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1 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 1 Microéconomie et Finance - Cours 3 & 4 - Théorie du consommateur : –Choix en incertitude –Application.

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1 1 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 1 Microéconomie et Finance - Cours 3 & 4 - Théorie du consommateur : –Choix en incertitude –Application à l assurance

2 2 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 2 Choix en incertitude Points à aborder: –Définition du risque –Préférences face au risque –Réductions du risque –Assurance à termes fixes à termes flexibles –Information

3 3 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 3 Définition du risque - Probabilité Pour mesurer un risque on doit connaître: –Tous les résultats possibles –La probabilité doccurrence de chaque résultat Probabilité : Possibilité doccurence dun événement –Probabilité Objective Basée sur une fréquence observée dévénements passés (ex. jours de pluie). –Probabilité Subjective Basée sur la perception ou sur lexpérience avec, ou non, une fréquence passée observée. Différentes informations ou différentes capacités à traiter la même information peuvent influencer la probabilité subjective (ex. cours boursiers).

4 4 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 4 Définition du risque - Espérance Espérance mathématique : Moyenne pondérée des payoffs ou des valeurs résultant de tous les résultats possibles –Les probabilités de chaque résultat sont les coefficients de pondérations –Lespérance mathématique mesure la tendance centrale; la valeur moyenne. Généralisation: –Soit n résultats possibles avec des payoffs de X 1 à X n –Les probabilités de chaque résultat sécrivent Pr 1 à Pr n –Lexpérance mathématique sécrit :

5 5 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 5 Déviation : Difference entre le payoff attendu (la moyenne) et le payoff observé Ecart-type : Racine carrée des carrés des déviations des payoffs associés à chaque résultat, par rapport à la moyenne. Expression mathématique, pour 2 états possibles : Définition du risque - Variance

6 6 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 6 Définition du risque - Exemple Choix entre 2 travails: –Soit 2 jobs ayant le même revenu moyen attendu (1,500) –Le premier paie à la commission: 1,000 si mauvaises ventes (50% proba), 2,000 si bonnes ventes (50% proba) –Le second est salarié : 1,510 en principe (99%) ou 510 en cas de faillite de lentreprise (1% proba) –Ecarts-types (risques) des deux options : Job 1 : salaire à la commission : Job 2 : salaire fixe

7 7 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 7 Définition du risque - Exemple Caractéristiques des deux options : –Espérance mathématique Job 1 : salaire à la commission : Job 2 : salaire fixe –Ecart-type (risque) Job 1 : salaire à la commission : Job 2 : salaire fixe

8 8 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 8 Amendes de stationnement Imaginez une ville voulant éviter les stationnements interdits. Hypothèses: –Le parking sauvage rapporte 5 au conducteur en gain de temps. –Le conducteur est neutre au risque. –La crainte de lamende est nulle. Dans ce cas, une amende certaine de 5.01 suffit à éviter linfraction. Définition du risque - Exemple

9 9 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 9 Amendes de stationnement Accroître lamende peut réduire le coût de la prévention. La pénalité moyenne de 5 est la même dans : –50 avec une probabilité de 0.1 – 500 avec une probabilité de 0.01 Plus les conducteurs sont averses au risque, moins lamende doit être élevée pour être efficace. Définition du risque - Exemple

10 10 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 10 Préférences face au risque Choix parmi plusieurs alternatives risquées: –Hypothèses Consommation dun seul bien Le consommateur connaît toutes les probabilités Les payoffs sont mesurés en termes dutilité La fonction dutilité est donnée –Exemple : Une personne gagne $15,000, ce qui lui rapporte 13 unités dutilité. Elle envisage un autre job, plus risqué, où elle a : –50% de chance daccroître son revenu à $30,000, –et 50% de chance de le diminuer à $10,000.

11 11 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 11 Préférences face au risque Elle déterminera son choix en fonction de lespérance de lutilité (E(u)) apportée par le résultat. A savoir: –E(u) = (1/2).u($10,000) + (1/2).u($30,000) = 0.5(10) + 0.5(18) = 14 –E(u) du nouveau job est 14, supérieur à 13, lutilité actuelle 13. Elle choisira donc le nouveau job. L espérance de lutilité est la somme des utilités associées à chaque état; pondérées par les probabilités de chaque état. Sécrit E(U). ! A ne pas confondre avec U (E), qui est lutilité associé à lespérance mathématique du résultat, qui néglige laspect risque.

12 12 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 12 Préférences face au risque Les préférences sont différentes face au risque : –Les gens peuvent être averses, neutres, ou favorables au risque. –Averse au risque : préférer un revenu certain à un revenu risqué, de la même expérance mathématique. –Lutilité marginale du revenu est décroissante chez les personnes averses au risque. Mesure de laversion au risque : R A (w) = - u (w) u (w) où w est la fortune u la fonction dutilité concave

13 13 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 13 Revenu ($1,000) Utilité E A B C D Aversion au risque Préférences face au risque U(E) : courbe des revenus certains E(U) : courbe des gains moyens

14 14 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 14 Préférences face au risque Une personne est neutre au risque si elle ne montre pas de préférence entre un revenu certain, et un revenu incertain de même espérance mathématique. Dans ce cas : E(u)=U(E). Une personne est dite aimer le risque si elle montre une préférence pour un revenu incertain, par rapport à un revenu certain de même espérance mathématique. Dans ce cas : E(u)>U(E). –Exemples: Jeu, certains délits

15 15 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 15 Revenu ($1,000) 1020 Utilité A E C Préférences face au risque Neutralité au risque

16 16 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 16 Revenu ($1,000) Utilité A E C 8 18 Préférences face au risque Lamour du risque

17 17 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 17 Prime de risque La prime de risque est le montant quune personne averse au risque est prête à payer pour éviter de prendre un risque. Elle est égale à la différence entre lespérance mathématique du loterie et son équivalent certain. Le revenu certain apportant la même utilité quune loterie est son équivalent certain. La concavité des courbes dutilité indique le trade-off entre risque et espérance mathématique, et donc laversion au risque. Plus une courbe est concave, plus la prime de risque est grande.

18 18 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 18 Prime de risque - Exemple Soit lexemple du job risqué : –$30,000 à 50% et probabilité et $10,000 à 50% (revenu moyen = $20,000). –Lespérance de lutilité de cette distribution de revenus vaut: E(u) =.5(18) +.5(10) = 14 –Combien lindividu est-il prêt à payer pour éviter le risque?

19 19 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 19 Revenu ($1,000) Utilité Prime de risque ici de $4,000 parce quun revenu certain de 16,000 donne à lindividu la même utilité quun revenu incertain despérance mathématique de 20, A C E G 20 F Prime de risque Prime de risque - Exemple

20 20 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 20 Prime de risque - Exemple La variabilité des payoffs potentiels accroit la prime de risque. Exemple: –Un job à 50% de probabilité de rapporter $40,000 (u=20) et 50% de probabilité de rapporter 0 (u=0). –Lespérance du revenu reste à $20,000, mais lespérance de lutilité (E(u)) tombe à 10. –E(u) = 0.5 u(0$) u($40,000)= (20) = 10

21 21 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 21 Revenu ($1,000) Utilité Prime de risque ici de $10,000 parce quun revenu certain de 10,000 donne à lindividu la même utilité quun revenu incertain despérance mathématique de 20, A C E G 20 Prime de risque Prime de risque - Exemple F Equivalent certain

22 22 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 22 Préférences face au risque - Exemple Managers et choix du risque Etudes sur 464 managers exécutifs: –20% sont neutres au risque –40% sont favorables au risque –20% sont averses au risque –20% nont pas répondu Si les gains espérés sont les mêmes, ils optent pour les situations moins risquées. Font des efforts importants pour réduire le risque en reportant des décisions et en rassemblant plus dinformations.

23 23 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 23 Réduction du risque Les trois façons pour les individus de réduire le risque sont: 1) La diversification 2) Lobtention de plus dinformation 3) Lassurance

24 24 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 24 Réduction du risque Une firme peut réduire son risque en diversifiant ses activités dans des domaines peu liés entre eux. Exemple : –Ventes de produits économiquement opposés –Activités dans des zones géographiques et des devises différentes Application : le marché des actions - voir chapitre suivant. Diversification

25 25 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 25 Réduction du risque - Information Valeur de linformation complète : Difference entre la valeur attendue dun choix avec information complète, et la valeur attendue avec information incomplète. Exemple : Soit le patron de Zara. Combien de costumes dautomne commander ? –Commande 100 costumes 180 /pièce –Commande 50 costumes 200 /pièce –Le prix de vente est de 300. –Invendus remboursables à 1/2 prix. –Probabilité subjective de vente de chaque quantité : 50%.

26 26 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 26 Réduction du risque - Information Achat de 50 : Coût = 10,000 Achat de 100 : Coût = 18,000 Vente de 50 : C.A. = 15,000 Vente de 100: C.A = 30,000 Matrices des profits: Vente de 50 Vente de 100 Achat de 50 Achat de 100 5,000 1,50012,000

27 27 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 27 Réduction du risque - Information En information incomplète : –Neutralité au risque : achat de 100 costumes (profit max. supérieur) –Aversion au risque : achat de 50 costumes –Espérance mathématique du profit en incertitude = 0.5*12, *1,500 = 6,750 En information complète (certitude) – Profit = 0.5*5, *12,000 = 8,500 – Valeur de linformation complète = 1,750

28 28 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 28 Réduction du risque Des individus averses au risque sont prêts à payer pour éviter un risque. Si le coût de lassurance égale la perte attendue, alors les individus averses ou neutres au risque : –sassureront, en cas dassurance à termes fixes; –achèteront suffisamment dassurance pour couvrir totalement leur perte potentielle, en cas dassurance à termes flexibles. Assurance

29 29 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 29 Assurance - Termes fixes Eléments de choix dune assurance à termes fixes: –probabilité du sinistre : –en cas de sinistre : perte de : l –valeur actuarielle du sinistre : l –prime dassurance : L –sans assurance : perte de l avec une probabilité, et conservation de la fortune sans sinistre : en 2 de période : w 1 = w 0.(1- ) + (w 0 -l). = w 0 - l –avec assurance : paiement de la prime dans tous les cas et pas de perte en cas de sinistre : en 2 de période : w 1 = w 0 -L, avec certitude

30 30 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 30 Assurance - Termes fixes Revenu ($1,000) Utilité 0 W 0 - l W 0 -L U(W 0 - l) U(w 0 ) W0W0 U (W 0 -.l) = U(W 0 -L) A C E W 0 -.l F L = Prime dassurance max. pour une couverture complète On voit que, plus l aversion au risque croît, plus lindividu est prêt à payer pour une assurance, au-delà de lespérance mathématique du sinistre.

31 31 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 31 Assurance - Termes fixes E (prendre une assurance) = E (ne pas prendre une assurance) SSI: p =.l (càd prime = valeur actuarielle des risques) –Ainsi, les individus neutres au risque seront indifférents à contracter ou non une assurance à terme fixe si p =.l –et les individus averse au risque préféreront contracter une assurance si p =.l et même si p >.l jusqu'à une certain prix, appelé p max. De la même manière que les individus averses au risque préfèrent un revenu certain même s'il est inférieur à l'espérance mathématique d'une loterie, ils vont, ici, préférer le revenu certain [W 0 - p] = [Richesse initiale - prime d'assurance] que la loterie : W 0 à proba (1 - ) ou (W 0 - l) à proba. Ainsi, on peut voir [W 0 - p max ] comme l'équivalent certain de la loterie constituée par le fait de ne pas s'assurer. La prime de risque vaut donc : [p max -.l], appelée aussi "prime de réservation".

32 32 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 32 U2U2 U1U1 X^ Transposition dans le plan x1, x2 X2+ x1 x2 O X^ X1+ x1 = revenu si état s = 1 : proba (1- ) x2 = revenu si état s = 2 : proba points de lespace = paire de revenus conditionnels bissectrice = lieu des revenus certains (x1+, x2+) = dotation initiale (sans assurance) point B, U 2 -U 1 : utilité accrue avec assurance pente de la droite = rapport des probabilités des états x1 = x2 (1- ) A B x* (1- )

33 33 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 33 U2U2 U1U1 W0-pmax Transposition x1, x2 - Assurance W0-l x1 x2 O W0-pmax w0 x1, pas de sinistre : proba (1- ) x2, sinistre: proba (w0, w0-l) = C2 = fortune sans assurance (W0- l, W0- l) = C1 = fortune avec assurance E = utilité équivalente sans assurance -> détermine la prime max x1 = x2 (1- ) E C1 W0- l (1- ) W0- l C2

34 34 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 34 Assurance - Termes flexibles Eléments de choix dune assurance à termes fixes: –probabilité du sinistre : –en cas de sinistre : perte de l –prime par franc couvert = p –indemnité choisie par l'assuré = L –P = pL : prime totale Dans ce cas, l'individu n'a plus le choix entre un jeu et une certitude (ne pas s'assurer / s'assurer), mais il fait face à deux jeux. En effet, même s'il s'assure, à moins qu'il ne s'assure entièrement, sa richesse va varier selon l'état de la nature.

35 35 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 35 Assurance - Termes flexibles Lindividu fait face à laléa suivant: Sans sinistre : il aura renoncé à pL de son revenu : w 1 = w 0 -pL En cas de sinistre : il recevra L en compensation de son sinistre, après avoir payé la prime : w 1 = w 0 -pL - l + L L'individu ne peut pas intervenir sur p, le prix de la couverture, mais il peut intervenir sur L. Quel est donc sa décision optimale? Cas 1 : p = => E (assurance) = E (sans assurance) L individu neutre au risque est indifférent L individu averse au risque s assurera complètement : L*=l

36 36 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 36 Assurance - Termes flexibles Cas 2 : p > => E(assurance) < E (sans assurance) Le prix de l assurance est supérieure à la probabilité d occurrence du sinistre (1- )/ > (1-p)/p => modification de loptimum L individu neutre ne souscrira pas d assurance L individu averse au risque s assurera partiellement : L*

37 37 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 37 U2U2 U1U1 Assurance à termes flexibles W0-l x1 x2 O W0-pmax w0 x1, pas de sinistre : proba (1- ) x2, sinistre: proba 1- / = rapport des proba doccurrences 1-p/p = rapport des prix des créances conditionnelles la courbure des courbures dindifférences déterminera laversion au risque et le degré de protection. x1 = x2 (1- ) E W0- pL (1- p) p W0 - l + (1-p) L C2

38 38 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 38 Nature de lassurance La prise dune assurance transfère de la richesse et accroît lutilité attendue. La décision dassurance dépend du risque perçu par lassuré, en fonction du prix de lassureur. Soit un assureur incapable de discriminer entre les bons risques : f et les mauvais risques : h ; applique une moyenne p = à tous les assurés. Résultats : –les mauvais risques observent h sassurent –les bons risques observent f > p => ne sassurent pas = phénomène de sélection adverse des risques : seuls les individus à haut risque sassurent.

39 39 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 39 Nature de lassurance Face aux pertes encourrues, les assureurs haussent p tel que p = h et P = h.l –-> allocation inefficiente des risques Pour contrer les problèmes de sélection adverse : réduction de lasymétrie dinformation entre assureurs et assurés : –prévision des bons et mauvais risques : historique (assurance décès), variables socio-économiques (assurance crédit), critères objectifs (ex. assurance habitation, vol) –signalling : comportement identifiant de lassuré (bonus- malus). Signalling sur le marché de lemploi : éducation comme signal de valeur (Spence, 1973). Aussi : garanties, labels de qualité, normes ISO...

40 40 Solvay Business School – Université Libre de Bruxelles 40 Nature de lassurance Autre problème en assurance : laléa moral : le comportement de lassuré, débarassé du risque, peut se modifier et accroître la probabilité de sinistre. -> Mesures incitatives à la prudence, visant à faire supporter à lassurer une partie du risque : –Franchises –Coassurance ou assurances partielles Problèmatique générale des problèmes dagence ou modèle Principal - Agent. Où celui qui conçoit le contrat (Principal) nest pas celui qui lexécute (Agent). Exemples : actionnaire -gestionnaire ; patron - employé, entrepreneur - chefs de chantier, etc, etc.


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