Pourquoi le socle commun Définir un ensemble de connaissances et de compétences qu'il est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité -offrir à chacun les moyens de développer toutes ses facultés en mettant en valeur toutes les formes dintelligence et toutes les aptitudes 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 6

7 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 7 Socle : Compétences visées la maîtrise de la langue française ; la pratique d'une langue vivante étrangère ; les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique ; la maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication ; la culture humaniste ; les compétences sociales et civiques ; l'autonomie et initiative.

8 Modalités Permettre à lindividu citoyen de pouvoir se former et évoluer tout au long de sa vie. pas de compensation. : il faut valider les 7 compétences -les compétences, connaissances et attitudes peuvent sacquérir par lintermédiaire de chaque discipline : 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 8

9 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 9 Socle commun en maths et sciences et techniques représentation cohérente du monde. compréhension de lenvironnement quotidien. la complexité peut être exprimée par des lois fondamentales. Manipuler pour comprendre. Acquérir rigueur intellectuelle seule constitutive du raisonnement scientifique.

10 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 10 Les Mathématiques Développement de la pensée logique, et de capacités d'abstraction. acquérir une vision dans le plan et dans l'espace. utilisation de formules, de modèles, de graphiques et de diagrammes. Développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration.

11 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 11 Les Mathématiques automatismes en calcul (calcul mental, apprentissage des quatre opérations) lapprentissage de la démonstration dans la démarche mathématique notion de chance, de probabilité, dincertitude, proportionnalité, notamment la « règle de 3 », fonctions représentations graphiques (tableaux, diagrammes, points sur un axe, dans un repère).

12 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 12 Conditions dacquisition Résolution de problèmes, Ancrage dans la réalité notamment à partir de situations proches de cette réalité. On peut pour cela sinspirer des tests du programme Pisa qui partent toujours dune situation concrète à modéliser. https://www.pisa.oecd.org/

13 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 13 Connaissances Nombres et calcul. Gestion de données et fonctions. Géométrie plane et dans lespace. Grandeurs et mesures.

14 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 14 Attitudes On peut appréhender la réalité à partir de lois logiques Lenseignement des mathématiques doit permettre : rigueur et précision, respect de la vérité rationnellement établie, le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver.

15 Les filles sont meilleures que les garçons en math garçonsfilles algèbre23/20085/500 géométrie400/50090/100 algèbre géométrie 11,5% 80% 17% 90% 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 15

16 Pas si sûr !!!! garçonsfilles algèbre géométrie 23/ /500 85/500 90/100 algèbre géométrie 423/700 60,5% 175/600 29,2% 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 16 -En statistiques il faut toujours vérifier de quoi lon parle et se méfier des généralisations hâtives.

17 Des statistiques aux probabilités Le prince de Toscane demande à Galilée ( ) pourquoi, alors que les nombres 9 et 10 ont autant de décomposition en somme de 3 chiffres compris entre 1 et 6, on obtient plus souvent 10 lorsqu'on lance 3 dés ? 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 17

18 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 18 Culture scientifique et technologique développer la curiosité de lélève accéder à une représentation globale et cohérente du monde comprendre son environnement quotidien distinguer entre faits démontrables dun côté, opinions et croyances de lautre

19 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 19 Culture scientifique et technologique Comprendre et décrire : le monde réel, celui de la nature, celui construit par l'Homme, les changements induits par l'activité humaine. Distinguer : faits et hypothèses vérifiables et opinions et croyances.

20 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 20 Pour atteindre ces buts l'observation, le questionnement, la manipulation et l'expérimentation.

21 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 21 Capacités à développer dans les sciences expérimentales démarche dinvestigation observer, questionner, formuler une hypothèse et la valider, argumenter, modéliser de façon élémentaire

22 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 22 Manipuler et Expérimenter en éprouvant la résistance du réel Concevoir un protocole et le mettre en œuvre Utiliser les outils appropriés, y compris informatiques Développer des habiletés manuelles, être familiarisé avec certains gestes techniques Percevoir la différence entre réalité et simulation Comprendre qu'un effet peut avoir plusieurs causes agissant simultanément, de percevoir qu'il peut exister des causes non apparentes ou inconnues

23 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 23 Exprimer et exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral, maîtriser les principales unités de mesure et savoir les associer aux grandeurs correspondantes, comprendre qu'à une mesure est associée une incertitude, comprendre la nature et la validité d'un résultat statistique.

24 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 24 Appréhender rationnellement les choses pour : développer les attitudes suivantes : le sens de l'observation, la curiosité pour la découverte des causes des phénomènes naturels, l'imagination raisonnée, l'ouverture d'esprit, l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte.

25 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 25 Éducation à la citoyenneté Développer : l'intérêt pour les progrès scientifiques et techniques, la conscience des implications éthiques de ces changements, l'observation des règles élémentaires de sécurité dans les domaines de la biologie, de la chimie et dans l'usage de l'électricité, la responsabilité face à l'environnement, au monde vivant, à la santé.

26 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 26 Mathématiques outil de modélisation Comprendre le lien entre les phénomènes de la nature et le langage mathématique qui s'y applique et aide à les décrire.

27 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 27 Place de la modélisation dans la démarche dinvestigation

28 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 28 Modélisation : Pourquoi? Question dont la réponse nest pas évidente Expérimentation coûteuse ou impossible. Favoriser lobservation et létude. Acquérir une représentation cohérente du monde reposant sur des connaissances. Se créer des images. Pour échanger avec les non spécialistes en ayant un langage commun. Pour pouvoir modifier certains paramètres et ainsi prévoir, anticiper, simuler. Rigueur, précision.

29 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 29 Modèle mathématique Un modèle mathématique est une représentation : fonctionnelle de la réalité par des objets abstraits sur lesquels on peut appliquer un traitement théorique analogique (imiter pour pouvoir observer et étudier) sélective (on retient certaines caractéristiques et on en ignore dautres) Un même modèle, de part son abstraction, peut sappliquer dans des contextes différents.

30 Modélisation et modèle 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 30 Réalité Monde empirique Modèle mathématique Symbolisme Modèle descriptif (interpréter et analyser) Modèle prédictif (anticiper une action)

31 La résolution de problème consiste entre cet aller-retour entre réalité qui peut être déjà abstraite et le modèle. On analyse la réalité, on cherche, on décrit, on interprète les informations. Traitement à lintérieur du modèle puis retour pour valider le modèle et linterpréter dans la situation concrète. Cest cet aller-retour qui donne du sens aux mathématiques. Actuellement des profs de math se cantonnent à ne travailler que dans le modèle et à faire des gammes. En contradiction avec les autres pays ou cet aller-retour entre réalité et modèle mathématique sexerce davantage. (Voir le contenu des tests PISA) -Certains profs de sciences vont aussi parfois trouver plus confortable de faire des maths plutôt que de la physique par exemple. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 31

32 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 32 Modèle un modèle est toujours lié à ce que l'on veut en faire, à une théorie. un modèle n'est jamais parfait ni totalement représentatif de la réalité. il y a toujours plusieurs modèles possibles. Cest utile pour traiter le réel, mais il ne faut pas le prendre pour le réel.

33 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 33 Pertinence dun modèle et évaluation Couvrir le champ du problème réel. Obtention du résultat escompté. Respect des délais souhaités. Il est souhaitable quil soit ré-utilisable. Une bonne modélisation permet de répondre à des questions complexes avec des calculs simples.

34 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 34 Comment Modéliser? Inspiration, imagination, analogie, rasoir dOccam et changement de point de vue, courage intellectuel face aux modèles dominants. Il faut bien limiter le champ du problème, chercher la simplicité. filtrer les données pour atteindre lessentiel. Introduire des paramètres manquants, éventuellement adopter une approche probabiliste. Bien décrire lensemble des règles ou équations. valider le modèle. avoir lesprit critique et faire un retour à la réalité

35 Le rasoir d'Occam ou rasoir d'Ockham : consiste à ne pas utiliser de nouvelles hypothèses tant que celles déjà énoncées suffisent. Contre-modèles : Trois noms importants : Copernic ( ) Galilée ( ) Newton ( ) Copernic à pris en compte les observations plus précises des trajectoires des planètes en étudiant leur déplacement non plus autour de la terre mais, autour du soleil. Cette étape pourrait sembler facultative car il est possible d'obtenir des trajectoires justes en les calculant depuis la terre ou depuis le soleil. La différence est dans la complexité des équations qui régissent ces phénomènes. Vu du soleil, au contraire, les trajectoires des planètes sont admirables de simplicité. Il s'agit de simples ellipses avec le soleil à l'un des foyers. Newton a imaginé une action a distance en contradiction avec les principes de son époque 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 35

36 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 36 Force des mathématiques Fournir des idées Langage universel dexpression Généralité, richesse et puissance du langage Équations aux dérivées partielles analyse fonctionnelle : méthodes numériques Méthodes des éléments finis Algorithmes et méthodes approchées Traitement du signal Calcul stochastique, etc. Outil de dialogue et de prospection

37 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 37 Il faut toujours garder son esprit critique Il faut toujours avoir lesprit critique vis à vis du modèle et dautant plus sil contient des mathématiques (retour à la réalité) (voir usage abusif de concepts mathématiques). Chercher la simplicité. Organiser une critique active et imaginative Rechercher des co-vérités ( en utilisant des changements de registre ) Fabriquer des contre-modèles. ( pour échapper aux interprétations dominantes : voir Copernic et les trajectoires des astres)

38 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 38 Quelques exemples détaillés Modèle proies-prédateurs (1er jour) Modélisation des forces de frottement (2ème jour) Loi logistique discrète (2ème jour) TPE sur la vache folle (2ème jour) Du bon usage du continu (2ème jour) La molécule de méthane (voir activité)

39 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 39 AnnéePourcentage de mauvais poisson , , , , , , , , ,7 Statistiques de pêche à Triestre

40 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 40 Proies-prédateurs Volterra ( ) Bons poissons (sardines) : x(t) Mauvais poissons (Sélaciens) : y(t) Variation du nombre de sardines : x(t) Si pas de requins : + ax(t) Si rencontre avec Sélaciens : - bx(t)y(t) Variation du nombre de Sélaciens y(t) Si pas de sardines : - dy(t) Si rencontre avec sardines : + cx(t)y(t)

41 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 41 Système différentiel x(t) = a x(t) – b x(t)y(t) y(t) = - d y(t) + c x(t)y(t) On utilise la méthode dEuler : x(t+h) approximé par : x(t) + hx(t) pour h « petit » Voir fichier : proie_predateur_différentielle.xls

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43 Les coefficients a, b, c et d représentent respectivement le taux de croissance ou taux de natalité de la proie, le taux de mortalité de la proie due à la prédation, le taux de croissance ou taux de natalité du prédateur dû à la prédation et le taux de mortalité naturelle du prédateur lorsquil ny a pas de proie, i.e., mortalité due à la famine. reproches principaux: -absence de réalisme. -la mort naturelle nest pas prise en compte. Ce qui signifie quen labsence de prédateur, la proie ne meurt jamais. -la croissance du prédateur est entièrement contenue dans sa capacité de prédation. Cest-à-dire que sa population augmente après chacun de ses repas. -les croissances de chaque espèce ne sont en rien perturbées par des évènements extérieurs. Ils sont en comme isolés du monde extérieur. il faut connaître les quatre coefficients ci-nommés avec une précision diabolique. le taux de prédation, cest-à-dire finalement lappétit du prédateur : rien nest plus difficile à apprécier quune variable aussi aléatoire que celle-ci. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 43

44 De larithmétique à lalgèbre : une rupture profonde Quatre allumettes mises bout à bout avec un bâton de 7 cm mesurent 25 cm en tout. Quelle est la longueur dune allumette ? " Prégnance du raisonnement arithmétique (on «remonte» à lenvers les «gestes» de lénoncé) " Passage à lalgèbre : on « traduit » le problème en langage mathématique et on travaille dans le modèle 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 44 25cm-7cm = 18cm 18cm : 4 = 4,5cm 4x + 7 = 25 4x = 25 – 7 x = 4,5

45 La forme canonique expliquée aux enfants Un carré et 10 choses valent 39 X² + 10X = 39 Combien vaut X? 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 45 X²5X 25

46 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 46 De lintérêt de se parler (I) Approximation affine et usage dans les sciences Que penser dun exercice formulé ainsi? Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C il ne reste que 2,8l dans le récipient. La physique nous apprend que, entre 20°C et 40°C, laccroissement de volume est proportionnel à laccroissement de température. On note x la température. 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide restant dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. 2)En déduire le volume à 40°C.

47 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 47 Proposition de modification -lexercice ne doit pas induire de mauvaises images chez lélève -il doit permettre à lélève dutiliser le modèle fonction affine et proportionnalité des « écarts » avec un support tiré des sciences comment noter la variable? x ou t? EX : Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C le volume dans le récipient est de 4,8l. On a constaté expérimentalement que pour ce liquide, entre 20°C et 40°C, laccroissement de volume est proportionnel à laccroissement de température. On note x la température. 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. 2)En déduire le volume à 40°C.

48 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 48 De lintérêt de se parler (II) Approximation affine et usage dans les sciences Que peut-on faire pour améliorer la cohérence avec les enseignements de mathématiques? Extrait dun ex de physique : On présente le spectre dune étoile Markab, dont on cherche à extraire la présence déléments chimiques dans la couche superficielle. On place en dessous le spectre du fer, dont on connaît les longueurs donde des raies. Les 8 raies du spectre du fer, à partir de la raie origine (404,4 nm), coïncident avec certaines raies du spectre de létoile. Question : mesurer la distance dx entre chacune des 8 raies et la raie origine. Calculer la différence de longueur donde dL entre chacune de ces raies et la raie origine. Calculer dx/dL pour chaque raie. Montrer que dx est proportionnel à dL.

49 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 49 Du bon usage de la continuité Premier exemple : Deux mobiles reliés par une ficelle de longueur h vont de A à B sur 2 routes différentes, dintersection vide sans casser la ficelle. Deux sphères de rayon h lune partant de A et lautre de B peuvent-elles aller lune de A vers B et lautre de B vers A sans se rencontrer?

50 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 50 Du bon usage de la continuité Deuxième exemple : A une élection on vote pour A ou pour B. Peut-on, avant le scrutin faire une prédiction qui ne sera pas démentie par les faits? H Simons (prix Nobel déconomie) pense que oui et argumente : Soit p une prédiction (%de suffrages pour A) Soit f(p) le résultat du scrutin. On fait lhypothèse que f est continue. Alors la courbe de f coupe forcément la droite déquation y=x. Donc il existe bien p telle que : p = f(p).

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52 Contre-Exemple On sait que : 15% votent pour B, 30% votent pour A, 15% votent pour le candidat annoncé gagnant et 40% sont des contestataires. Si p < 50 alors ?? Si p >50 alors ?? 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 52

53 Quelle est la vitesse optimale à prendre en cas de risque de bouchon ? Cahier des charges : on veut un débit maximum. Paramètres : V : vitesse km.h -1 l (en m) la longueur d'une voiture L(en m) la distance entre les arrières D : le débit, et tr, le temps de réflexe de freinage et d : distance de freinage. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 53

54 Contraintes entre les paramètres Débit : nombre de voitures passées en un lieu en T (h) D = 1000vT/L Donc D = k v/L Distance de freinage : ( elle doit annuler lénergie cinétique et tenir compte du temps de réaction ) d = k1 v² +tr v Avec d <= L- l 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 54

55 Au mieux on a donc : d = L – l et donc : k1 v² +tr v + l = L Mais D = kv/L donc D = kv/(k1 v² +tr v + l ) Avec la dérivée : D(v) = 0 v² = l/k1 Donc Vopt = rac(l/k1) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 55

56 Sans connaître la notion de dérivée ( point de vue graphique) 1/D = (k1 v²+tr v +l)/(k v) Donc 1/D = (k1/k) v+ (tr/k) + l/(k v) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 56

57 Calcul de la vitesse optimale Relation entre D et v : k1Dv 2 + (Dtr - k) v + Dl = 0 Pb : à priori 2 racines v1 et v2. v1v2 = Dl/k1D = l/k1 >0 donc il faut v1+v2 > 0 Dtr – k < 0. t très petit donc OK Au fait : y-a-t-il des racines? Delta >=0 (Dtr - k)² >= 4D²lk1 c-a-d Dtr – k <= - 2 D rac(lk1) car Dtr – k < 0 Donc D[tr +2 rac(lk1)] <= k. D<= k./[tr +2 rac(lk1)] 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 57

58 Pour maximiser le Débit Au mieux : Dmax = k./[tr +2 rac(lk1)]. Dans léquation de départ on a une racine double : v1=v2= (k-Dtr)/(2k1D) mais k-Dtr = 2Drac(lk1) donc Voptimale = rac(l/k1) Sur Internet : df = v² / (2g(cfl + ou – p) v = vitesse en mètres par seconde g = 9,81 m/s² (accélération de la pesanteur) cfl = coefficient de frottement longitudinal p = déclivité du profil en long (en m/m) Dou k1 = 1 / [2g(cfl)] sur sol horizontal (p=0) 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 58

59 What a surprise!! Pour g = 9,8, l = 5 m, Pour cfl 0,8 pour un béton bitumineux propre et sec 0,7 pour un revêtement moyen 0,6 pour un pavé sec Vopt = ? 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 59

60 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 60 Des mathématiques aseptisées aux Mathématiques Tout Terrain Exemples Beaucoup de problèmes concrets échappent aux mathématiques classiques. Pourtant les maths ont leur rôle à jouer mais différemment : Utilisation de linformatique : discrétisation des problèmes et modélisation. Elaboration de conjectures, travail critique, plausibilité dun résultat, débat, contre- exemples. Puis démonstration pour emporter la conviction Ancrer les maths dans la réalité

61 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 61 Modèles en Sciences Ce qui est donné pour servir de référence (souches…) Ce qui est représentatif dune catégorie (type de volcan…) Reproduction à échelle différente (cellule, temps géologiques…) Structure utilisée pour rendre compte de phénomènes non reproductibles ou non visibles…

62 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences Les modèles animaux Permettent dutiliser des animaux possédant certaines particularités anatomiques ou physiologiques Permettent détudier les animaux sur plusieurs générations Peuvent être soumis à des tests ou expérimentations Transposition à lhomme ultérieurement

63 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 63 Drosophile Antennapedia

64 Antennapedia Encore appelé ANT-C, est un gène HOX de la Drosophile qui contrôle le placement des pattes. Il est porté sur le chromosome III. Une perte de la fonction par mutation dans la région de régulation de ce gène peut donner comme résultat la conversion de la seconde paire de pattes en des antennes ectopiques. Ceci est seulement une illustration de la tendance des organismes à exhiber des variations sur un thème, en répétition modulée. Les pattes et les antennes sont liées de la même façon que le sont les molaires et les incisives ou que les doigts et les pouces, les bras et les jambes. Au contraire, les allèles du gène définissant le gain de la fonction convertissent les antennes en des pattes ectopiques.gène HOXDrosophilepattesmutationgène ectopiquesallèles 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 64

65 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 65 Vibrio harveyi

66 Deux familles de bactéries, les Vibrionacées et les Entérobactériacées présentent des représentants luminescents. Il est possible de sen procurer aisément soit en réalisant un isolement à partir dun échantillon biologique (3) soit plus simplement dans le commerce (7). La culture de bactéries luminescentes et la bioluminescence elle-même sont porteuses dun considérable potentiel pédagogique car elles conduisent à sinterroger sur de multiples problèmes biologiques et à les résoudre en intégrant des activités pratiques diversifiées. Outre lacquisition des gestes techniques fondamentaux de la microbiologie, la mesure de lémission lumineuse peut être utilisée pour établir la cinétique de croissance dune population bactérienne et pour explorer les conditions de vie de ces organismes et leur métabolisme. Des bactéries luminescentes sont également utilisées comme organismes indicateurs dans des tests biologiques (1), outils de surveillance de lenvironnement. Ainsi, un test commercial comme le test MICROTOX® permet de tester le potentiel toxique des eaux à laide de bactéries luminescentes. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 66

67 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 67 2 – Les modèles analogiques Analogues géométriques, mécaniques ou électriques dobjets biologiques Définis par linvariance du rapport de certaines grandeurs ou propriétés homologues

68 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 68 Le cœur est une pompe Il met en mouvement un fluide dans un circuit fermé Le circuit est en parallèle et non en série utilex/rev_card/rev_card.htm utilex/rev_card/rev_card.htm

69 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 69 3 – Les modèles de simulation par ordinateur Simulation de la pression sanguine sur la paroi dun anévrisme : =c_8694&portal=j_97&printView=tr ue =c_8694&portal=j_97&printView=tr ue Simulation des ondes sismiques : besancon.fr/svt/act_ped/svt_lyc/pr em/sismologie/activites/college/me xico/mexico.htm besancon.fr/svt/act_ped/svt_lyc/pr em/sismologie/activites/college/me xico/mexico.htm

70 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 70 Rôles des modèles Expliquer Ex : remontée du magma Prévoir Ex : anévrisme Visualiser Ex : faille de San Andréa

71 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 71 Modèle, outil didactique Objet de substitution, il aide à la construction des connaissances Support concret, il demande un effort intellectuel moindre (surtout pour les plus jeunes) Moyen de transmission de connaissances, cest une forme de langage

72 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 72 Projet P3 projet interdisciplinaire maîtrise de la langue française par les élèves, éducation à lenvironnement ou au développement durable, éducation à la santé, thème de convergence, TPE, IDD, PPCP,….). Préparer une séquence denseignement Le travail doit être guidé par une problématique pluridisciplinaire Il doit y avoir articulation entre plusieurs disciplines et une approche théorique On prépare une séquence pédagogique

73 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 73 Compétences évaluées Exercer lexpression écrite et orale des élèves Connaître le socle commun Mettre en œuvre des approches pluridisciplinaires Maîtriser les TICE Travailler en équipe pluridisciplinaire Se former et innover

74 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 74 Contenu du dossier présentation de la problématique et éléments théoriques inter-disciplines (deux pages) objectifs de la séquence et choix effectués (une page) Calendrier, analyse à priori et à posteriori (3 pages) choix de productions délèves représentatifs (1 page) synthèse et propositions alternative ou prolongements possibles (1 page)

75 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 75 Améliorer lexpression chez les élèves (Savoir utiliser un langage pour décrire une situation) Enrichir lemploi de la langue Approfondir la pratique de largumentation Fournir des mots nouveaux pour sexprimer Exemples : Résolution par traduction (analytique) Décrire en français un algorithme non commenté Fournir une bonne approximation, bien définie, dune fonction dexpression analytique inconnue. ( chaque élève construit son modèle propre proposé aux autres ) Analyse mathématique de textes scientifiques

76 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 76 Inter, pluri, trans disciplinarité L interdisciplinarité fait appel aux spécificités de diverses disciplines qui convergent par nécessité pour résoudre un problème. La pluridisciplinarité exploite une situation, à travers certaines disciplines, de façon élégante et opportune, sans chercher des liens et sans obligation. La transdisciplinarité relie les disciplines sans obligation, de manière à atteindre les mêmes objectifs à travers des activités très variés.

77 Quest-ce que la culture mathématique dans le cadre dévaluation de PISA 2006 (OCDE, 2006a) laptitude dun individu à identifier et à comprendre le rôle joué par les mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos et à sengager dans des activités mathématiques, en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi (OCDE, 2006a). 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 77

78 Evaluer les savoirs et savoir-faire des élèves en mathématiques PISA 2006 en fonction de trois dimensions le contenu mathématique des différents problèmes et questions, les processus à mettre en œuvre pour établir des liens entre les phénomènes observés et les notions mathématiques pertinentes, puis pour résoudre les problèmes les situations et les contextes qui servent de stimulus aux items et dans lesquels les problèmes sinscrivent. 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 78

79 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 79 Le pendule simple Pendule simple : fil inextensible, et sans masse, longueur L, masse ponctuelle m. Angle avec la verticale : a(t) Newton : d²a(t)/dt² = -g/L sin (a(t)) avec a(0) = ao et a(0) = 0

80 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 80 Qu'est une véritable activité mathématique? introduction aux programmes de collège (BO n° 4 du 4 avril 2004) identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution.

81 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 81 Méthode des tangentes parallèles pour la détermination du point d'équivalence E

82 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 82 Autre méthode : méthode du pic de la dérivée

83 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 83 Exemple de façon de travailler avec les élèves Après analyse du problème répartir les élèves en groupes thématiques. Chaque groupe est chargé dune mission précise et devra produire un texte, rendant compte du travail accompli. Une synthèse est alors organisée sous forme de débat ou chaque groupe apporte sa contribution.

84 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 84 Références bibliographiques (I) Jacques Istas : Introduction aux modélisations mathématiques pour les sciences du vivant. Springer-Verlag, Berlin Istas,J. (2005). Mathematical Modeling for the Life Sciences, Springer. James Gleick : La théorie du chaos. (Champs- Flammarion) T35 : E.J.Aubert (Mathematical intelligencer Vol 6 no 3) Leçons de calcul infinitesimal. Deledicq-Diener 1989.

85 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 85 Références bibliographiques (II) Cherruault Y. (1998), Modèles et méthodes mathématiques pour les sciences du vivant, Presses universitaires de France, (ISBN )ISBN

86 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 86 Vocabulaire Conjecture : Émettre une conjecture, cest résumer dans un énoncé précis une idée que lon pense universellement vraie (Legrand 2000). Explication : Proposer une explication, cest réaliser un discours dont l'objectif est de communiquer à d'autres le caractère de vérité d'un énoncé mathématique.

87 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 87 Vocabulaire Preuve : Faire une preuve cest proposer une explication acceptée relativement à la vérité dun énoncé par une communauté de pensée à un moment donné. Il y a : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. (Balacheff) Une démonstration est : tout raisonnement valide permettant détablir quun énoncé est vrai ou faux à lintérieur dun système théorique. Elle a : un statut social, et deux fonctions : une fonction de validation dans le but de réduire le doute et une fonction explicative du pourquoi

88 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 88 Preuve et démonstration ? Quelle différence? Démonstration : un nombre fini d'étapes logiques à partir de ce qui est connu vers une conclusion en utilisant des règles d'inférence connues. (Hanna and Barbeau, p. 38) Sens commun :argumentation développée dans le sens de la vérité pour emporter l'adhésion des auditeurs (ex: plaidoirie de l'avocat de la défense) Preuve : Opération par laquelle on contrôle l'exactitude d'un calcul ou la justesse de la solution d'un problème. Sens commun : un indice important dans la recherche de la vérité

89 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 89 Démonstration et Argumentation? Quelle différence? Le raisonnement déductif est décrit par une structure ternaire : les pas sont connectés selon un processus de recyclage, cest-à-dire, la conclusion du premier pas devient la donnée du pas suivant. (la validité est contrôlée ) Au contraire, dans largumentation, les inférences sont reliées par connexion intrinsèque en prenant en compte le contenu. (on ne peut qu en évaluer la pertinence )

90 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 90 Démonstration et Argumentation La démonstration fournit des preuves contraignantes, Elle est dans le champ de la vérité formelle largumentation, elle, ne fait que préciser les raisons en faveur ou contre une thèse déterminée. Elle est dans lordre de la vérité matérielle

91 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 91 Argumentation mathématique Justification rationnelle ayant pour objectif la recherche de la vérité dune proposition mathématique, avec validation ou bien réfutation de conjectures par contre-exemple, passant ainsi par létablissement du faux. (Douaire 1999)

92 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 92 Les types de raisonnement mathématique Raisonnement par enchaînements déductifs (modus ponens ) Lutilisation de contre-exemple Le raisonnement par disjonction de cas Le raisonnement par contra posée, Le raisonnement par labsurde Le raisonnement par récurrence

93 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 93 Forces de frottement fluide On lâche un tube à hémolyse lesté dans un fluide. On cherche à estimer les forces de frottement fluide qui interviennent. On va comparer plusieurs modèles. Relation fondamentale de la dynamique : mg – ρVg – f f = m dV/dt. Dou : g – ρVg/m – f f /m = dV/dt On pose A = g – ρVg/m dou A-f/m = dV/dt

94 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 94 Modèles Proportionnel à la vitesse : A-Bv = dV/dt au carré de la vitesse : A-Cv² = dV/dt Combiné des deux : A- Bv -Cv² = dV/dt

95 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 95 Expérimentalement la vitesse semble avoir une limite finie quand t tend vers linfini. A la limite dV/dt = 0 dou : 1er cas : A –B vlim= 0 2ème cas : A –C (vlim)² = 0 3 ème cas : A –B Vlim –C (Vlim)² =0 A est connu en fonction des données A = g – ρVg/m. On en déduit B ou C en fonction des données expérimentales. Dans le 3ème cas on exprime lun des paramètres B ou C en fonction de lautre

96 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 96

97 La division " On fait des guirlandes de 5 mètres dans une « ficelle » de 32 mètres. Combien de rubans peut- on faire ? " On fait 5 guirlandes de même longueur dans une « ficelle » de 32 mètres. Quelle est la longueur dun ruban ? 03/12/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 97


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