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Approche probabiliste 1 Fusion de données : Vision probabiliste de la fusion « Ce que les hommes veulent en fait, ce nest pas la connaissance, cest la.

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2 Approche probabiliste 1 Fusion de données : Vision probabiliste de la fusion « Ce que les hommes veulent en fait, ce nest pas la connaissance, cest la certitude. » Bertrand Russel

3 2 Approche probabiliste 2 Théorie des probabilités Théorie des probabilités Approche fréquentiste une probabilité = la limite d'une fréquence d'occurrence d'événements Approche subjective (ou confiance) une probabilité reflète simplement un état de connaissance et le lien avec une fréquence réelle d'occurrence n'existe que dans certains cas. Théories non probabilistes Théories non probabilistes théorie des possibilités (cadre de la logique floue) théorie de l'évidence proposée par Shafer (1976). Deux écoles de pensée : 1- les probabilistes: les résultats et mécanismes auxquels conduisent ces approches toujours atteints par une méthode strictement probabiliste (à condition qu'elle soit suffisamment adaptée) 2- les adeptes de la théorie de l'évidence ou des possibilités volonté de chercher une modélisation plus fidèle sémantiquement vis-à-vis de l'information disponible. Rappels

4 3 Approche probabiliste 3 Modèle probabiliste le plus ancien et le plus utilisé Deux approches différentes : – approche objectiviste (fréquentiste) : distribution de probabilité d'une variable aléatoire – approche subjective : répartition de probabilités image de l'état des connaissances Introduction

5 4 Approche probabiliste 4 étude statistique du phénomène évaluation de la fréquence d'occurrence d'un événement exemple : jet de dé le ratio de fréquence d'apparition d'une face est de 1/6 Approche fréquentiste

6 5 Approche probabiliste 5 codage de l'état des connaissances confiance dans l'apparition d'un événement exemple : Paul apprend à rouler à vélo, il a beaucoup de "chances" de tomber. Approche subjective

7 6 Approche probabiliste 6 Le cadre classique Ensemble fini ={ 1,…, c } A événement, proposition, hypothèse, … P : 2 [0,1] est une mesure de probabilité si : – P( – A,B, A B= P(A B)=P(A)+P(B) [axiome dadditivité] Conséquences : – P( )=0 – A,B, P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) – p : [0,1], Théories des probabilités

8 7 Approche probabiliste 7 Quest-ce que P(A) ? 1. Interprétation fréquentiste : limite vers laquelle tend la fréquence relative de lévénement A au cours dune suite dépreuves indépendantes (phénomènes aléatoires) suppose la répétabilité des épreuves 2. Interprétation classique : issue de la théorie des jeux 3. Interprétation subjectiviste : P(A)=degré de croyance dun agent rationnel en loccurrence de lévénement A. [Axiomes de Cox (1946)] Théories des probabilités

9 8 Approche probabiliste 8 Représentation de lignorance Principe de raison insuffisante (PRI) : en labsence dinformation, prendre la loi de probabilité uniforme p( )=cste. Exemple 1 : course entre 3 chevaux ={a, b, c}. – Pour le néophyte p(a)=p(b)=p(c)=1/3 – Pour le connaisseur sachant que les 3 chevaux sont de même valeur : p(a)=p(b)=p(c)=1/3 Deux états de connaissance très différents sont représentés exactement de la même façon... Théories des probabilités

10 9 Approche probabiliste 9 Modélisation de la précision Précision : distribution de probabilité sur l'espace de définition continu Probabilité que X [a,b], si la mesure est d. Distribution Gaussienne : moyenne d, variance 2 Modélisation

11 10 Approche probabiliste 10 Incertitude : distribution de probabilités sur : P(H 1 ), P(H 2 ), P(H 3 ), P(H 4 ) Propriétés : – A 2, 0 P(A) 1 – P( ) =1 – A, B 2, P(A B) = P(A) + P(B) si A B= – A, B 2, P(A) = P(A B) + P(A B) Modélisation de la confiance Modélisation

12 11 Approche probabiliste 11 Modélisation de la méconnaissance (ignorance) Modélisation implicite : répartition de la probabilité sur les différentes hypothèses possibles : A = H 1 H 2 ; P(A) = 0.6 P(H 1 ) = 0.3 et P(H 2 ) = 0.3 Exemple : jet de pièce P(pile) = P(face) = 0.5 Modélisation

13 12 Approche probabiliste 12 Modélisation de la méconnaissance (ignorance) Principe dindifférence ou de « raison insuffisante » – Ignorance = modélisée par une distribution de probabilité uniforme Principe de maximum dentropie Modélisation

14 13 Approche probabiliste 13 Méconnaissance pour probabilités subjectives Confusion entre doute et méconnaissance Exemple : Les fantômes existent-ils ? P(fantôme existe) = P(fantôme n'existe pas) = 0.5 Modélisation

15 14 Approche probabiliste 14 modèle de conversion : – statistique : apprentissage supervisé – subjective : modélisation d'une connaissance experte distribution de vraisemblance : H i, v d (H i ) = p (d /H i ) Conversion numérique-symbolique d

16 15 Approche probabiliste 15 Fusion bayesienne Basée sur l'utilisation du théorème de Bayes Fusion

17 16 Approche probabiliste 16 Le théorème du révérend Thomas Bayes Théorème de Bayes: conséquence immédiate de la loi de composition des probabilités (qui est nécessairement un des axiomes fondamentaux de toute théorie des probabilités). Si A et B deux événements, loi de composition des probabilités indique: probabilité P(AB) d'observer à la fois A et B est simplement donnée par: P(AB) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) où P(A|B) se lit "probabilité d'observer A sachant que B s'est réalisé". Cela implique immédiatement: P(B|A) = P(B) P(A|B)/P(A) Théorème de Bayes Rq: Ce théorème se généralise au cas de plusieurs événements A, B, C, D, etc. A priori

18 17 Approche probabiliste 17 Le théorème du révérend Thomas Bayes Propriétés Approche bayesienne compare des hypothèses aux données réelles; Approche classique compare les données réelles à des données hypothétiques. Inférence bayesienne dépend des données examinées et des données et des connaissances (ou croyances...) antérieures; Inférence classique ne dépend que des seules données examinées.

19 18 Approche probabiliste 18 Le théorème du révérend Thomas Bayes Propriétés Soit (B i ),i=1...N, une partition de lespace et A un événement. Supposons que lon connaît les probabilités P(B i ) et les probabilités conditionnelles P(A|B i ) et que lon sintéresse à la probabilité conditionnelle dun événement B j sachant que A sest réalisé, i.e. P(B j |A). On trouve: P(B j |A) = P(B j A)/P(A) = P(A|B j )·P(B j )/P(A) En exprimant P(A) à laide des probabilités conditionnelles P(A|B i ) en utilisant la loi de probabilité totale, on obtient la formule de Bayes: P(B j |A) = P(A|B j )·P(B j )/ P(A|B i )·P(B i )

20 19 Approche probabiliste 19 Le théorème du révérend Thomas Bayes Exemple Dans un système de communication numérique, on transmet des « 0 » et des « 1 » via un canal de transmission bruité tel que: Si un « 0 » est émis, on reçoit un « 0 » avec une probabilité 0.75; Si un « 1 » est émis, un « 1 » est reçu avec une probabilité 0.9. Supposons quun « 0 » est émis avec une probabilité 0.4. Quelle est la probabilité que, quand un « 0 » est reçu, un « 0 » a été émis? P(B 0 |A 0 ) =? Soit B 0 lévénement « un 0 a été émis", B 1 lévénement « un 1 a été émis", A 0 lévénement « un 0 a été reçu" et A 1 lévénement « un 1 a été reçu". Les probabilités suivantes sont connues: P(B 0 ) = 0.4 P(B 1 ) = 0.6 P(A 0 |B 0 ) = 0.75 P(A 1 |B 0 ) = 0.25 P(A 0 |B 1 ) = 0.1 P(A 1 |B 1 ) = 0.9

21 20 Approche probabiliste 20 Le théorème du révérend Thomas Bayes Exemple (suite) P(A 1 |B 0 ) = 0.25 P(A 0 |B 1 ) = 0.1 P(A 1 |B 1 ) = 0.9 P(B 0 ) = 0.4 P(B 1 ) = 0.6 P(A 0 |B 0 ) = 0.75 Quelle est la probabilité que, quand un « 0 » est reçu, un « 0 » a été émis? P(B 0 |A 0 ) =? En appliquant la formule de Bayes à A 0 et la partition (B 0,B 1 ) on obtient: P(B 0 |A 0 ) = P(A 0 |B 0 )·P(B 0 )/ [P(A 0 |B 0 )·P(B 0 ) + P(A 0 |B 1 )·P(B 1 )] = 0.75·0.4/[0.75· ·0.6] = 0.833=5/6.

22 21 Approche probabiliste 21 Fusion : modèle - mesure Information disponible : – distribution de probabilité a priori P(H i ) – distribution de vraisemblance P(d/H i )=v d (H i ) probabilité a posteriori Fusion Bayes

23 22 Approche probabiliste 22 Fusion : mesure - mesure Information disponible : – distribution de vraisemblance source 1 : p(d 1 /H i )=v d1 (H i ) – distribution de vraisemblance source 2 : p(d 2 /H i )=v d2 (H i ) Vraisemblance Fusion

24 23 Approche probabiliste 23 Modélisation du conflit Notion de conflit n'existe pas Combinaison concordante normalisée Conflit total : la mesure de vraisemblance n'est plus possible Fusion Problème!

25 24 Approche probabiliste 24 Doute et conflit Fusion Doute donc répartition équiprobable Et donc je nen sais pas plus! Désaccord (conflit) Pas plus lune que lautre! ? (H 1 )=0,1 (H 2 )=0,9 (H 1 )=0,9 (H 2 )=0,1 (H 1 )=0,5 (H 2 )=0,5

26 25 Approche probabiliste 25 Décision avec des probabilités Maximum de probabilité a posteriori (MAP) Maximum de vraisemblance (MV) Décision

27 26 Approche probabiliste 26 Point de départ ensemble de définition ={F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6 } probabilités a priori P(F 1 )= P(F 2 )= P(F 3 )= P(F 4 )= P(F 5 )= P(F 6 ) = 1/6 Capteur 1 : indique le nombre de point au milieu Capteur 2 : indique le nombre de points sur un coté Exemple : Jet de dé

28 27 Approche probabiliste 27 Capteurs Exemple : Jet de dé Daprès M. Rombaut (LIS – UJF, Grenoble)

29 28 Approche probabiliste 28 Fusion : modèle - mesure Information disponible – distribution de probabilité a priori P(H i ) – distribution de vraisemblance P(d/H i )=v d (H i ) probabilité a posteriori Exemple : Jet de dé

30 29 Approche probabiliste 29 Probabilités a priori Probabilités conditionnelles p(point/face) = v point (face) p(F 1 )= 1/6 p(F 2 )= 1/6 p(F 3 )= 1/6 p(F 4 )= 1/6 p(F 5 )= 1/6 p(F 6 )= 1/6 p(face) Exemple : Jet de dé Daprès M. Rombaut (LIS – UJF, Grenoble)

31 30 Approche probabiliste 30 Fusion modèle-mesure Capteur 1 : 1 point Exemple : Jet de dé Daprès M. Rombaut (LIS – UJF, Grenoble)

32 31 Approche probabiliste 31 Fusion : mesure - mesure Information disponible – distribution de vraisemblance source 1 : p(d 1 /H i )=v d1 (H i ) – distribution de vraisemblance source 2 : p(d 2 /H i )=v d2 (H i ) vraisemblance Exemple : Jet de dé

33 32 Approche probabiliste 32 Fusion mesure-mesure p(1point,1point/F 3 )=v 1point,1point (F 3 ) = 0.81 / 1.38 = 0.59 Capteur 1 : 1 pointCapteur 2 : 1 point Exemple : Jet de dé Daprès M. Rombaut (LIS – UJF, Grenoble)

34 33 Approche probabiliste 33 Paradoxe de Bertrand Curiosité liée aux probabilités Question : Probabilité que la bouteille contienne au plus 1.5 fois plus deau que de vin ? Soit une bouteille contenant un mélange eau – vin La bouteille contient : au moins autant deau que de vin; au plus deux fois plus deau que de vin.

35 34 Approche probabiliste 34 Paradoxe de Bertrand Curiosité liée aux probabilités Soitle rapport eau/vin : PRI : loi uniforme sur [1;2] Probabilité que la bouteille contienne au plus 1.5 fois plus deau que de vin égale

36 35 Approche probabiliste 35 Paradoxe de Bertrand Curiosité liée aux probabilités Au même événement sont attribuées des probabilités différentes ! le rapport vin/eau : PRI : loi uniforme sur [0.5;1] Soit Probabilité que la bouteille contienne au plus 1.5 fois plus deau que de vin égale 2/3 !!! 2/3

37 36 Approche probabiliste 36 Paradoxe de Bertrand Curiosité liée aux probabilités Corde caractérisée par la position de son milieu P=1/4 Corde caractérisée par la distance de son milieu au centre du cercle P=1/2 Corde caractérisée par ses extrémités P=1/3 Au même événement sont attribuées des probabilités différentes ! Triangle équilatéral inscrit dans un cercle. Une corde de ce cercle choisie au hasard. Quelle est la probabilité que sa longueur soit supérieure au côté du triangle?

38 37 Approche probabiliste 37 Conséquence La théorie des probabilités nest pas suffisamment générale pour modéliser toutes les formes dincertitude. Généralisations : – mesures de confiance – théorie des possibilités – théorie des fonctions de croyance En particulier – Remise en cause de ladditivité mesures floues [Sugeno, 74] capacités [Choquet, 53] Théories des probabilités

39 38 Approche probabiliste 38 Mesures de confiance Un cadre plus général que celui de la théorie des probabilités. fini (domaine dune variable y), g:2 [0,1] est une mesure de confiance (mesure floue) si – g( )=0, g( )=1 – A,B, A B g(A) g(B) [monotonie] Interprétation : g(A)=degré de confiance dans lévénement A (c.a.d. dans le fait que y A) Une mesure de probabilité est une mesure de confiance, mais une mesure de confiance nest pas nécessairement additive. Conclusion

40 39 Approche probabiliste 39 Formalisme très largement utilisé Distribution continue (e.g. gaussienne) Confusion entre méconnaissance (ignorance) et équiprobabilité Fusion conjonctive normalisée Conflit non modélisé (ennuyeux quand sources sont en désaccord) Bon fonctionnement en cas de connaissances riches Conclusion

41 40 Approche probabiliste 40 This is the end of this part! This is the end of this part!


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