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Romain Brette Projet ODYSSEE (INRIA/ENS) Les systèmes dynamiques discrets : un outil pour létude des modèles impulsionnels de neurones.

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1 Romain Brette Projet ODYSSEE (INRIA/ENS) Les systèmes dynamiques discrets : un outil pour létude des modèles impulsionnels de neurones

2 Le neurone Les neurones communiquent par impulsions électriques (potentiels daction).

3 Modèles impulsionnels Impulsions impulsions Variable continue impulsions (encodeur)

4 Une formulation typique 2) Un mécanisme de réinitialisation: impulsion quand V > seuil 1) Une équation différentielle:

5 Exemples Modèle de Lapicque (1907): « Intègre-et-Tire » Modèle à conductances synaptiques:

6 Questions mathématiques Questions de système dynamique: la fréquence de décharge dépend-elle de la condition initiale ? (bistabilité?) si le neurone est stimulé périodiquement, les impulsions émises sont-elles (asymptotiquement) périodiques? Y a-t-il du chaos? Comment étudier mathématiquement un système impulsionnel?

7 Lapplication impulsionnelle : temps dune impulsion temps de limpulsion suivante Dynamique en temps continu du modèle impulsionnel = dynamique en temps discret de lapplication impulsionnelle

8 La fréquence de décharge La fréquence de décharge se définit ainsi: nombre dimpulsions temps de limpulsion n On peut montrer: F(t) est indépendante de t si φ est croissante φ est croissante sur son image si le modèle est « à fuite »: => pas de bistabilité

9 Dérivée de lapplication impulsionnelle Théorème des fonctions implicites: Exemple: modèle de Lapicque

10 Stimulations périodiques avec f(V,t+T)=f(V,t) Alors φ(t+T)= φ(t)+T

11 Homéomorphismes du cercle φ =relèvement dun homéomorphisme du cercle (si continue) ourelèvement dune application du cercle conservant lorientation (sinon) φ(t+T)= φ(t)+T+φ strictement croissante (sur son image) Poincaré, Denjoy: Nombre de rotation = inverse de la fréquence de décharge (pour T=1) rationnel: orbite périodique stable irrationnel: orbite dense dans le cercle ou dans un Cantor

12 Accrochage de phase Nombre de rotation rationnel: « accrochage de phase » Exemple:

13 Application impulsionnelle continue vs. discontinue φ discontinue => accrochage de phase p.s. (Veerman) φ C 1 => orbite dense avec proba>0 (Herman) accrochage de phase = motifs périodiques orbite dense accrochage de phase p.p.

14 Modèles bidimensionnels Exemple: le modèle dIzhikevich Motifs dimpulsions pour différentes valeurs de paramètres

15 Modèles bidimensionnels Comment étudier la dynamique des modèles bidimensionnels? Juste après une impulsion, la dynamique future du système est déterminée par la valeur de u (car v=c). on pose : valeur de u au moment dune impulsion valeur de u au moment de la suivante

16 Modèles bidimensionnels ( n (u 0 )) converge vers un point fixe: « regular spiking »

17 Modèles bidimensionnels ( n (u 0 )) converge vers une orbite périodique: bursts

18 Quelques idées pour finir 1. Dynamique dune population de neurones: φ: R n R n état des n neurones état à linstant de la prochaine impulsion 2. Dynamique dun neurone stochastique: (ex.) v=-v et v v+a à des instants régis par un processus de Poisson φ: v v à linstant de la prochaine impulsion (présynaptique) φ = application aléatoire


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