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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Transformations.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Transformations S Cliquer pour la suite. Revenir à la diapositive précédente. Aller à la diapositive suivante. Légende

2 Nous avons vu dans la présentation précédente quil est possible en imposant des contraintes sur la variation des scalaires. Nous verrons maintenant quil est possible par les transformations de déplacer et de déformer ces objets. Introduction Cela nous permettra détablir des relations entre la géométrie, lalgèbre, les systèmes déquations et les opérations matricielles.

3 , un vecteur fixe de V. On appelle translation de vecteur, qui à un vec- teur, la transformation, notée, le sous-ensemble contenant tous les vecteurs de la forme : Soit : Translation, fait correspondre le vecteur DÉFINITION Soit V, un espace vectoriel et DÉFINITION Translations r r TrTr v rv. TrTr (v ) + rv += Soit E est un sous-ensemble de V, on appelle translaté de E par r re + e, où E Sous-ensemble translaté S

4 Exemple S Les points du triangle sont décrits vectoriellement par : (x; y) = a(2; 1) + b(1; 3) Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle E construit sur les vecteurs : u v = (2; 1) et = (1; 3) La description paramétrique des points du triangle est : où 0 a 1, 0 b 1 et a + b 1 x = 2a + b y = a + 3b3b où 0 a 1, 0 b 1 et a + b 1 w u = a + b v où 0 a 1, 0 b 1 et a + b 1 En coordonnées cartésiennes, cela donne : S 0 a 1, 0 b 1 et a + b 1 Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle E translaté par le vecteur r = (–2; 3). Les points du triangle translaté sont décrits vectoriellement par : TrTr (w )r += u a+ b v (x; y) = (–2; 3) + a(2; 1) + b(1; 3) x = –2 + 2a + b y = 3 + a + 3b3b

5 Exemple S Les points du parallélépipède sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = a(2; –1; 3) + b(1; 4; 2) + c(–2; 1; 2) Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélépipède construit sur les vecteurs : uv = (2; –1; 3), = (1; 4; 2) et w = (–2; 1; 2) La description paramétrique des points du parallélépipède est : où 0 a 1, 0 b 1 et 0 c 1 x = 2a 2a + b – 2c2c y = –a –a + 4b 4b + c z = 3a 3a + 2b + 2c2c où 0 a 1, 0 b 1 et 0 c 1 x = 2a 2a + b – 2c2c y = 2 –a –a + 4b 4b + c z = 5 +3a + 2b + 2c2c Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélépipède translaté par le vecteur r = (0; 2; 5). S La description paramétrique des points du parallélépipède translaté est :

6 de V tel que : de U, il existe un et un seul vecteur Transformation Soit U et V deux espaces vectoriels sur un corps K, et soit T, une application de U dans V (T : U V). On dit que T est une trans- formation de U dans V si et seulement si : DÉFINITION Transformation u u T(T( Pour tout vecteur v ) = v Remarque Une application est une fonction dont le domaine est égal à lensemble de départ, ce qui signifie que la fonction est définie pour tous les éléments de lensemble de départ. En dautres mots, chaque élément de lensemble de départ a une et une seule image. Un élément de lensemble de départ ne peut avoir deux images, mais un élément de lespace darrivée peut avoir deux préimages.

7 Transformations linéaires Jusquà maintenant, nous avons considéré les matrices comme de simples tableaux de nombres. Nous allons maintenant les considérer dun point de vue géométrique et voir quelles constituent des outils permettant de transformer les figures géométriques. Pour étudier ces transformations, nous adapterons lécriture des points et des vecteurs à lécriture matricielle en les représentant sous forme de matrices colonnes (ou de vecteurs colonnes).

8 Limage de Considérons la fonction de R2 R2 dans R2 R2 définie par : T(x; y) = (x – 2y; 2x 2x – y)y) Mise en situation S On peut représenter les vecteurs et la transformation par des matrices. Ainsi, on a : u = u = (3; 2) est donnée par : T(3; 2) = (3 – 2 2 ; 2 3 – 2) = (–1; 4) 3 2 et T = 1 2 –2 –1, doù : T(3; 2) = 1 2 –2 – = De la même façon :T(–1; 2) = 1 2 –2 –1 2 –5 –4 = SSS Considérons le triangle construit sur les vecteurs (3; 2) et (–1; 2). Les points de ce triangle sont décrits par : S x = 3a – b y = 2a 2a + 2b2b E :, où 0 a 1, 0 b 1 et a + b 1 De façon générale, on a : T(x; y) = 1 2 –2 –1 x y x – 2y2y 2x – y = T(E) = 1 2 –2 –1 = Par les propriétés des opérations matricielles, on a alors : 3a 3a – b 2a 2a + 2b2b –a –a – 5b 4a 4a – 4b4b, où 0 a 1, 0 b 1 et a + b 1 S

9 –23a3a1 –b–b –b–b 2b2b 2–12a2a + 2b2b 3a 3a – b 2a 2a + 2b2b Propriétés de linéarité SSSS Pour calculer limage du triangle par la transformation, nous avons utilisé deux propriétés des opérations sur les matrices. En effet, limage du triangle translaté est donné par la combinaison linéaire avec contraintes des images des vecteurs, soit : 1 2 –2 –1 u + b v ) = T(aT(aa T(T( u ) + b T(T( T(E) = a –2 –1 + b 2, où 0 a 1, 0 b 1 et a + b 1 1 = 2,par la multiplication dune matrice par un scalaire; 1 2 –2 –1 = 3a3a 2a2a +,par la distributivité; 1 2 –2 –1 =,par laddition des matrices. En utilisant la notation des vecteurs, cela signifie que : Cette égalité regroupe les deux propriétés de linéarité.

10 La deuxième propriété signifie que limage par T du produit dun vecteur par un scalaire est égale au produit de limage du vecteur par ce scalaire. Propriétés de linéarité S Les transformations représentables par des matrices T ont deux propriétés particulièrement intéressantes que lon appelle propriétés de linéarité. Symboliquement, celles-ci sécrivent : u + v ) T(T(= T(T( u ) + T(T( u T(kT(k) = k T(T( u ) Géométriquement, la première propriété signifie que limage par T dune somme de vecteurs est égale à la somme des images par T de ces vecteurs.

11 de U, et pour tout k K : Transformation liéaire Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, et soit T, une transformation de U dans V (T : U V). On dit que T est une transformation linéaire de U dans V si et seulement si : DÉFINITION Transformation linéaire u u a) T(T( Pour tout vecteur + v THÉORÈME et v ) +T(T() = u T(T( v ) u b) T(kT(k)k T(T() = u Transformation linéaire et matrice Soit T, une transformation de U dans V, où U et V sont deux espaces vectoriels sur un corps K. T est linéaire si et seulement si elle est représentable par une matrice.

12 S SS Considérons la situation suivante : Représentation par une matrice Les vecteurs (0; –2) et (4; 5) forment une base de R 2, et limage de ces vecteurs par la transformation T est connue. ab cd On cherche donc une matrice A =telle que : ab cd 0 –2 6 –4 =et ab cd –2 = En effet, T(0; –2) = (6; –4) et T(4; 5) = (5; –2). On doit donc avoir : ab cd 0 –2 6 –4 = –2 En multipliant les deux membres par la matrice inverse, on obtient : ab cd = 6 –4 5 –2 ab cd = 6 –4 5 – –1 0 –2 4 5 –1 0 –2 4 5 –1 Cela donne : Par la méthode de la matrice adjointe, on trouve : det A = 8, cof A = 5 –4 2 0, adi A = 5 2 –4 0 et A –1 = 5 2 – ab cd = 6 5 –2 On trouve donc : 5 – = –24 16 = 5 –3 2 Algébriquement, la transformation linéaire est définie par : T(x; y) = 5 –3 2 x y = 5x – 3y3y –3x + 2y2y = (5x – 3y; –3x + 2y)2y) Géométriquement, leffet de la transformation linéaire sur une base est donné par : T(x; y) = (5x – 3y; –3x + 2y)2y) On obtient donc :

13 S SS Décrire par une matrice la transformation linéaire de R2 R2 dans R3 R3 pour laquelle on donne les correspondances suivantes : T(5; 3) = (4; –3; 1) et T(2; 1) = (2; –2; 0) Exemple b cd ef a Les vecteurs (5; 3) et (2; 1) étant linéairement indépendants, ils forment donc une base de R 2. Lespace de départ étant de dimension 2, la matrice cherchée a donc deux colonnes; lespace darrivée étant de dimension 3, la matrice cherchée a trois lignes. On cherche une matrice de la forme : ou : telle que : b cd ef a 5 3 = 4 –3 1 et b cd ef a 2 1 = 2 –2 0 b cd ef a 5 3 = 4 – –2 0 En multipliant par la matrice inverse, on obtient : b cd ef a = 4 –3 1 2 – – La matrice cherchée est donc : b cd ef a = 4 –3 1 2 – –1 det A = 5 – 6 = –1, cof A = 1 –2 –3 5, adj A = 1 –3 –2 5 1 –1 = 4 –3 1 2 –2 0 1 –3 –2 5 = 2 –3 –1 –2 4 2 La transformation est alors : T(x; y) = 2 –3 –1 –2 4 2 = x y 2x 2x – 2y2y –3x + 4y4y –x –x + 2y2y = (2x – 2y; –3x + 4y; –x –x + 2y)2y)

14 bc def abc def a S S Décrire par une matrice la transformation linéaire de R3 R3 dans R2 R2 pour laquelle on donne les correspondances suivantes : T(1; 2; 1) = (9; 3), T(3; 1; –1) = (8; 7) et T(–1; 4; 4) = (14; 0) Exercice Calculons le déterminant dont les éléments sont les composantes des vecteurs (1; 2; 1), (3; 1; –1) et (–1; 4; 4). telle que : – = Doù : bc def a = –1 4 4 Les vecteurs sont donc linéairement indépendants et forment une base de R 3. Lespace de départ étant de dimension 3, la matrice cherchée a donc trois colonnes; lespace darrivée étant de dimension 2, la matrice cherchée a deux lignes. On cherche une matrice de la forme : –1 44 = L1L1 L 2 –3L 1 L3 L3 + L1L –5–4 065 = 1(– ) = –1 0 Par la méthode de la matrice adjointe, on trouve alors : det A = –1, cof A =, adj A = 8 –11 13 –4 5 –6 –3 4 –5 8 –4 –3 – –6 –5 bc def a = On a donc : – –5 –4 – –2 1 3 = La transformation est alors donnée par: T(x; y; z) = –2 1 3 xyzxyz = 2x + 3y 3y + z 4x – 2y 2y + 3z3z et T(x; y; z) = (2x + 3y 3y + z; 4x – 2y 2y + 3z)3z) S

15 Nous présentons maintenant quelque transformations particulières, ce sont : Transformations particulières létirement-compression dans une direction; lhomothétie de rapport k; la rotation autour de lorigine. Pour déterminer la matrice associée à la transformation, on déterminera dabord limage dune base, puis on procédera comme dans les situations précédentes.

16 , un vecteur non nul. On appelle étirement- compression dans la direction de Étirement-compression dans une direction Étirement-compression dans une direction Soit k, un scalaire et DÉFINITION u u T(T(k) = u la transformation linéaire pour laquelle : u et u T(T() = u, pour tout u orthogonal à u u u k u

17 S SS Déterminer la transformation linéaire dont leffet est un étirement de facteur 2 dans la direction du vecteur (2; 1). Exemple Les vecteurs (2; 1) et (–1; 2) forment une base de R2 R2. De plus : T(2; 1) = (4; 2) et T(–1; 2) = (–1; 2) ab cd On cherche donc une matrice telle que : ab cd = –1 2 2 En multipliant les deux membres par la matrice inverse, on obtient : ab cd = 4 2 –1 2 ab cd = Cela donne : Par la méthode de la matrice adjointe, on trouve : det A = 5, cof A = 2 1 –1 2, adi A = 2 –1 1 2 et A –1 = 2 – ab cd = On trouve donc : 2 – = Algébriquement, la transformation linéaire est définie par : T(x; y) = x y = 9x + 2y2y 2x 2x + 6y6y On obtient donc : (9x + 2y; 2x 2x + 6y)6y)T(x; y) = 1515

18 Étirement-compression dans une direction Regardons leffet de la transfor- mation sur le triangle construit sur les vecteurs (5; 0) et (0; 5) dont les images sont : T(5; 0) = (9; 2) et T(0; 5) = (2; 6) Cette illustration donne limage avant et après la transformation. En pratique, la transformation doit se faire graduellement. On aurait pu définir cette transformation en donnant les correspondances T(5; 0) = (9; 2) et T(0; 5) = (2; 6). On aurait trouvé la même règle de correspondance. Remarque Pour savoir dans quelle direction se fait létirement-compression, il aurait alors fallu résoudre le système déquations obtenu en posant : T(x; y) = k(x; y)y)

19 1 5 Étirement-compression dans une direction Résolvons léquation donnée par T(x; y) = k(x; y). On cherche alors (x; y) tel que(9x + 2y; 2x 2x + 6y) = k(x; y)y) Cela donne (9x + 2y; 2x 2x + 6y) = 5k(x; y) doù : 9x + 2y = 5kx 2x 2x + 6y 6y = 5ky (9 –5k)x + 2y = 0 2x 2x + (6 – 5k)y = 0 et Par la méthode de Gauss, on obtient : 9 – 5k5k2 26 – 5k5k 0 0 L1L1 (9 – 5k)L 2 – 2L 1 9 – 5k5k (k 2 – 3k + 2) 0 0 Le système admet une infinité de solution pour k2 k2 – 3k + 2 = 0, En factorisant, on obtient (k (k – 1)(k – 2) = 0. Cela donne k = 1 ou k = 2. SS En substituant dans le système déquations, on obtient : Pour k = 1, 4x + 2y = 0 2x 2x + y = 0 Pour k = 2, –x + 2y = 0 2x 2x – 4y = 0 On obtient une infinité de solutions décrites par : {(x; y) | y = –2x } dont la forme générale est : (a; –2a) = a(1; –2) et : T(a; –2a) = (a; –2a) Tous les vecteurs sur la droite déquation y = –2x sont leur propre image par la transfor- mation T. On obtient une infinité de solutions décrites par : {(x; y) | y = x/2 } dont la forme générale est : (2b; b) = b(2; 1) et T(2b; b) = (4b; 2b)2b) Tous les vecteurs sur la droite déquation y = x/2 subissent un étirement dun facteur 2. On peut le vérifier par le produit : a –2a = a5a –10a = a –2a S On peut le vérifier par le produit : b2b b = b 10b = 4b4b 2b2b

20 est appelé vecteur propre de T si son image par T lui est colinéaire. cest-à-dire sil existe un scalaire tel que : Soit T, une transformation linéaire de Rn Rn dans R n. Un vecteur non nul Vecteur propre et valeur propre Vecteur propre et valeur propre DÉFINITION u T(T( u ) = u Le scalaire est appelé valeur propre de la transformation T. Dans lexemple précédent, la transformation a deux valeurs propres k = 1 et k = 2. Puisquil sagit dun étirement compression dans une seule direction. On peut cependant avoir un étirement-compression selon un rapport dans une direction et selon un autre rapport dans la direction perpendiculaire. Dans R 3, on aura trois valeurs propres. Remarque

21 S S Déterminer la transformation linéaire dont leffet est un étirement de facteur 3 dans la direction du vecteur (1; 3) et dun facteur 2 dans la direction perpendiculaire. Exercice Les vecteurs (1; 3) et (–3; 1) forment une base de R2 R2. De plus : T(1; 3) = (3; 9) et T(–3; 1) = (–6; 2) ab cd On cherchetelle que : ab cd = –3 1 –6 2 ab cd = –3 1 –1 Trouvons la matrice inverse par la méthode de la matrice adjointe : det A = 10, cof A = 1 3 –3 1, adi A = 1 –3 3 1 et A –1 = 1 – En isolant la matrice cherchée dans cette équation, on obtient : ab cd = 3 9 –6 2 On trouve donc : 1 – = Algébriquement, la transformation linéaire est définie par : T(x; y) = x y = 21x + 3y3y 3x 3x + 29y Doù : 1 10 (21x + 3y; 3x 3x + 29y) T(x; y) = S S

22 On appelle homothétie de rapport k une transformation linéaire dont leffet est un étirement-compression dans toutes les directions. Homothétie de rapport k Homothétie de rapport k DÉFINITION

23 Dans R 2, limage dun vecteur quelconque par une homothétie de rapport k est donnée par T(x; y) = k(x; y). On peut facilement déterminer sa matrice à partir de limage des vecteurs de la base orthonormée. En effet : T(1; 0) = (k; 0) et T(0; 1) = (0; k)k) Homothétie de rapport k La première colonne est limage par T du vecteur On trouve donc la matrice scalaire : T = k 0 0 k La deuxième colonne est limage par T du vecteur i j = (1; 0). = (0; 1). Dans le cas dune homothétie de rapport k, tous les vecteurs sont des vecteurs propres et la valeur propre est = k.k. Remarque

24 On appelle rotation dun angle autour de lorigine la trans- formation linéaire qui a pour effet de faire tourner tous les vecteurs du plan dun angle autour de lorigine. Rotation autour de lorigine Rotation autour de lorigine DÉFINITION Dans le cas dune rotation autour de lorigine, il ny a pas de vecteur propre ni de valeur propre. Remarque

25 Pour déterminer la matrice dune rotation dun angle dans R2,R2, considérons les vecteurs de la base orthonormée : = (1; 0) et On constate assez facilement, à partir du graphique ci-contre que : T(1; 0) = (cos ; sin ) et T(0; 1) = (–sin ; cos ) = (0; 1) ij La matrice est donc : T = cos sin –sin cos cos sin cos –sin

26 Conclusion La translation dun objet dans le plan ou dans lespace se décrit par laddition dun vecteur à lensemble des vecteurs position des points de cet objet. Il y a des transformations plus complexes des objets qui font appel à des outils mathématiques plus sophistiqués. La déformation dun objet conservant la linéarité lalignement de points se fait par une transformation linéaire, ce qui se traduit algébriquement par le produit de matrices. Une transformation conserve la linéarité lorsque les images de points alignés sont des points alignés.

27 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.4, p. 211 no. 1 à 19 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.3, p. 195 à 202.


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