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Chaîne de Transmission. La chaîne de transmission Bruit, Perturbations et Interférences EmetteurCodeurSourceDestinationDécodeurRécepteur Canal de transmission.

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1 Chaîne de Transmission

2 La chaîne de transmission Bruit, Perturbations et Interférences EmetteurCodeurSourceDestinationDécodeurRécepteur Canal de transmission

3 Underspace Direct Pseudo Proton Channel Instant Communication Underspace Direct Pseudo Proton Channel

4 Histoires et Techniques

5 Source analogique CANCODECMODEM Destination analogique CNACODECMODEM Réception Emission Chaîne de Transmission Sommaire Source binaire Destination binaire Le canal de transmission - Caractéristiques Générales Cod/Décodage en Bande de base ou Mod/Démodulation Codages à la source Conversion Analogique- Numérique et Numérique- Analogique Le canal physique – La fibre optique Stockage d'information – Disque optique Affichage d'une image numérique AMP A N N N N A

6 AMP Source analogique CANCODECMODEM Destination analogique CNACODECMODEM Réception Emission Chaîne de Transmission Le canal - Caractéristiques Générales Source binaire Destination binaire A N N N N A

7 Canal de Transmission Propagation Libre ou Guidée Canal Simplex – Duplex – Multiplex Caractéristiques générales –Atténuation –Déphasage, temps de propagation –Bande passante, dynamique –Capacité

8 Propagation guidée Propagation libre Propagation libre - Propagation guidée

9 Directivité Propagation directionnelle

10

11 Canal de Transmission Propagation Libre ou Guidée Canal Simplex – Duplex – Multiplex Caractéristiques générales –Atténuation –Déphasage, temps de propagation –Bande passante, dynamique –Capacité

12 Multiplex Canal simplex, duplex, multiplex ou Ex. Radio, Télévision Ex. Talkie-Walkie Ex. Téléphone

13 Utiliser au mieux la capacité, la bande passante, d'un canal à haut débit Multiplexage/Démultiplexage (Dé)Multiplexeur Ligne rapide (Dé)Multiplexeur Lignes lentes

14 Compression Décompression Multiplexage temporel : Les données de chaque canal lent sont transmises rapidement pendant une fraction du temps de passage sur le canal rapide. Nécessite une forme de compression/décompression temporelle des données de chaque canal lent. Multiplexage/Démultiplexage Multiplexage fréquentiel : Les données de chaque canal lent sont transmises lentement sur une fraction de la bande passante du canal rapide. Nécessite une forme de modulation/démodulation pour chaque canal lent. Modulation Addition Plages de garde Multiplexage codé : Forme de multiplexage où les différents canaux sont codés avec un identifiant unique avant d'être envoyé simultanément sur le canal à haut débit. A la réception le décodeur aiguille chaque message selon son code. C1 C2 C3 C4 C5 C1 C2 C3 C4 C5

15 Canal de Transmission Propagation Libre ou Guidée Canal Simplex – Duplex – Multiplex Caractéristiques générales –Atténuation –Déphasage, temps de propagation –Bande passante, dynamique –Capacité

16 Propagation guidée De manière générale l'affaiblissement dans le guide d'onde, câble bifilaire, coaxial ou fibre optique croît exponentiellement avec la distance parcourue. Il s'exprime généralement en décibel par unité de longueur. (Neper/m), (dB/m) sont les coefficients d'absorption, d'affaiblissement, d'atténuation. Pour les câbles en cuivre l'atténuation est principalement dues aux - pertes résistives proportionnelles à la racine carrée de la fréquence (effet de peau) et - pertes diélectriques proportionnelles à la fréquence. Pour les fibres optiques les causes sont diverses avec, en premier lieu l'absorption dans le milieu et la diffusion par les impuretés. Exemples: Câble coaxial : 0.1 à GHz Fibre optique : 0.2 à nm Atténuation Rapport de la puissance de sortie P s à la puissance d'entrée P e Généralement exprimée en décibels (dB) Atténuation en dB : A = 10 log 10 (P s /P e ) En fonction de la distance parcourue il faut distinguer les cas de propagation libre ou guidée. Canal de transmission Caractéristiques Générales - Atténuation

17 Propagation libre La situation est très simple dans le vide où la puissance reçue décroit comme l'angle solide sous lequel l'antenne de réception voit l'antenne d'émission. Dans le cas général les effets du milieu de propagation, absorption, diffusion, réflexion, interférences, …, rendent le calcul irréalisable. On utilise souvent le modèle de l'exposant, qui stipule que l'affaiblissement est proportionnel à d, où d représente la distance et l'exposant d'affaiblissement variant suivant la géométrie des lieux. est généralement compris entre 2 (propagation dans le vide) et 6 (propagation en ville par exemple). L'affaiblissement s'écrit donc : Atténuation Rapport de la puissance de sortie P s à la puissance d'entrée P e Généralement exprimée en décibels (dB) Atténuation en dB : A = -10 log 10 (P s /P e ) En fonction de la distance parcourue il faut distinguer les cas de propagation libre ou guidée. Canal de transmission Caractéristiques Générales - Atténuation Absorption (dB/km) Fréquence (GHz) Longueur d'onde (nm)

18 Déphasage, temps de propagation Le déphasage d'un signal sinusoïdal de l'entrée à la sortie du canal est incontournable. Il est lié principalement au temps de propagation et ne donne lieu à distorsion (de phase) du signal que si le milieu de propagation est dispersif (dispersion chromatique). Si le milieu n'est pas dispersif la forme du signal reste inchangée. la vitesse v de propagation du signal ne dépend pas de la fréquence. Toutes les composantes spectrales du signal sont affectées du même retard L/v (L longueur du canal). ou, de manière équivalente Si le déphasage est proportionnel à la fréquence il n'y a pas de distorsion. Le déphasage se ramène alors à un temps de propagation indépendant de la fréquence. Ceci est valable aussi bien dans le milieu de propagation où L/v que dans l'électronique de l'émetteur et du récepteur. Canal de transmission Caractéristiques Générales Effet de la distorsion de délai sur le signal reçu Temps de propagation de groupe en fonction de la fréquence Délai (µs) Onde transmise Onde Reçue Ligne télégraphique dispersive

19 Canal de transmission Caractéristiques Générales Bande passante La largeur de la bande passante est la caractéristique essentielle dun support de transmission, qui se comporte généralement comme un filtre ne laissant passer quune bande limitée de fréquences. Dynamique Rapport de la puissance maximale (sans distorsion) de sortie à la puissance de bruit en sortie. C'est aussi le rapport Signal/Bruit S 2 /B 2 pour la puissance maximale admissible. S et B sont les valeurs efficaces du Signal et du Bruit, respectivement. Généralement exprimée en décibels (dB). Capacité pour une chaîne "numérique" La dynamique définit la taille maximale K en bits des symboles envoyés et identifiables sans erreur. La bande passante définit le nombre maximum N de symboles transmissibles sans erreur par unité de temps. Capacité (vitesse en bit/s) : le produit K.N.

20 Capacité de Shannon (calcul statistique exact pour un bruit gaussien) : où S et B sont les valeurs efficaces du Signal et du Bruit, respectivement Evaluation de la capacité d'un canal : Nombre de quanta qu'on peut résoudre, en sortie du canal, sur une impulsion d'amplitude maximum A M (le signal). Hartley : Soit A le pas minimum décelable => Nombre de pas = A M / A Capacité en bits H = Selon Nyquist-Shannon on peut transmettre au plus 2W impulsions indépendantes par seconde dans un canal de bande passante W. Capacité en bits/s C = 2W Capacité en amplitude, en bits/s Hartley - Shannon Capacité en bits H = Capacité en bits/s C = W Remarque : Dans ces expressions le rapport S/B est supposé constant sur la bande W. Si ce n'est pas le cas on peut toujours partager W en sous-canaux de bande passante réduite sur laquelle S/B est constant. La capacité globale sera évidemment la somme des capacités partielles.

21 Evaluation de la capacité maximum d'un canal pour S/B >> 1 Calcul de capacité H(S/B) (S/B en dB)/6 bits C(S/B, W) W (S/B en dB)/3 bits/s AN : S/B=48 dB, BP=1MHz => H < 8 bits, C < 16 Mb/s, 2 MO/s (MB/s) Pour un bruit blanc : B = B 0 W C(S/B, W) 1.44 W (S/B) 2 bits/s Evaluation de la capacité maximum d'un canal pour S/B << 1 C(S/B, W) 1.44 (S/B 0 ) 2 bits/s

22 Capacité des câbles cuivre et fibre

23 Capacité des câbles cuivre Réseau 10 Gb/s Capacité de Shannon Gb/s Capacité (Gb/s) Fréquence (MHz) é

24 Evolution de la Capacité 1940 : Le premier système de câbles coaxiaux L1 peut acheminer 480 conversations téléphoniques ou un programme de télévision. Dans les années 1970 le système L5 achemine appels ou plus de 200 programmes télévisés : Les radio relais micro-ondes, transportent conversations. Les systèmes ultérieurs montent à Dans les années 1970s, les radio relais transportent 70 % du trafic voix de AT&T et 95% du trafic télévision : Installation de la première fibre optique. Dans les années 1990 les câbles coaxiaux et les radio relais ne servent plus qu'en canaux de secours. Les avancées continues des techniques de fibre optique augmentent sans cesse la capacité des nouveaux systèmes te transmission guidée.

25 Source analogique CNACODECMODEM Destination analogique CNACODECMODEM Adapter la forme et la nature du signal aux caractéristiques du canal Un signal électrique ou optique est caractérisé par sa densité spectrale de puissance (encombrement spectral). On peut le transporter ou le stocker dans sa bande spectrale d'origine avec un éventuel transcodage (bande de base) ou effectuer une transposition pour le transporter dans une autre bande de fréquence adaptée aux longues distances (modulation). Bande transposée Bande de base Chaîne de Transmission Cod/Décodage en Bande de base ou Mod/Démodulation Source binaire Destination binaire AMP A N N N N A

26 Bande de base Transcodage - Généralités Liaison parallèle - Liaison série Transmission synchrone et asynchrone –Modes synchrones –Modes asynchrones

27 Bande de Base Transcodage - Généralités Le terme de bande de base désigne une technique de transmission par laquelle le signal, suite de bits représentant la donnée, est envoyé directement sur le support de transmission après un éventuel transcodage en ligne (NRZ, Manchester, ETF…). Un signal en bande de base ne subit pas de transposition de fréquence. La durée de chaque bit est constante, une période d'horloge T. Le spectre du signal transmis se trouve centré autour de la fréquence nulle ou proche de celle-ci à l'échelle de la fréquence d'horloge. Ceci distingue la transmission en bande de base des transmissions avec transposition de fréquence. La transmission en bande de base est particulièrement simple et économique pour les signaux synchrones et rapides, typiques de la plupart des réseaux locaux A l'émission le rôle du modulateur est assuré par un Transcodeur en bande de base qui a pour objet d'appliquer une transformation bijective du signal binaire vers un nouveau signal électrique mieux adapté aux caractéristiques du support de transmission (spectre et niveaux analogiques). qui contienne une information de synchronisation entre les horloges de lémetteur et du récepteur. Au niveau du récepteur on a de même un Transcodeur qui assure le rôle de démodulateur en appliquant la transformation réciproque pour retrouver le signal binaire d'origine. Codeur Décodeur Remarque : avant le transcodeur ou le modem il peut y avoir un codeur (CoDec) dont le rôle est de faire correspondre à chaque symbole/caractère une représentation binaire (codage à la source), de compresser et/ou de crypter linformation.

28 Bande de base Transcodage - Généralités Liaison parallèle - Liaison série Transmission synchrone et asynchrone –Modes synchrones –Modes asynchrones

29 Bande de base Liaison parallèle - Liaison série Liaison série Liaison parallèle La liaison parallèle peut être très rapide mais demande autant de fils que de bits transmis simultanément. On ne l'utilise que pour des connexions très courtes, quelques mètres Etant donné le problème que pose la liaison parallèle, c'est la liaison série qui est la plus utilisée.

30 Bande de base Conversion parallèle/série - série/parallèle B 0 B 7 entrée parallèle sortie série Horloge Registre à décalage entrée sérieHorloge Registre à décalage Schéma de base d'une liaison série synchrone Horloge Commune Principe de la transmission série synchrone Transmission de données d'un équipement A à un équipement B. Les données à transmettre existent sous forme parallèle (octet ou autre) et sont transmises sous forme série (LSB en premier, souvent). Les données reçues sous forme série (LSB en premier...) sont reconditionnées dans le format initial. La synchronisation est assurée par un second fil qui transmet l'horloge entre l'émetteur et le récepteur.

31 Bande de base Transcodage - Généralités Liaison parallèle - Liaison série Transmission synchrone et asynchrone –Modes synchrones –Modes asynchrones

32 Bande de base Nécessité d'horloge et de synchronisation Données Horloge Paquet de données Donnée Octet Mode Asynchrone Mode synchrone A quelle suite de bits correspond la séquence de niveaux du haut ? L'horloge lève l'ambiguïté

33 Pour reconstituer correctement une séquence de bits et quel que soit le mode de transmission le récepteur doit savoir à quels instants le signal analogique reçu doit être échantillonné pour être significatif des niveaux logiques transmis. Il existe deux types de transmission permettant de le faire : Transmission asynchrone Chaque caractère, symbole ou suite de bits de longueur fixe, est émis de façon irrégulière dans le temps (par exemple un utilisateur envoyant en temps réel des caractères saisis au clavier). Les horloges de lémetteur et du récepteur sont indépendantes mais de même fréquence. La synchronisation des caractères se fait par reconnaissance de signaux de départ (START) et darrêt (STOP) qui délimitent chaque caractère. Entre les deux le caractère est codé sur un nombre fixe de bits. A la réception du signal START le récepteur déclenche son horloge locale de sorte que les deux horloges sont en phase au moins pour la durée de transmission du caractère. Transmission synchrone et asynchrone Généralités Transmission synchrone Dans une transmission synchrone les bits sont émis tout les T secondes (période du signal dhorloge de lémetteur). Pour assurer la synchronisation des bits, le récepteur doit reconstituer le rythme 1/T qui a servi à lémission. On dispose de deux moyens pour y parvenir : Transporter le signal dhorloge sur un support séparé reliant lémetteur et le récepteur. Cette technique est utilisée sur des courtes distances. La deuxième solution, très utilisée lorsque lémetteur et le récepteur sont séparés par des longues distances, consiste à reconstituer le signal dhorloge à partir du signal reçu, pour ce faire il faut transmettre des signaux tels que le récepteur puisse trouver des nombreuses transitions même pour des suites de bits identiques

34 Codage – Décodage Modes synchrones Le codage naturel NRZ des données binaires sous forme de deux niveaux d'une grandeur physique n'est souvent pas optimal. - Sa valeur moyenne n'est pas nulle. La possibilité de longues suites de 0 ou de 1 impose une bande passante allant jusqu'à fréquence nulle. - Le décodage est sensible aux fluctuations de niveau - De manière générale le décodage est affecté par le bruit en 1/f On préfère souvent un codage des 0 et 1 par des transitions de niveau à des instants liés à une horloge. Utiliser les transitions rend la détection indépendante du niveau absolu donc de ses fluctuations lentes. Exemple : le codage NRZI 0 = pas de transition à mi-période d'horloge 1 = transition à mi-période d'horloge Les modes synchrones nécessitent un signal d'horloge qui doit être transmis sur un canal auxiliaire au détriment de la bande passante. Pour éviter cela on utilise des codages qui limitent la longueur des séquences de 0 ou de 1. La présence de transitions fréquentes permet alors de régénérer l'horloge au niveau du décodage donc sans ligne auxiliaire. Les codes NRZx ne répondent pas à ce critère et seront donc utilisés soit en local avec une ligne d'horloge soit en mode asynchrone. Densité spectrale d'un signal NRZx Code NRZ Horloge Code NRZI

35 Le codage Manchester code les 0 et 1 selon le sens de la transition à mi période. 0 = transition descendante à mi-période d'horloge 1 = transition montante à mi-période d'horloge + transition en fin de période nécessaire entre bit identiques Ce type de codage présente au moins une transition par période d'horloge et permet la synchronisation des horloges source et destination. Le codage Manchester est aisé : - OU exclusif entre le code naturel et l'horloge. Le OU exclusif est réversible (auto adjoint) Décodage : - OU exclusif entre le code Manchester et l'horloge. Codage – Décodage Modes synchrones … … Densité spectrale d'un signal Manchester Horloge Code Manchester

36 Codage – Décodage Exemples de liaisons asynchrones USB 1.1 RS232 Tension sur la paire différentielle Symbole du décodage Décodage NRZI Format du paquet Start Synchro Octet transmis Stop Mot transmis de 5,6 7 ou 8 bits. 1 bits de start (0) et 1, 1.5 ou 2 bits de stop (1) indiquent le début et la fin du mot transmis. 1 bit de parité (paire ou impaire) est éventuellement ajouté pour détecter les erreurs de transmission. Transmission à 75,150,300,600,1200,2400,4800,9600,19200, bit/s (appellé aussi Baud)

37 Bande transposée Porteuse, Modulations Analogiques AM, FM, PM Modulations 1 bit –ASK, FSK, PSK Modulations N bits – QPSK, QAM-16 –QPSK, 2 bits –QPSK, 4 bits –ODFM, KxN bits

38 Modulations - La Porteuse Onde porteuse, ou Porteuse : Forme d'onde, souvent sinusoïdale, dont une ou plusieurs caractéristiques (amplitude, fréquence, phase) sont modulées par un signal d'entrée contenant l'information dans le but de transporter celle-ci. La porteuse a généralement une fréquence beaucoup plus élevée que le signal d'entrée. Intérêt de la porteuse : Transmettre une information à travers l'espace sous forme d'onde électromagnétique Permettre à plusieurs canaux de partager un même support physique en utilisant des porteuses de fréquences différentes (multiplexage fréquentiel). Bande de base Données brutes Porteuse Signal modulé

39 Modulations Analogiques Amplitude, Fréquence, Phase Signal modulant MF MA MP U MA =U 0 [ 1+m.A.f m (t) ].cos( p t) U MF =U 0 cos [ p t + f m (t)dt ] U MP =U 0 cos [ p t +.A.f m (t) ] U m =A.f m (t)

40 Bande transposée Porteuse, Modulations Analogiques AM, FM, PM Modulations 1 bit –ASK, FSK, PSK Modulations N bits – QPSK, QAM-16 –QPSK, 2 bits –QPSK, 4 bits –ODFM, KxN bits

41 Modulations 1 bit – bASK, bFSK, bPSK bASK 2 Amplitudes de porteuse bPSK 2 Phases de porteuse Rapport S/B en dB Capacité du canal en bits bFSK 2 Fréquences de porteuse

42 Bande transposée Porteuse, Modulations Analogiques AM, FM, PM Modulations 1 bit –ASK, FSK, PSK Modulations N bits – QPSK, QAM-16 –QPSK, 2 bits –QPSK, 4 bits –ODFM, KxN bits

43 Quad Phase Shift Keying QPSK – 2 bits / symbole …[b 1 b 0 (n)]… Matrice Symbole Phase QPSK, Code Gray 0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts Données I Q Signal Modulateur Démodulateur r p (t)= I(t)(1+cos(4 f 0 t)/2 + Q(t)sin(4 f 0 t)/2 r t (t)= Q(t)(1+cos(4 f 0 t)/2 + I(t)sin(4 f 0 t)/2 Passe-Bas Regroupeur >0 | 0 <0 | 1 >0 | 0 <0 | 1 Séparateur pair-impair Q(t) I(t) 0 | +V 1 | -V 0 | +V 1 | -V b 0 (n) b 1 (n) I(t)cos(2 f 0 t) + Q(t)sin(2 f 0 t) b 0 (n) b 1 (n) …[b 1 b 0 (n)]…

44 Quadphase Amplitude Modulation -16 QAM16 – 4 bits / symbole Matrice QAM16 Symbole 4 bits Phase-Amplitude Modulateur Démodulateur …[b 3 b 2 b 1 b 0 (n)]… vers I et Q Q(t) I(t) I et Q vers …[b 3 b 2 b 1 b 0 (n)]… r p (t)= I(t)(1+cos(4 f 0 t)/2 + Q(t)sin(4 f 0 t)/2 r t (t)= Q(t)(1+cos(4 f 0 t)/2 + I(t)sin(4 f 0 t)/2 Passe-Bas I(t) Q(t)

45 Série vers parallèle CNA FFT -1 Orthogonal Frequency Division Multiplexing Symbole : K.N bits OFDM : Modulation complexe performante (ADSL, CPL, WiFi, Mobile 4G, TNT). Milliers de sous porteuses orthogonales avec modulation indépendante de chaque sous porteuse en QPSK ou en QAM, multiplexage en fréquence et/ou multiplexages temporel. En optique : WDM (Wavelength …) Analyse harmonique Synthèse harmonique X n, réel ou complexe, est le coefficient de Fourier de l'harmonique n K bits / QAM N sous-porteuses Parallèle vers série CAN

46 ODFM – QPSK Synthèse harmonique 4 sous-porteuses harmoniques du fondamental 100 kHz et, de facto, orthogonales sur une période de 10 µS Période de base – Durée d'émission d'un symbole

47 Asymmetric Digital Subscriber Line (ADSL) Une application de l'ODFM Capacité (maximum) ADSL: Bande passante 1.1 MHz, 220 porteuses à n×4,3125 kHz 4,3125 symboles/s x 15 bits QAM/porteuse x 220 = 13 Mb/s. ADSL2+ (2.2MHz; 24 Mb/s) Capacité de Shannon, exemple du canal 50 : S/B = 55 dB, C ~ (S/B)/6 ~10 bits Lorsqu'une sous-porteuse est affectée par des perturbations, le modem et l'équipement distant ont la possibilité d'échanger des requêtes qui leur permettent d'augmenter la puissance d'émission dévolue à cette sous-porteuse ou de réduire le nombre de bits transmis sur celle-ci, et de transférer la différence sur une sous-porteuse qui bénéficie de meilleures conditions de réception Capacité Shannon en bits/canal pour un S/B de 54 dB ~ (S/B en dB)/6 = 9 Rapport Signal/Bruit (dB) Porteuse Fréquence de porteuse Liaison montante Liaison descendante Référence

48 Asymmetric Digital Subscriber Line (ADSL)

49 SourceCNACODECMODEMDestinationCNACODECMODEM Compresser et/ou crypter les données, ajouter les codes de correction d'erreur. La source prend des formes diverses : Analogique transformée en une suite de nombre binaires par le CNA. Ecriture dans un certain alphabet. Déjà binaire dans un certain code. A l'émission le codec transpose ces données vers une suite de bits, dans un nouvel alphabet (code) binaire optimisé et/ou crypté. Il ajoute souvent des codes de correction d'erreur. A la réception le codec fait l'opération inverse pour remettre les données dans leur forme d'origine. Chaîne de Transmission Codages à la source Source binaire Destination binaire AMP A N N N N A

50 Codages à la source Codages à la source - Généralités Cryptage – pour mention Compression –Shannon –Exemples

51 Théorie de linformation (Shannon 1948) Capacité dun canal de télécommunications et méthodes de codage de canal Représentation efficace de linformation: le codage de source sans pertes (compaction de linformation) Numérisation sans pertes d'un signal analogique

52 Un message n'apporte de l'information que dans la mesure où son contenu est inconnu. Soit un événement x de probabilité p(x), la quantité d'information I(x) qu'apporte sa connaissance est de la forme I(x) = f (1/p(x)) pour que I(x) croisse quand p(x) décroît Il faut de plus que –I(x) soit positive, –nulle pour p(x)=1 –et additive : On choisit donc f log et si log e unité : Nat si log 10 unité : Hartley si log 2 unité: bit Mesure de la "Quantité" d'information

53 Définitions Alphabet: ensemble fini de symboles ex : a b c d e... alphabet binaire : 0 1 Message: suite finie de symboles prise dans l'alphabet ex : Shannon, Source de message ex : dictionnaire alphabet de symboles à 7 bits ( à ) Soit une source X de messages x x x 1, x 2,... x i.... x n de probabilité p 1, p p i..... p n Un message de cette source apportera en moyenne la quantité d'information : H est appelée "Entropie d'information" ou "de Shannon" de la source. Elle est maximale pour des messages équiprobables : H max = log 2 (1/p) "Quantité" d'information d'un message

54 Longueur vs Information moyenne Soit une source de messages X de N symboles, soit n i le nombre de bits codant le message x i Longueur moyenne en bit du message codé Information moyenne du message codé L'objet d'un codage optimisé est de rapprocher le plus possible la longueur moyenne de l'entropie moyenne des messages. Quantité d'information moyenne d'un alphabet Longueur vs Information moyenne d'un message Exemple 1 Alphabet latin + espace, 27 symboles Si les symboles sont équiprobables p i =1/27 et H = log 2 (27) = 4.75 bits par lettre En réalité, les lettres ne sont pas équiprobables et H = 3.98 bits par lettre. Les messages encodés en "alphabet latin" sont 4.75/3.98 = 1.2 fois plus longs que nécessaire ! Exemple 2 Source binaire (0, 1), p1 = p et p0 = 1-p H(p) = - p log(p) - (1-p)log(1-p)

55 Codages à la source Codages à la source - Généralités Cryptage – pour mention Compression –Shannon –Exemples

56 Code optimisant - Messages à N Symboles Théorèmes de Shannon Par exemple, on regroupe les symboles trois par trois et on les code comme ci-contre. Un message tel que s1s1s1s1s1s2s2s2s1 sera codé La longueur moyenne du code d'un message de N symboles est : 0.728N (optimum : 0.722N) Symbole à coder Probabilité du triplet Codage du triplet Longueur du code s1s1s1s1s1s1 0.8³ = s1s1s2s1s1s2 0.8² × 0.2 = s1s2s1s1s2s1 0.8² × 0.2 = s2s1s1s2s1s1 0.8² × 0.2 = s1s2s2s1s2s2 0.2² × 0.8 = s2s1s2s2s1s2 0.2² × 0.8 = s2s2s1s2s2s1 0.2² × 0.8 = s2s2s2s2s2s2 0.2³ = On considère les messages de N symboles construits avec l'alphabet binaire A (s 1, s 2 ) avec des probabilités respectivement p 1 = 0.8 et p 2 = 0.2. La quantité d'information contenue dans un symbole est : H A = Si chaque symbole est indépendant du suivant, alors un message de N symboles contient en moyenne une quantité d'information égale à N.H A. Si le symbole s 1 est codé 0 et le symbole s 2 est codé 1, alors le message a une longueur de N, ce qui est une perte par rapport à la quantité d'information qu'il porte. Codage de l'information Les théorèmes de Shannon énoncent qu'il est possible de coder le message de façon à ce que le message codé ait en moyenne une longueur aussi proche que l'on veut de N.H A lorsque N augmente.

57 Types de codes Code : Ensemble de suites finies de symboles issus d'un alphabet source Codes à longueur de mot fixe Source codée par un alphabet de taille K : a 1, a 2,..., a k Exemple alphabet binaire [0,1] K = 2 Extension d'un alphabet de taille K Soit un mot de m symboles de cet alphabet x 1, x 2,..., x m On peut construire K m mots différents Ces K m mots constituent les symboles d'un nouvel alphabet appelé m ième extension de K exemples :extension de l'alphabet binaire K=2 AI2 m=5, 2 5 = 32 symboles de à AI5 m=7, 2 7 = 128 symboles de à Pour coder les symboles d'un alphabet de taille D par la n ième extension d'un alphabet de taille K, on doit avoir K n D soit n log(D)/log(K) Exemple :Décimal Codé Binaire (BCD) K = 2, D = 10 symboles (chiffres 0 à 9) soit n log(10)/log(2) = 3.32donc n = 4 Un code à longueur fixe est toujours déchiffrable (sans ambiguïté). Il ne nécessite pas de préfixer les nouveaux symboles. En revanche il ne sera optimum que si les symboles source sont équiprobables.

58 Codes à longueur variable Exemple le code Morse Code caractérisé par : Longueur moyenne des symboles Information moyenne par symbole Un code est déchiffrable (conditions suffisantes) si il a une longueur fixe ou il est préfixé : aucun symbole ne peut être le début d'un autre. Un code irréductible est construit à l'aide d'un arbre dont les feuilles sont les nouveaux symboles P(x i )code 1code 2 code 3 code 4 x 1 0,41010 x 2 0, x 3 0, x 4 0, non injectif AmbiguDéchiffrable Préfixé Irréductible Préfixé Info. moy Long.moy Arbres pour une source binaire d'ordre 4 Les codes sont les feuilles Codes à longueur de mot variable

59 Codage Shannon - Fano Exemple d'un alphabet source de 8 symboles Les symboles de l'alphabet source contiennent en moyenne H = 2.69 bits d'information. En code de longueur fixe on doit coder ces symboles sur 3 bits, le minimum pour 8 symboles, la longueur d'un message de N symboles serait 3N bits pour une information moyenne de 2.69N bits. Avec le codage SF la longueur moyenne d'un symbole est de 2.73 bits, celle d'un message codé de 2.73N Longueur approx. Codage Mot de code Construction du code 1 Trier les symboles par ordre de probabilité décroissante. 2 Créer 2 sous-groupes de probabilités comparables 3 Donner le code 0 au groupe supérieur et 1 au groupe inférieur 4 Itérer sur 2-3 jusqu'à 1 symbole par sous- groupe Autres méthodes : Codage de Huffman : comme Shannon, Huffman est un codage dit entropique sur l'alphabet; ils diffèrent simplement dans la façon de construire l'arbre. Ils peuvent s'étendre à un codage sur les séquences de symboles (mots) après création d'un dictionnaire (Lempel-Ziv)

60 Code Morse Code Morse International La longueur d'un point est 1 La longueur d'un trait est 3 L'espace entre parties d'une même lettre est 1 L'espace entre lettres est 3 L'espace entre mots est 7 En binaire : Point10 Trait1110 Espace entre lettres00 Espace entre mots0000 Morse a choisi des codes courts pour les lettres les plus fréquentes.

61 Chaîne de Transmission Conversion Analogique-Numérique et Numérique-Analogique SourceCNACODECMODEMDestinationCNACODECMODEM Numériser les données analogiques Afin de bénéficier des nombreux avantages que présente le traitement de l'information par les processeurs, les grandeurs analogiques, audio, vidéo ou mesures doivent être d'abord numérisées, transformées en une suite de nombres binaires par un CNA. Elle seront transmises ou stockées dans un format binaire après codage, en général. A la réception ou la lecture les données numériques seront décodées puis converties en signaux analogiques si nécessaire, comme les données audio/vidéo. PCM PWM PDM AMP A N N N N A

62 Conversion N/A et A/N Conversions Analogique Impulsions Convertisseurs Numérique - Analogique Convertisseurs Analogique - Numérique

63 Modulation de largeur d'impulsion (PWM) +1 Signal PWM Temps PWM Modulation Par comparaison entre le signal analogique et la porteuse triangulaire la sortie du comparateur consiste en des impulsions d'autant plus larges que le signal est haut. La sortie reste haute tant que la porteuse est inférieure au signal. Comparateur Signal analogique Porteuse Signal PWM Temps Démodulation La suite d'impulsions de largeur codée est envoyé sur un filtre passe-bas qui élimine la porteuse PWM et reconstitue le signal d'origine. Sortie analogique Filtre passe-bas

64 Modulation de densité d'impulsions (PDM) Un autre forme de modulation de même nature que la PWM. Ici ce n'est pas la largeur des impulsions qui est modulée mais le délai entre impulsions de même largeur. On peut considérer cette modulation comme un conversion analogique numérique à 1 bit. Le taux d'échantillonnage doit être très élevé. Comme pour la PWM le décodeur est un simple filtre passe-bas.

65 Modulation d'impulsion codée (PCM) Analogique Numérique La conversion AN/NA standard Il s'agit d'une représentation numérique d'un signal analogique où la hauteur du signal est prélevée régulièrement à intervalles uniformes de durée T e. Chaque échantillon est quantifié sur une série de symboles dans un code numérique, qui est habituellement un code binaire. Le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon stipule que les fréquences plus hautes que la moitié de la fréquence f e d'échantillonnage (f e = 1/T e ) ne peuvent pas être reconstruites. Encore plus ennuyeux est le fait que ces fréquences trop élevées incorrectement reconstruites vont polluer le spectre basse fréquence par effet stroboscopique (ou battement) TeTe QeQe

66 Entrée Onde Analogique Audio ou Vidéo Mesure périodique Echantillonnage Sortie numérique Suite de nombres Numérisation

67 La catastrophe du sous-échantillonnage L'effet stroboscopique

68 Binaire : Minimum d'ambiguïté OuiouNonVrai ouFaux HautouBasBosse ouCreux BlancouNoirPrésent ouAbsent LongouCourtTrait ouPoint AnalogiqueBinaire Crac... ! 0 malgré le défaut 1010 Avantage 1 : Grande insensibilité aux défauts

69 Numérique Binaire: traité par un processeur A l'émission : Le processeur introduit périodiquement des sommes de contrôle A la réception : Le processeur lit les données puis la somme de contrôle et corrige éventuellement les bits erronés Avantage 2 : Codage et Correction des défauts | | | Emetteur Données | Contrôle | Données Récepteur | | 001® | Correction

70 Ecrit, Son, Images: beaucoup de répétitions A l'émission : Le programme code les parties semblables. A la réception : Le programme restitue le contenu original. Taux de compression Sans perte (restitution exacte) 2 à 10 Avec perte insensible (Audio MP3, Vidéo) 10 à 100 Reconnaissable100 à 1000 Avantage 3 : Codage et Compression Bla Bla Bla Oops Bla Bla Oops Oops 3Bla1Oops2Bla2Oops 3Bla1Oops2Bla2OopsBla Bla Bla Oops Bla Bla Oops Oops

71 Transmission et Stockage de l'Information Ecrite, Sonore, Visuelle Avantage 4 : Support unique

72 Conversion N/A et A/N Conversions Analogique Impulsions Convertisseurs Numérique - Analogique Convertisseurs Analogique - Numérique

73 V s V ref (b 0 + 2b 1 + 4b 2 + 8b 3 ) b3b3 b2b2 b1b1 b0b0 V ref Addition de courant CNA – Echelle binaire Convertisseur multiplicateur V s V ref (b 0 + 2b 1 +4b 2 +8b 3 )/15 b3b3 b2b2 b1b1 b0b0 Addition de tension

74 V s = V ref ((((b 0 /2 +b 1 )/2+b 2 )/2+b 3 ) V REF b3b3 b2b2 b1b1 b0b0 V REF /2 V REF /4 V REF /8 Addition de courant 2R CNA – Echelle R-2R Convertisseur multiplicateur R2RRR R V s =V ref ((((b 0 /2 + b 1 )/2+b 2 )/2+b 3 )/2 b0b0 b1b1 b2b2 b3b3 Addition de tension

75 CNA – Echelle linéaire V s b n V ref V REF Décodeur 1 parmi 8 Addition de courant V s V ref n Décodeur Barre 0 à 7

76 Conversion N/A et A/N Conversions Analogique Impulsions Convertisseurs Numérique - Analogique Convertisseurs Analogique - Numérique

77 Convertisseur Analogique - Numérique nb=2 N (V ent /V ref )nb=10 N (V ent /V ref ) Binaire Décimal Caractéristiques principales 1. Dynamique: 2 N ou 10 N (N nombre de chiffres binaire ou décimal) 2. Plage de conversion : V, gamme des tensions d'entrée que le CAN peut convertir, généralement [0, V ref ] ou [-V ref /2, +V ref /2]. 3. Résolution: = V ref /2 N ou V ref /10 N 4. Linéarité :Ecart maximum entre la tension théorique et la tension d'entrée réelle provoquant la transition entre les nombres n et n+1 en sortie. Généralement inférieure à /2. 5. Fréquence de conversion maximale, f c 6. Temps de conversion, c Techniques de conversion 1. Flash ou parallèle : f c = 10 à 1000MHz, c = 1ns à 0.1µs, N = 6 à 12 bits (Dynamique 64 à 4096). Les plus rapides, les moins précis. 2. Approximations successives : f c = 1kHz à 1MHz, c = 1µs à 1ms, N = 8 à 24 bits (Dynamique 256 à ). 3. Voltmètres numériques : f c = 1 à 10Hz, c = 10ms à 1s, N = 4 à 7 chiffres (Dynamique 10 4 à 10 7 ). Les plus lents, les plus précis. 4. Convertisseurs tension-fréquence : spéciaux, la sortie n'est pas un nombre mais des impulsions à une fréquence proportionnelle à la tension d'entrée (0,1 à 10 MHz/V). Selon le temps de comptage des impulsions, l'utilisateur est maître de la dynamique. Utilisés lorsque l'on désire intégrer un signal.

78 Convertisseur Tension / Fréquence Bas coût, facile à mettre en œuvre, très haute résolution à volonté (temps de comptage) CTF Fréquencemètre Connexion directe ou radio cuivre ou fibre Le condensateur d'intégration se charge linéairement avec un courant Ve/R. Lorsque sa tension atteint un seuil fixé le système commute en mode décharge en ajoutant un courant –I fixe. Le condensateur est donc déchargé avec le courant Ve/R-I pendant un temps fixe. Puis le cycle recommence. L'équilibre charge-décharge fait que la fréquence du cycle est proportionnelle à la tension d'entrée Entrée analogique Comparateur Sortie numérique compteur Sortie Fréquence Monostable Intégrateur Source de courant

79 CAN – Voltmètre numérique Entrée analogique compteur Horloge + Contrôle Sortie numérique Comparateur Horloge + Contrôle compteur Sortie numérique Entrée analogique Référence Comparateur V e = (I/C)t x Pente : I/C V e = V ref (t x /T) Pente : V e /RC Pente : V ref /RC Le condensateur d'intégration est chargé à Ve puis déchargé à courant fixe. Le temps de décharge mesuré t x est proportionnel à la tension Ve. Le condensateur d'intégration est chargé à courant fixe Ve/R durant un temps fixe T puis déchargé à courant fixe Vref/R. Le rapport mesuré t x /T est égal à Ve/V ref. Double pente Simple pente

80 compteur / décompteur Sortie numérique CNA Entrée analogique Comparateur Convertisseur suiveur Le compteur incrémente ou décrémente selon que l'entrée croît ou décroît de sorte que la sortie du CNA se maintienne égale à l'entrée analogique. CAN – Rampe numérique Entrée analogique Horloge + Contrôle Générateur de rampe Sortie numérique CNA compteur Comparateur t x =V e /p VeVe Analogique ou CNA Rampe V=p.t 0 Le compteur incrémente pendant que la tension de rampe analogique ou numérique (CNA) grimpe. Lorsqu'elle atteint la tension d'entrée le compteur et la rampe cessent de monter. Le temps de montée est proportionnel à la tension Ve.

81 CAN – Approximations successives Entrée analogique Horloge + Contrôle Comparateur Sortie numérique CNA Compteur et Logique d' approximation dichotomique Amplificateur échantillonneur bloqueur Départ Prêt Départ Tous les bits à 0 Le système logique place le bit le plus significatif à 1 puis selon le résultat de la comparaison entre Ve et Vcna, le garde (Ve > Vcna), ou le remet à 0. Il passe ensuite au bit inférieur, et ainsi de suite jusqu'au bit le plus faible. Prêt

82 CAN Flash Entrée analogique Conversion Sortie numérique Décodeur Barre / Binaire Le plus rapide : GSample/s rarement plus de 8 bits Ce convertisseur fourni un signal numérique brut de type barre lumineuse (ou thermomètre). Tous les comparateurs dont la tension de référence (sur l'échelle) est inférieure à la tension d'entrée sont à 1. Tous les autres, plus hauts sont à 0. Le décodeur transforme la barre de hauteur x en binaire.

83 Numérisation et Reconstruction Echantillonnage - Théorème d'échantillonnage (Shannon) Reconstitution du signal (Aspect temporel) Quantification - Théorème de quantification (Widrow) Reconstitution du signal (Amplitude)

84 Numérisation : Echantillonnage + Quantification Signal analogique (gris) Echantillonné (discret en temps) Quantifié (discret en amplitude) Numérisé

85 Echantillonnage Echantillonneur idéal – Multiplicateur par un peigne de Dirac Echantillonneur idéal e(t) : peigne de Dirac de période T e, fréquence (d'échantillonnage) f e = 1/T e e(t) = (t-kT e ) et E( ) = f e ( -kf e ) Signal échantillonné s e (t) : Suite périodique d'impulsions de Dirac de masse égale à l'amplitude du signal analogique à l'instant considéré : Spectre : Reproduction périodique, de période f e, de la transformée de Fourier et de la densité spectrale du signal d'entrée. s t t s e T e se ( ) +f e 0 +2f e +3f e -f e -2f e -3f e s 2f max... s(t) s e (t) e(t) Spectre Signal analogique Spectre Signal échantillonné

86 Echantillonneur bloqueur Echantillonnage Echantillonneur-bloqueur Le signal d'entrée à l'instant kT e est mémorisé (bloqué) pour une durée m après échantillonnage. Ceci revient à introduire, en sortie du multiplicateur, l'opérateur de convolution (opérateur de maintien) g s (t) = rect(t/ m ) Le convertisseur analogique numérique qui suit le dispositif d'échantillonnage a un temps de conversion fini c. Sous peine d'erreur de conversion le signal analogique doit rester constant durant la conversion. C'est le rôle du bloqueur que de garder en mémoire dans le condensateur, durant c, la tension échantillonnée. Certain CAN incorporent le circuit de blocage. D'autres ont des techniques de conversion qui sont équivalentes au maintien du signal à une valeur constante durant la conversion. s(t) e(t) s e (t) s(t) s e (t) e(t) h s (t) = m

87 Si l'on considère la transformée de Fourier ou la densité spectrale du signal échantillonné dans les cas où le signal d'origine ne contient aucune composante spectrale supérieure à f e /2, on voit qu'en appliquant un filtre passe-bas idéal coupant toutes les fréquences supérieures à f e /2 on élimine toutes les images et on retrouve, strictement, la transformée de Fourier ou la densité spectrale du signal analogique avant échantillonnage. Avant filtrage:Après filtrage idéal: En revanche, si le signal d'origine contient des composantes spectrales aux fréquences supérieures à f e /2, la transformée de Fourier du signal échantillonné ou sa densité spectrale se présentent comme : La densité spectrale d'ordre 0 (centrée sur =0) est mélangée aux répliques d'ordre 1 (translatées de f e ). Après filtrage idéal, les composantes > f e /2 du spectre original se retrouvent à la position f e - dans la densité spectrale filtrée ! Il en résulte une distorsion (appelée distorsion de repliement - aliasing) qui peut être considérable. Restitution du signal analogique Effets de repliement Spectre Non replié Identique à l'original Spectre tronqué en haute fréquence et, pire encore, replié

88 Restitution du signal analogique Sous-échantillonnage - Repliement - Effet stroboscopique Le signal vert de fréquence f supérieure à f e /2 n'est pas reproduit correctement mais sous la forme d'un signal de fréquence inférieure f e -f, battement entre f et f e. T ~T e Effet stroboscopique – Battements 2Cos(w)Cos(w') = Cos(w-w') + Cos(w+w') Repliement de spectre f e -f f e /2 f f e

89 Théorème d'échantillonnage Effets du repliement sur une image - Moiré

90 Théorème d'échantillonnage (Nyquist-Shannon) Tout signal d'extension spectrale bornée à f max peut être reconstitué dans son intégrité après échantillonnage, si la fréquence d'échantillonnage f e est supérieure à 2f max (ou T e <1/2f max ). Réciproquement, si l'on utilise une fréquence d'échantillonnage f e, il est impératif que le signal d'entrée ne présente pas de composantes aux fréquences supérieures à f e /2. Remarques: D'une manière générale, après échantillonnage à f e d'une sinusoïde de fréquence f, le signal échantillonné fait apparaître la fréquence nf e f avec n l'entier tel que |f e -n.f|fe/2.

91 Echantillonneur préfiltré Echantillonnage Filtre anti-repliement parfait Il s'agit donc toujours de reproductions périodiques, avec la période f e, de la transformée de Fourier et de la densité spectrale du signal d'entrée mais les spectres d'entrée sont modulés par la réponse fréquentielle du filtre. Remarque: Ici, le filtre donné en exemple est un passe-bas parfait. Dans la pratique, toute sorte de filtre passe-bas peut être utilisée mais il devra néanmoins avoir une coupure brutale (ordre élevé). Le signal d'entrée passe au travers d'un filtre passe-bas [-f e /2,+f e /2], avant d'être échantillonné, dans le but de limiter les variations trop rapides du signal (et du bruit) avant échantillonnage. Ceci est nécessaire pour éviter des erreurs de numérisation bien plus grave que la perte de faibles composantes en haute fréquence. On en déduit la transformée de Fourier et la densité spectrale du signal échantillonné : s(t) s e (t) e(t) H( )= Spectre Signal analogique Limité à la bande "Nyquist" TeTe -f e/2,+fe/2 Spectre Signal échantillonné sans recouvrement

92 Numérisation – La Chaîne Echantillonneur-Bloqueur CAN s(t) h s (t) = m e(t) s e (t) Quantificateur Filtre passe-bas anti-aliasing Coupure à f e /2 H( ) = -f e/2 +f e/2 s Te m

93 Numérisation et Reconstruction Echantillonnage - Théorème d'échantillonnage (Shannon) Reconstitution du signal (Aspect temporel) Quantification - Théorème de quantification (Widrow) Reconstitution du signal (Amplitude)

94 Restitution du signal analogique H s (f) = Sinc( fT e ) Original Numérisé Maintenu Interpolé linéaire Original Maintenu Linéarisé ee e eeee Spectre du signal numérique avec ses images à f e ±f filtré par la réponse fréquentielle de l'opérateur de maintien sinc( fT e ) s en (t) s a t) CNA h s (t) = TeTe Signal maintenu Filtre anti-image H( ) = -f e/2 +f e/2

95 Restitution du signal analogique Suréchantillonnage a posteriori – Filtre numérique interpolant L'interpolateur numérique (DSP=Digital Signal Processor) ajoute K-1 valeurs numériques entre les valeurs échantillonnées à nT e et (n+1)T e. Les valeurs interpolées "exactes" sont calculées par convolution dans l'espace des temps avec la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas idéal de Shannon h s (t) = sinc( fT e /K) de fréquence de coupure f c = Kf e La coupure du filtre anti-image peut alors être beaucoup moins abrupte. e e e e (B): Suréchantillonnage avec interpolation (K=3) Réponse du filtre anti-image e e Horloge Interpolateur numérique (DSP) CNA maintenu Filtre anti-image Sortie analogique e

96 Restitution du signal analogique Suréchantillonnage a posteriori – Filtre numérique interpolant Sinon e e e e e e e e e e e e e eee e r hrhr N Amplitude Temps (pT e ) Signal interpolé Partiels d Interpolation entre p et p+1 (d=0 à 1) par convolution avec la réponse h r (t) = sinc( t/T e ). k=1 à N points échantillonnés

97 Restitution du signal analogique Suréchantillonnage a posteriori – Filtre numérique interpolant Reconstitution avec un échantillonnage initial de 4 points par période (2 fois le taux minimal) sur lequel on a appliqué un suréchantillonnage de K=4 par interpolation numérique, convolution avec la réponse impulsionnelle du filtre (presque) idéal Echantillons originaux Suréchantillons Original Interpolé Partiels

98 Reconstruction d'un histogramme Application du filtre (presque) idéal A droite, barres verticales : Histogramme à 1 an de l'âge de la population des USA. A gauche : Histogramme à 10 ans de l'âge de la population des USA tiré du précédent. A droite, courbe continue : Distribution de l'âge de la population des USA reconstituée par convolution entre l'histogramme à 10 ans et la réponse impulsionnelle sinc( A/10) du filtre (presque) idéal.

99 Autre type de reconstruction Théorème de Logan Tout signal dont la densité spectrale est contenue dans un octave (B-2B) * peut être reconstitué dans son intégrité à partir de ses zéros (signal bipolaire) ou ses points d'intersection avec un niveau médian (signal unipolaire). * Et n'ayant pas de zéro/seuil commun avec son transformé de Hilbert Zéros du signal Signal original et reconstitué à partir des zéros (indiscernables) S.R. Curtis, A.V. Oppenheim et J.S. Lim MIT Original Noir 127 Blanc>127 Reconstitution à partir de l'image centrale

100 Numérisation et Reconstruction Echantillonnage - Théorème d'échantillonnage (Shannon) Reconstitution du signal (Aspect temporel) Quantification - Théorème de quantification (Widrow) Reconstitution du signal (Amplitude)

101 Convertisseur Analogique Numérique Erreurs de saturation Quantification avec indication de dépassement Quantification avec saturation Correction possible Correction hasardeuse Comptage avec repliement (wrapping)

102 Convertisseur Analogique Numérique Erreur (bruit) de quantification (d'arrondi) Remarque : La situation est plus complexe si p(s e ) est étroite. En particulier les données reconstruites peuvent être biaisées (cf. théorème de quantification). Pour une loi de quantification donnée, valeurs successives des intervalles i, et p(s ei ) étant la densité de probabilité du signal dans cet intervalle i, l'erreur quadratique moyenne d'arrondi s'écrit : q 2 p(s ei ) i 3 /12 Selon le genre de signaux traités par le CAN et selon le problème envisagé, la distribution des amplitudes de la valeur d'entrée peut être très variée. Pour une classe de signaux donnée, connaissant p(s e ), on peut ainsi trouver la loi de quantification optimale i (s i ) qui minimise q 2. Pour le cas le plus fréquent d'une quantification linéaire (intervalle de quantification constant i i, p(s ei ) = 1/N et q 2 /12. Cependant, si l'on désire une grande dynamique (>10 5 ), une quantification logarithmique i =exp(s i ) sera préférable car elle permet d'avoir une incertitude relative i /s i constante.

103 Théorème de quantification Théorème de Widrow Bon (u max 1/2 ) Fonction caractéristique du signal quantifié Distorsion et Théorème de quantification Le théorème d'échantillonnage donne le pas d'échantillonnage maximum T e en fonction de la fréquence ( ds/dt) maximale du signal. De même pour la quantification, on est amené à considérer la valeur du pas de quantification en regard de la densité de probabilité (DP) p(s) (~ dt/ds) du signal. La fonction caractéristique (FC) du signal (transformée de Fourier de la densité de probabilité) joue ici le même rôle que la densité spectrale pour l'échantillonnage. Les considérations précédentes se formalisent dans l'énoncé suivant du théorème de quantification : La densité de probabilité p(s e ) de tout signal dont la fonction caractéristique (u) - transformée de Fourier de p(s e ) - est bornée à u max peut être reconstituée dans son intégrité après quantification, si le pas de quantification est inférieur à 1/2u max. Les figures ci-dessus illustrent des situations où la quantification introduit ou non des erreurs de repliement.

104 Théorème de quantification Exemple d'une mesure répétée Un théorème contre-intuitif : plus de bruit moins d'erreur moyenne Echantillons Signal (en pas de quantification) A nalogique : bruit moyen, largeur 2, moyenne Quantifié : moyenne 37.23, erreur 0.02 (écart type de la moyenne : 0.06) Bon Analogique : bruit faible, largeur 0.4, moyenne Quantifié : moyenne 33, erreur 0.25 Mauvai s Signal (en pas de quantification) Echantillons Analogique : variation faible (largeur DP 1) Quantifié : droite ou échelon ou... ? Mauvais Analogique : variation suffisante (largeur DP 33) Quantifié : droite visible Bon

105 Numérisation et Reconstruction Echantillonnage - Théorème d'échantillonnage (Shannon) Reconstitution du signal (Aspect temporel) Quantification - Théorème de quantification (Widrow) Reconstitution du signal (Amplitude)

106 Restitution du signal analogique Quantification et Agitation(Dither) Le problème des erreurs de quantification est particulièrement visible pour les signaux lents et les signaux faibles dont la plage de valeurs, et, de facto, la densité de probabilité, sont étroites sur de longues périodes. Si l'on ne ne veux pas investir dans un CAN ayant une meilleure résolution on peut travailler sur le signal pour le faire mieux répondre aux critères de bonne reconstitution. Par exemple on peut additionner à chaque point du signal d'entrée une valeur tirée au hasard dans une distribution large de 1 à 2, souvent uniforme ou mieux, triangulaire. En effet la densité de probabilité de la somme de 2 variables indépendantes est le produit de convolution de leurs densités de probabilité respectives. Ainsi la densité de probabilité de la somme sera plus large et sa fonction caractéristique plus étroite. Le prix à payer est l'ajout de bruit blanc mais moins gênant que les défauts de quantification. Pour un bruit inchangé, on prendra k fois plus d'échantillons ce qui, après moyennage / passe-bas, réduira le bruit de k (suréchantillonnage). Cas de mesures : au lieu de bruit on peut additionner au signal analogique mesuré k points d'une rampe de hauteur et moyenner les k valeurs quantifiées. Le dither est une forme de bruit intentionnellement ajouté au signal analogique avant quantification afin de rendre aléatoire l'erreur de quantification et la répartir sur un large domaine fréquentiel (son) ou spatial (image). Ceci évite les artefacts liés aux larges plages constantes que peut présenter le signal quantifié quand le signal analogique varie moins qu'un pas de quantification. Ces artefacts sont des fréquences parasites (son) ou des bandes de couleur uniforme (image). Le dither est appliqué en routine dans les traitements des signaux audio et vidéo. + n+1 seuil n s=n+0.3 n+1 Seuil n 0.7 n 0.3 (n+1) + = n+0.3 Meilleure résolution grâce au dither Sans dither le CAN donne n. Avec dither la moyenne tend vers la valeur exacte n+0.3

107 Fréquences parasites Bruit Sans dither Avec dither Algorithme élaboré Noise Shaping Avec dither Restitution du signal analogique Quantification et Agitation(Dither) Original Original + Dither Quantifié Sans dither Avec dither

108 Théorème de quantification Quantification et Agitation(Dither) 256 niveaux de gris

109 Théorème de quantification Quantification et Agitation(Dither) 16 niveaux de gris

110 Théorème de quantification Quantification et Agitation(Dither) 256 niveaux de gris 16 niveaux de gris avec dither

111 Chaîne de Transmission Le canal physique – La fibre optique AMP DestinationCNACODECMODEM Réception SourceCNACODECMODEM AMP Emission Source binaire Destination binaire Faisceau laser Miroir réfléchissant à 98% Miroir Tube flash de pompage Milieu excitable Cylindre d'aluminium poli A N N N N A

112 Transmission optique Propagation libre Propagation guidée – Fibre optique

113 Propagation libre Le Photophone de Bell (1879) Emetteur : Un miroir sphérique vibrant module l'intensité lumineuse du soleil au rythme des sons dans le tube acoustique. Récepteur : Le détecteur photoconducteur au Sélénium, placé au foyer du miroir parabolique, module le courant dans les écouteurs au rythme de l'intensité lumineuse reçue. Miroir Vibrant Cellule photoconductrice au Sélénium Willoughby Smith (1873) Ecouteurs Bell Miroir Parabolique 200 mètres

114 Propagation libre Lunette et Détecteur photoélectrique Laser La première télécommande TV sans fil 1956 R. Adler Photophone moderne Usage moderne de la liaison IR : Télécommande

115 La vitre fait office de membrane vibrant aux sons de la pièce. Le détecteur photo-électrique reproduit la modulation correspondante de l'intensité lumineuse du faisceau réfléchi. Gauche: simple modulation d'amplitude. Bas : Laser et détecteur au même point mais faible modulation Centre: système interférentiel Michelson. Les chemins optiques ne doivent pas être trop différents entre faisceau modulé et faisceau référence, sinon il y aurait perte de cohérence. Droite: version élaborée Propagation libre Séparateur Miroir Vitre Miroir Séparateur Détecteur Vitre Détecteur Vitre Séparateur Détecteur Lentilles de collimation Diode laser Lame séparatrice Lame retardatrice Vitre distante Détecteur Filtre optique passe-bande Détecteur CCD des interférences Lentille de collimation Prisme séparateur Le microphone laser

116 Transmission optique Propagation libre Propagation guidée – Fibre optique

117 Propagation guidée Fibres optiques La première application fructueuse de la fibre optique eut lieu au début des années 1950, lorsque le fibroscope flexible fut inventé par van Heel et Hopkins. Cet appareil permettait la transmission d'une image le long de fibres en verre. Malheureusement, la transmission ne pouvait pas être faite sur une grande distance étant donnée la piètre qualité des fibres utilisées. En 1957, le fibroscope (endoscope flexible médical) est inventé par Basil Hirschowitz aux USA. Endoscope Câble multifibres Fontaine lumineuse Colladon, Babinet 1842 Blindage acierPorteur diélectrique Faisceau décoratif

118 Fibre optique Multimode - Monomode Fibre à saut d'indice (débit limité à 100 Mb/s, distance 2 km). Les fibres multimodes ont un diamètre de coeur important (de 50 à 200 µm). Un rayon lumineux pénétrant dans le coeur de la fibre se propage longitudinalement sans sortir de la fibre grâce aux réflexions totales qu'il subit à l'interface entre le verre de coeur et le verre de gaine. La fréquence normalisée donne une indication directe sur le nombre de modes M qu'une fibre multimode peut contenir via l'approximation : M = V 2 /2. Fibre à gradient d'indice (débit limité à quelques Gb/s, distance 2 km). En s'éloignant de l'axe de la fibre un rayon rencontre un indice décroissant et, de ce fait (selon Snell), sa trajectoire s'incurve vers l'axe, effet mirage, de sorte qu'il ne s'échappe pas du cœur. Pour une variation parabolique de l'indice la dispersion modale est beaucoup plus faible que pour une fibre à saut d'indice. Fibre monomode (débit limité à 100 Gb/s, distance 100 km). Les fibres monomodes ont un diamètre de coeur faible (<10 µm) et proche de la longueur d'onde de la lumière injectée. L'onde se propage alors sans réflexion et il n'y a pas de dispersion modale. Une fibre est monomode pour une fréquence normalisée V inférieure à Fibre à saut d'indice Impulsion d'entrée Impulsion de sortie Indice de réfraction Fibre à gradient d'indice Fibre monomode n1n1 Ouverture Numérique Valeurs typiques pour n 1 = 1.45, n 2 = 1.43 NA : 0.24 i m : 14° i m : Angle limite Dispersion temporelle modale Forte Moyenne Faible Fréquence normalisée : 2 1 rcrc

119 Transmission sur fibre optique UFR Ingénieurs 2000 de l'Université Paris Est-Marne la vallée,

120 D'où la dispersion temporelle :et la bande passante Fibre optique Dispersions modale et chromatique Fibre à saut d'indice Fibre à gradient d'indice Le temps de propagation pour une longueur L de fibre dépend de l'angle d'entrée Les rayons qui s'éloignent le plus de l'axe ont le plus long trajet physique. Mais comme ils passent plus de temps dans un indice faible leur vitesse moyenne est plus élevée. Il en résulte une compensation et, pour un profil parabolique d'indice, la dispersion modale est beaucoup plus faible que pour une fibre à saut d'indice., à angle nul :, à angle limite : Impulsions résolues Impulsions non résolues Valeurs typiques pour n 1 = 1.45, n 2 = 1.43 : NA : 0.24 i = 66 ns/km et BP.L=15 MHz.km Valeur typique i : 0.25 ns/km Toutes les fibres, monomodes comprises, souffrent, bien sûr, de dispersion chromatique. Leur indice de réfraction et donc le temps de propagation de groupe dépend de la fréquence.

121 Fibre optique Modes Les fibres multimodes sont réservées aux réseaux informatiques à courte distance (datacenter, entreprises et autres). Les fibres monomodes sont installées pour des réseaux à très longue distance. Elles sont notamment utilisées dans les câbles sous-marins qui relient les continents. Index de mode I (angulaire) Modes : Ondes stationnaires transverses Index de mode m (radial) LP 01 LP 11 LP 21 LP 31 LP 41 LP 51 LP 61 LP 71 LP 81 LP 02 LP 12 LP 22 LP 32 LP 42 LP 52 LP 03 LP 13 LP 23 LP Indice de réfraction r (µm) Amplitude de E 0

122 1970 : Robert Maurer, Peter Schultz et Donald Keck, de Corning Glass, produisent la première fibre optique avec des pertes suffisamment faibles pour être utilisée dans les réseaux de télécommunications (< 20 dB/km). Leur fibre optique était en mesure de transporter fois plus d'information qu'un simple câble de cuivre, ce qui correspondait au rapport des longueurs d'onde utilisées. Aujourd'hui la fibre conventionnelle affiche des pertes < 0.25 dB/km pour = nm. utilisée dans les télécommunications : Premier usage militaire des fibres optiques : Premier réseau téléphonique urbain en fibre optique (AT&T) : Premier câble transatlantique en fibres optiques (TAT-8) (2 x 280 Mbits/s), circuits 1989 : Les liaisons téléphoniques transatlantiques et transpacifiques sont câblées fibre. Fibre optique Vitesse de transmission Records AnnéeOrganisationVitesse effectiveCanaux WDMVitesse par canalDistance 2009Alcatel-Lucent15 Tbit/s Gbit/s90 km 2010NTT69.1 Tbit/s Gbit/s240 km 2011KIT26 Tbit/s1 50 km 2011NEC [ 101 Tbit/s Gbit/s165 km 2012NEC, Corning []] 1.05 Petabit/sCœur de 12 fibres52.4 km

123 Multiplexage TDM Le multiplexage en temps Le TDM (Time Division Multiplexing) consiste à découper le flux d'information dans la fibre optique en séquences temporelles que vont se partager les différentes communications. Cela permet donc à un émetteur de transmettre plusieurs canaux numériques élémentaires à faible débit sur un même support de communication à plus haut débit. Ce procédé nécessite l'utilisation de matériel spécifique, en entrée un multiplexeur; et en sortie un démultiplexeur.

124 Multiplexage WDM Coarse-WDMDense-WDMUltra-Dense-WDM Nombre de longueurs d'ondeJusqu'à 168 à 128> 400 Espacement des canaux20nm à 25nm0.4nm à 1.6nm0.08nm Fenêtre spectrale~ 1260nm nm~ 1500nm nm Débit par longueur d'onde1,25 - 2,5 Gbit/s10Gbit/s - 40Gbit/s> 40Gbit/s Le multiplexage en longueur d'onde Le WDM (Wavelength Division Multiplexing) consiste à mélanger plusieurs signaux optiques sur une même fibre optique afin de multiplier la capacité de celle-ci.

125 Fibre optique Spectres d'absorption Pics d'absorption Longueur d'onde (nm) Fenêtres à faible perte Pertes (dB/km) Spectre d'absorption de la silice Faire mieux Loi de Beer-Lambert : partie imaginaire de l'indice de réfraction (pertes) X : longueur du chemin optique Diffusion Rayleigh Pertes IR multiphonon Longueur d'onde (nm) Pertes (dB/km) Visible Infrarouge Silice Meilleure limite théorique ZrF4-BaF2-LaF3-AlF3-NaF 1975, Poulain et Lucas Rennes

126 Fibre optique Pertes Type de perteCauses AbsorptionAbsorption des photon par excitation d'électron d'impuretés Diffusion Variation locale de l'indice de réfraction du cœur de la fibre Changements de densité ou de composition dans la matière Courbures Torsion dans la fibre Non respect du principe de réflexion totale interne Dispersion chromatique Variation de la vitesse des signaux lumineux de longueurs d'onde différentes Dispersion intermodale Phénomène applicable uniquement aux fibres multimodes. Variation du temps de propagation des signaux lumineux empruntant des modes différents. Pertes de connectique Séparation longitudinale Désalignement radial/angulaire

127 Les électrons excités vers le niveau E 3 (ou E 2 ) par les photons pompe relaxent vers le niveau E 2 puis vers l'état de base E 1 avec émission d'un photon à 1550 nm. Sous l'effet des photons incidents à 1550 nm plus d'électrons relaxent vers E 1 résultant en un gain de photons sortants (émission stimulée). Point très important : ces photons sont en cohérence avec les photons incidents. Laser pompe 980 ou1480 nm Isolateur Signal Faible Coupleur Signal amplifié Filtre étroit Fibre dopée à l'Erbium Emission spontanée Pompage optique 980 nm : Inversion de population Relaxation non radiative Phonons Photons incidents Emission stimulée Relaxation radiative Fibre optique Amplification

128 Amplificateur à fibre dopée à l'Erbium Fibre dopée à l'Erbium Laser pompe 980 ou1480 nm Coupleur Entrée signal faible Sortie signal amplifié David N. Payne de l'Université of Southampton et Emmanuel Desurvire à Bell Labs en 1986

129 Fibre optique Longues distances en WDM Emetteurs Multiplexeur Démultiplexeur Jusqu'à 5000 km ~100 km Fibres de transport Amplificateur optique Récepteurs Amplificateur optique

130 Chaîne de Transmission Stockage d'information – Disque optique SourceCNACODECMODEMDestinationCNACODECMODEM Reproduction Enregistrement Source binaire Destination binaire A N N N N A

131 AvantagesInconvénients AmovibleLent (tête lourde) Reproduction de masse (CD)Lecteur plus cher Usage : Stockage à moyen ou long terme (sur verre) Disques optiques

132 Faisceau laser Spot Intensité lumineuse réfléchie Couche de protection Couche réfléchissante Phase diffusante ou absorbante Phase réfléchissante ou transparente Couche à deux phases

133 Comment changer la réflectance ? Gravure: Impression de micro-trous CD/DVD Pré-enregistré-Non réinscriptible Brûlage: Altération thermique des propriétés optiques d'un plastique coloré ou d'un alliage CD/DVD-R Enregistrable-Non réinscriptible Changement de phase: Induction thermique d'une transition cristallin-amorphe CD/DVD-RW Enregistrable-Effaçable-Réinscriptible Magnéto-optique: Changement de la polarisation de la lumière réfléchie par une surface aimantée CD-RAM Ecriture / Lecture

134 Tête de Lecture Polarisation circulaire Polarisation Y retour Polarisation linéaire X Polarisation X aller Polarisation linéaire Y (J-P. Muller, Louis Armand, Mulhouse)

135 /4 L /2 L Interférences destructives L Compact Disk - CD ROM (1979) Disque Lecture seule Plat plus réfléchissant Trou moins réfléchissant Diffusé, Défocalisé, Diffracté + Interférences destructives Noter le diamètre du cercle d'Airy : largement débordant à l'extérieur des trous. Les interférences destructives ont lieu sur toute la longueur des trous.

136 Compact Disk - Le signal brut (J-P. Muller, Louis Armand, Mulhouse)

137 Codage EFM (Eight-to-Fourteen Modulation) Le standard EFM (Eight-to-Fourteen Modulation) est, à la base, un codage de type NRZI 0= absence de transition 1= transition à mi-période d'horloge Mais les séquences de bits enregistrées sont pas les séquences de bits entrants mais des séquences codées pour limiter les longues séquences de bits identiques et ainsi permettre le régénération d'horloge. Comme son nom l'indique ce codage remplace chaque octet (8 bits) par un groupe de 14 bits selon une table de correspondance construite de manière 1 - à assurer la présence d'une transition au moins toutes les 10 périodes d'horloge 2 - à réduire fortement la sensibilité de la lecture et du décodage aux défauts optiques. Ainsi les 14 bits sont tels qu'entre deux '1' il y a au minimum deux '0' et au maximum dix '0' Les trous font donc au minimum 3 périodes d'horloge de long ce qui assure leur détection

138 L'augmentation de densité de stockage du CD-ROM au Blu-ray est évidemment liée à la diminution de la longueur d'onde et l'amélioration de l'ouverture numérique. Mais on gagne bien plus que le simple rapport des aires d'Airy ce qui marque aussi des avancées techniques pour la détection optique. CD, DVD et BD A 2.1µm A 1.3µm A 0.6µm 0.6m m 1.1mm 0.1 mm 0.7 G0 4.7 GO 25 GO

139 Couche semi-réfléchissante Couches réfléchissantes Couche semi-réfléchissante Longueur d'onde 2 Longueur d'onde 1 Disque Versatile Digital - DVD (1997) 2006 : Blu-ray 405 nm 25 GO / couche

140 Ecrire Effacer Lire Phase cristalline réfléchissante Faisceau Laser Puissance Laser Phase amorphe diffusante Effacement (recuit) Ecriture (fusion + trempe) Disque réinscriptible (1987)

141 Disque RAM - Ecriture thermomagnétique Disquette 2,3 GO Lentille Faisceau laser L'aimantation de la partie chauffée par le spot laser s'oriente facilement selon le champ magnétique de la tête. Le reste n'est pas modifié.

142 CD-R, CD-W, CD-RW et CD-RAM A : CD-R, trous imprimés, reproduction de masse B : CD-W, points brulés C : CD-RW, les zones gris uniforme sont amorphes, les zone tachetées sont cristallisées et réfléchissantes D : CD-RAM, magnéto-optique, les zones sombres et claires ont des aimantations opposées

143 Destination binaire SourceCNACODECMODEMDestinationCNACODECMODEM Réception Emission Chaîne de Transmission Affichage d'une image numérique Source binaire AMP A N N N N A

144 Image Pixellisation Colorimétrie

145 Pixellisation Zoom sur 1 pixel Superzoomer subpixel (Seuls les experts de série TV en disposent)

146 Pixellisation

147 /0/ fiche___ressourcepedagogique/ &RH=

148 Demi-ton - Dither -Halftone

149 Quantification

150 Noir et Blanc

151 Noir et Blanc !

152 Image pixellisation Colorimétrie

153 Couleurs additives ou soustractives ? Sur écran Les pixels émettent RGB Sur papier Les pixels CMY absorbent RGB CMYK (quadrichromie) on rajoute le NOIR M C Y

154 Vision trichromatique Les 3 cônes – Capteurs biologiques Rétine Nerf optique Lumière Bâtonnet Cône Bâtonnets Cônes Lumière Sensibilité des cônes L(ong), M(edium), S(hort)

155 La réponse nerveuse L, M, ou S de chaque type de cône est le produit scalaire du spectre excitateur, la "couleur physique", par la réponse spectrale du cône La couleur perçue est un point L, M, S dans R 3 Tous les spectres excitateurs x i qui produisent le même triplet sont perçus comme étant de la même couleur. Ce sont des métamères. Vision trichromatique Perception des couleurs Réponse intégrale des cônes aux lampes 1 à 4: Sensibilité Intensité Couleur Perçue L=240 M=175 S=40 Longueur d'onde 4 métamères Lampe Spectres des 4 lampes

156 Gamut de l'œil humain moyen CIE 1931 Gamut : Gamme de couleur quun certain type décran ou d'encres permet de reproduire. Le gamut dun moniteur dordinateur, issu dune synthèse additive des couleurs rouge, vert, bleu, est différent du gamut dune imprimante, issu dune synthèse soustractive, ce qui explique quil y ait des différences entre une image affichée et la même image imprimée.

157 Gamut d'un écran cathodique typique [nm] Entrée R,V,B Spectre de la couleur obtenue Spectres des pixels RVB On remarque que les vecteurs de bases, p3, p2, p1 d'un appareil d'affichage ou d'impression ne forment pas une base complète.

158 Théorie classique 5000 K (Rayleigh) Radiance spectrale (kW sr -2 m -2 nm -1 ) [µm] Fréquence (Hz) Radiance spectrale (W sr -1 m -2 Hz -1 ) T = 8 mK Wien : Hautes fréquences f > 40 x T (GHz) Rayleigh : Basses fréquences f < 10 x T (GHz) B B Rayleigh, Wien et Planck ou Blanc Soleil (0.33, 0.33)

159 Histoires et Techniques

160 Quelques liens utiles (J-P. Muller, Louis Armand, Mulhouse)


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