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ELG3575 4. Propriétés des signaux dénergie et de puissance et transformée de Hilbert.

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1 ELG Propriétés des signaux dénergie et de puissance et transformée de Hilbert

2 Signaux dénergie Si x(t) est un signal dénergie avec énergie moyenne normalisée E x : –y(t) = x(t)×Ae -j2 fot est aussi un signal dénergie avec E y = A 2 E x ; –z(t) = x(t)×Acos2 f o t est aussi un signal dénergie avec E z = (A 2 /2)E x ; (pour f o > B x où B x est la largeur de bande de x(t)) Y(f) = AX(f-f o ). Donc G y (f) = |Y(f)| 2 = |AX(f-f o )| 2 = A 2 Gx(f-f o ). E y est donnée par :

3 Signaux dénergie Remplaçons f-f o par f et on obtient : Pour z(t) = x(t)×Acos2 f o t, il faut noter que z(t) peut être exprimé comme:

4 Signaux de puissance De la même façon, nous pouvons démontrer que si x(t) est un signal de puissance ave puissance moyenne normalisée P x : –y(t) = Ax(t)e -j2 fot est aussi un signal de puissance avec P y = A 2 P x ; –z(t) = x(t)×Acos2 f o t est aussi un signal de puissance avec P z = (A 2 /2)P x ; (pour f o > B x où B x est la largeur de bande de x(t)).

5 Symétrie de la fonction dautocorrélation Si x(t) est un signal réel, sa fonction dautocorrélation est une fonction paire. Supposons que x(t) est un signal dénergie et que x(t) = x*(t), x (- ) est donnée par : Remplaçons t- par t et on obtient : De la même façon nous pouvons démontrer que R x ( ) = R x (- ) si x(t) est réel.

6 Symétrie de la densité spectrale Si x(t) est un signal réel, sa densité spectrale est une fonction paire. –Nous savons que sa fonction dautocorrélation est une fonction paire. –Sa densité spectrale est la transformée de Fourier de la fonction dautocorrélation. – La transformée de Fourier dune fonction paire est toujours une fonction paire.

7 Symétrie de la densité spectrale Supposons que x(t) est un signal de puissance réel avec fonction dautocorrélation R x ( ). Sa densité spectrale de puissance est : Remplaçons par -u et on obtient

8 Multiplication par cos(2 f o t) Supposons que x(t) est un signal dénergie et que y(t) = Ax(t)cos(2 f o t) (pour f o > B x où B x est la largeur de bande de x(t)). La fonction dautocorrélation de y(t) est :

9 Multiplication par cos(2 f o t) Similairement, si x(t) est un signal de puissance, la fonction dautocorrélation de y(t) = Ax(t)cos(2 f o t) est : (pour f o > B x où B x est la largeur de bande de x(t)). Alors G y (f) = (A 2 /4)G x (f-f o )+(A 2 /4)G x (f+f o ) si x(t) est un signal dénergie et S y (f)= (A 2 /4)S x (f-f o )+(A 2 /4)S x (f+f o ) si x(t) est un signal de puissance.

10 Réseaux transformateurs de phase et la transformée de Hilbert Un signal x(t) est lentrée dun réseau transformateur de phase. La sortie est le signal dentrée déphasée par une constante. Supposons que x 0 (t) = Acos(2 f 0 t) est lentrée a ce réseau. La sortie y 0 (t) = Acos(2 f 0 t+ ). Si nous changeons la fréquence de lentrée, c'est-à-dire que lentrée devient x 1 (t) = Acos(2 f 1 t), la sortie est y 1 (t) = Acos(2 f 1 t+ ). Alors le montant de déphasage est indépendant de la fréquence.

11 Réponse en fréquence du réseau transformateur de phase Pour x(t) = Acos(2 f 0 t), X(f) =. La sortie y(t) = Acos(2 f 0 t+ ) a une transformée de Fourier Y(f) =. La réponse en fréquence du réseau transformateur de phase est :

12 La transformée de Hilbert La transformée de Hilbert est un transformateur de phase où = -90 o. Pour un signal x(t), sa transformée de Hilbert x h (t) est x(t) déphasée par -90 o (- /2 radians). La transformée de Fourier du signal x h (t) est X h (f) qui est donnée par :

13 La transformée de Hilbert La transformée de Hilbert est donnée par : x h (t) = F {-jsgn(f)X(f)} = x(t)*1/ t

14 Exemples Trouvez la transformée de Hilbert de –x(t) = Acos(2 f o t) et –y(t) = sinc(t) SOLUTION (a) alors La transformée de Hilbert de x(t) est alors x h (t) = F -1 {X h (f)} = Asin(2 f o t).

15 Exemples SOLUTION (b) –Y(f) = (f). La transformée de Fourier de la transformée de Hilbert de y(t) est Y h (f) = -jsgn(f) (f). – -jsgn(f) (f) = -j (2(f-¼)) + j (2(f+¼)), alors y h (t) = Yh(f)Yh(f) j -j-j f


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