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Circuits et nombres 2-adiques Gérard Berry Chaire Algorithmes, machines et langages Collège de France Cours 2, le 9 avril 2013.

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1 Circuits et nombres 2-adiques Gérard Berry Chaire Algorithmes, machines et langages Collège de France Cours 2, le 9 avril 2013

2 Ce cours reprend la théorie et la pratique de Jean Vuillemin (Digital Equipment X ENS) 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Source du cours J. Vuillemin. On circuits and numbers, IEEE Trans. on Computers, 43:8:868-79, 1994

3 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Nombres 2-adiques (Hensel, ~1900) R est une complétion de Q. Est-ce la seule? Non : nombres p-adiques pour p premier nombre infinis écrits poids faibles dabord Ils unifient larithmétique infinie calculable et la logique Booléenne Beau, mais physique ? cf. Matière à Pensée, p. 32 Alain Connes / JP Changeux Jean Vuillemin : les entiers 2-adiques sont le bon Jean Vuillemin : modèle des circuits numériques En un sens, nous allons créer leur physique

4 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 2 Z : anneau des entiers 2-adiques x 2 x 0 x 1 x 2 … poids faibles dabord opérations et de gauche à droite x (10) x 1 4x x 1/3 x (0) (0) (0) (1) (1) y (01) y 2 x y 2/3 ou x y 1

5 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Lanneau des 2-adiques 1 / 2 nexiste pas car la somme de bits x 0 x 0 ne peut pas valoir 1 p / q existe pour p, q entiers ssi q est impair (cf. Euclide) Pas dordre compatible avec les opérations 1 0 1

6 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 2 Z comme algèbre Booléenne 2-adique x vu comme lensemble { i | x i 1 } exemple: 1/ { i | i pair } Opérations Booléennes point par point x y x y x (x y) n x n y n etc x x 1 Relation arithmético-logique fondamentale

7 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Espace Métrique de Cantor d(x,x) 0 d(x,y) 2 n n min t.q. x n y n Lemme : 2 Z est ultramétrique : d(x,z) max (d(x,y), d(y,z)) Exemple : d ( , /8) x y z d(x,z) min (d(x,y), d(y,z))

8 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Espace Métrique de Cantor Compact – très différent des réels ! ex. ouvert de préfixe Base douverts : préfixes finis x 0 x 1...x n { 2 x 0 x 1...x n y 0 y 1...y n... | y 2 Z }

9 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Fonctions continues Lemme : f : 2 Z 2 Z continue ssi f(x) n ne dépend que dun nombre fini de x m 2 x 0 x x m... 2 y 0 y 1...y n... Continuité préservation de la finitude de linformation

10 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Fonctions synchrones x f(x) x 0 x 1...x n... 0 x 0 x 1...x n...

11 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Fonctions synchrones et contractantes Théorème f : 2 Z 2 Z est synchrone si et seulement si f(x) n ne dépend que de x 0 x 1...x n, i.e., est contractante x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y) Définition : f : 2 Z 2 Z synchrone ssi calculable par un circuit synchrone (de mémoire finie ou infinie) Preuve : « seulement si » trivial, Preuve : pour « si » voir la construction SDD diapo x f(x)

12 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Circuits de Moore et contraction strictes Une fonction f : 2 Z 2 Z est strictement contractante ssi f(x) n dépend seulement de x 0 x 1...x n 1 x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y) Un circuit synchrone est de Moore ssi tout fil entre une entrée et une sortie passe par au moins un registre Théorème : une fonction est strictement contractante ssi elle est réalisable par un circuit de Moore Circuit de Moore

13 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Rebouclage des circuits de Moore Circuit de Moore f(x) x

14 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Rebouclage des circuits de Moore x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y) Lifschitz x,y. d(f(x),f(y)) 0,6 d(x,y) Théorème de Banach : toute fonction Lifschitzienne sur un compact a un point fixe unique Circuit de Moore f(x) xf(x)

15 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Laddition dans lespace + + a 0 b 0 s a 1 b 1 s r a 2 b 2 s 2 r 3 r r = 0 0 s a b mais en temps infini ! continuité : couper à n bits pour n bits de sortie s 2 n 1 a 2 n b 2 n x 2 n x mod 2 n

16 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Additionneur 3 bits (Full Adder) a b c s r s a oux b oux c r (a et b) ou (b et c) ou (c et a) + + a b s c r oux ouet bits a b c s 2 r

17 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Opérateurs 2-adiques de base + + a b s c r x2 x2 x a b c s 2 r x 1 2 x 2 x 0 x 1...x n x 0 x 1...x n... 2 x 0 x 1...x n x 0 x 1...x n...

18 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Addition et soustraction dans le temps + + a b s r 2r2r tick ! a b 2 r s 2 r s a b même équation que dans lespace ! a b 1 2 r s 2 r b 1 b s a b 1 2 r + + a b s r b b 1 a b s

19 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Addition mixte espace / temps riri + + apap bpbp spsp 2ri2ri tick ! s a b toujours la même équation ! + + aiai bibi sisi rprp a a p a i b b p b i s s p s i x y 2 x 0 y 0 x 1 y 1... Code source constant pour tous les échanges espace / temps

20 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Addition stéréo + + a b s r additionneur stéréo Alterne deux additions dans le temps stéréo canal gauche canal droit s p s i (a p a i ) (b p b i )

21 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Addition et soustraction dans le temps + + a b s tick ! + + a b s a b s a b s

22 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Multiplication et division par une constante x3 x3 x _ x y x / 3 preuve : y x 2 y division seulement par des entiers impairs! preuve : x 2 x 3 x

23 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Quasi-inverse y 1 2 x y 1 / (1 2 x) x y 2 x y 1 y 1 2 x y y 1 / (1 2 x) ? contractante synchrone mais mémoire infinie (cf. construction SDD diapo ??)

24 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Quasi-racine carrée y 1 4 z z x 2 z 2 y z 16 z 2 y 1 8 x x z y y x 16 z 2 16 z 2 ça ne nous dit rien sur les bits qui passent !

25 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Décomposition spatio-temporelle de f synchrone f 0 0-prédicteur : f 0 w = f (w0) pour tout mot w f 0 premier bit sorti par f pour lentrée 0... f f 1 1-prédicteur : f 1 w = f (w1) f w dernier bit sorti par f pour le mot fini w f u u-prédicteur : f u w = f (wu) pour tout mots w, u

26 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Automate de x 3 x + x3 x3 x / 00 / 0 1 / 11 / 1 0 / 10 / 1 1 / 11 / 1 0 / 10 / 1 0 / 00 / 0 1 / 01 / 0 1 / 01 / 0

27 0 /0 / 1 / 11 / 1 0 / 00 / 00 /0 / 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Prédicteur 0 de x 3 x + x3 x3 x / 00 / 0 1 / 11 / 1 0 / 10 / 1 1 / 11 / 1 0 / 10 / 1 0 / 00 / 0 1 / 01 / 0 1 / 01 / /1 / 0 /0 / 1 /1 / 0 /0 / 1 /1 / 1 /1 / 0 /00 /0 1 / 01 / 0 0 / 10 / 1 1 / 01 / 0 1 / 01 / 0 0 / 00 / 0

28 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Etape de décomposition f(x) = mux(x, f 1 2 f 1 (x), f 0 2 f 0 (x)) x 1 0 f 1 f 0 f (x) f 1f 1 f 0f 0

29 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Forme normale SDD de f : 2z 2z Table de vérité dans lespace et le temps ultra-rapide : chemin critique un mux La moitié des bits disparaît à chaque cycle 1 0 f 11 f 10 x 1 0 f 01 f 00 x f 01 f 00 f 11 f 10 f 1f 1 f 0f 0 x 1 0 f 1 f 0 f (x)...

30 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 SDD partagé de f : 2z 2z à mémoire finie 1 0 f 11 f 10 x 1 0 f 01 f 00 x f 01 f 00 f 11 f 10 f 1f 1 f 0f 0 x 1 0 f 1 f 0 f (x)... f à mémoire finie nb fini de prédicteurs f u distincts f à n registres SDD(f ) peut avoir 2 2 registres n

31 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Trace dune fonction synchrone Tr(f) 2 f 0 f 1 f 00 f 01 f 10 f 11 f 000 f f 0 2 f 1 4 (Tr(f 0 ) ʘ Tr(f 1 )) Série formelle sur Z/2Z : S(f) = n Tr(f) n z n Théorème : f : 2 Z 2 Z est de mémoire finie ssi S(f) est algébrique dans Z/2Z Lapplication dune trace Tr(f) à un argument x est continue calcul ?

32 Théorème (Van der Porten) : si f est à mémoire finie, alors le nombre réel 0, f 0 f 1 f 00 f 01 f 10 f 11 f 000 f est soit rationnel soit transcendant 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Des traces synchrones aux trancendants Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations Jean-Paul AlloucheJean-Paul Allouche et Jeffrey ShallitJeffrey Shallit Cambridge University Press (21 juillet 2003) Cf. aussi cours , systèmes finis, htm|p=../gerard-berry/course h00.htm|

33 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Des fonctions continues aux circuits f continue mais pas synchrone dilater le temps nombre 2-adique : Théorème : toute fonction continue peut être réalisée par un circuit synchrone avec validité

34 Les 2-adiques sont le bon modèle des circuits synchrones arithmétiques (seulement ?) La distance 2-adique, la continuité et le synchronisme sont des notions vraiment fondamentales La structure de lespace des prédicteurs reste à comprendre La relation fonction continue / circuit synchrone à validité est encore largement à étudier ( calcul?) 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Conclusion Merci à Jean Vuillemin

35 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Commutation opérateurs / délais Utilisation: couper les chemins critiques s 2 r 2 (a b c) a b c a b c s s r r s r s 2 r 2 a 2 b 2 c

36 1.Commutation opérateurs / registres 2.Le retiming comme optimisation fondamentale des circuits en temps 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Annexe – optimisation par retiming

37 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Le retiming, un accélérateur majeur Calcule 2s 0

38 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Le retiming, un accélérateur majeur Calcule 2s Calcule 4s 0

39 09/04/ G. Berry, Collège de France, cours 2 Le retiming, un accélérateur majeur n bits: latence n-1, temps 1 Calcule 4s 0


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