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Autour des limites de fonctions, des études de fonctions et des divers niveaux détude en analyse 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège.

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1 Autour des limites de fonctions, des études de fonctions et des divers niveaux détude en analyse 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège

2 Par où commencer ? Des applications des limites ? Lesquelles ? Des applications des limites ? Lesquelles ? Des exemples simples de limites de fonctions ? Quest-ce quun exemple « simple » ? Des exemples simples de limites de fonctions ? Quest-ce quun exemple « simple » ? Des exemples de limites de suites contextualisées ou non? Lesquels ? Des exemples de limites de suites contextualisées ou non? Lesquels ? Eviter, dans un premier temps, les cas où limites à droite et à gauche sont distinctes ? Eviter, dans un premier temps, les cas où limites à droite et à gauche sont distinctes ? Faut-il des préambules : intervalles, points adhérents, « linfini », opérations sur la droite achevée et cas dindétermination … ? Faut-il des préambules : intervalles, points adhérents, « linfini », opérations sur la droite achevée et cas dindétermination … ? Où placer létude des asymptotes ? Où placer létude des asymptotes ?

3 Par où commencer ? Commencer par les « infiniment grands » ou par les « infiniment petits » ? Commencer par les « infiniment grands » ou par les « infiniment petits » ? Pour les « infiniment grands », on na plus la distance, doù des difficultés de formulation. En outre, il faut « mobiliser tous les réels qui précèdent » Pour les « infiniment grands », on na plus la distance, doù des difficultés de formulation. En outre, il faut « mobiliser tous les réels qui précèdent » Pour les infiniment petits, il faut faire sentir aux élèves la continuité numérique : « sapprocher dun nombre daussi près que lon veut sans latteindre » Pour les infiniment petits, il faut faire sentir aux élèves la continuité numérique : « sapprocher dun nombre daussi près que lon veut sans latteindre » Quest ce quun « infiniment petit » ? Et un « infiniment grand » ? Quest ce quun « infiniment petit » ? Et un « infiniment grand » ? Et que veut dire « tendre vers » ? Et que veut dire « tendre vers » ?

4 Par où commencer ? Une variété de réponses a priori Limites contextualisées ou non, en particulier, celles qui définissent des grandeurs telles que vitesse, aire, … Limites contextualisées ou non, en particulier, celles qui définissent des grandeurs telles que vitesse, aire, … Etude de suites, voire de séries Etude de suites, voire de séries Etude de graphiques de fonctions en privilégiant asymptotes (lesquelles ?) ou graphiques « à trous » ou graphiques en plusieurs morceaux Etude de graphiques de fonctions en privilégiant asymptotes (lesquelles ?) ou graphiques « à trous » ou graphiques en plusieurs morceaux Insistance sur le regard local Insistance sur le regard local Exemple générique ou étude de cas particuliers précisés par des formules Exemple générique ou étude de cas particuliers précisés par des formules Définition discursive ou formalisée Définition discursive ou formalisée Connotations liées au temps ou au mouvement Connotations liées au temps ou au mouvement Aspect covariant ou contravariant Aspect covariant ou contravariant

5 formulations covariante et contravariante du concept de limite Lénonciation naturelle est covariante : « plus x est proche de a, plus f(x) est proche de b ». Elle ne définit pas la limite car, en ce sens 1/x tend vers - 0,01 quand x tend vers linfini positif. Doù lambiguïté dun travail dobservation dun tableau numérique Lénonciation naturelle est covariante : « plus x est proche de a, plus f(x) est proche de b ». Elle ne définit pas la limite car, en ce sens 1/x tend vers - 0,01 quand x tend vers linfini positif. Doù lambiguïté dun travail dobservation dun tableau numérique Lénonciation française contravariante est : « f(x) est aussi proche de b que lon veut pourvu que x soit suffisamment proche de a » Lénonciation française contravariante est : « f(x) est aussi proche de b que lon veut pourvu que x soit suffisamment proche de a »

6 Un choc numérique : vers une formulation contravariante On plie une feuille de papier de 0,1 mm dépaisseur en deux, puis en quatre, puis en huit, et ainsi de suite soixante fois. Serait-il possible datteindre ainsi une épaisseur qui dépasse 2 m, 20 m, 1 km, la distance Terre-Soleil ? (AHA) Première expérience dune suite divergente Amorce dune formulation contravariante Importance du jeu : « Je te donne un R, tu me donnes un N »

7 Un préalable non négociable Montrer que les savoirs mathématiques répondent à des questions ou projets préalables, en restant allusif le moins longtemps possible Montrer que les savoirs mathématiques répondent à des questions ou projets préalables, en restant allusif le moins longtemps possible Faire apparaître les mathématiques comme économie de pensée et daction : à lencontre dune perspective « monumentaliste » de lenseignement Faire apparaître les mathématiques comme économie de pensée et daction : à lencontre dune perspective « monumentaliste » de lenseignement Cette « dynamique » est exprimée dans le concept de praxéologie mathématique (ou organisation mathématique : OM) Cette « dynamique » est exprimée dans le concept de praxéologie mathématique (ou organisation mathématique : OM)

8 Le concept de praxéologie QUOI : Quelles sont les tâches (questions, projets) que lon se propose deffectuer ? QUOI : Quelles sont les tâches (questions, projets) que lon se propose deffectuer ? COMMENT : quelles sont les techniques qui vont permettre de le faire dune manière « conviviale » ? COMMENT : quelles sont les techniques qui vont permettre de le faire dune manière « conviviale » ? POURQUOI : discours technologique ou théorie qui justifie le choix des techniques et les rend intelligibles POURQUOI : discours technologique ou théorie qui justifie le choix des techniques et les rend intelligibles PRAXEOLOGIE : PRAXIS + LOGOS, (t, T, T ) (pratique + discours sur la pratique)

9 Le caractère fondamental des tâches Les tâches (questions, …) doivent avoir un caractère fondamental par rapport au savoir visé: ce dernier permet les meilleures techniques pour effectuer les tâches Les tâches (questions, …) doivent avoir un caractère fondamental par rapport au savoir visé: ce dernier permet les meilleures techniques pour effectuer les tâches Elles peuvent faire lobjet dun discours ou être déclinées en activités Elles peuvent faire lobjet dun discours ou être déclinées en activités Les tâches peuvent avoir un éventuel caractère ludique, concret, utilitaire, … mais doivent favoriser lintelligibilité du projet global pour les élèves Les tâches peuvent avoir un éventuel caractère ludique, concret, utilitaire, … mais doivent favoriser lintelligibilité du projet global pour les élèves Les exemples « simples » sont les exemples qui montrent la nécessité du projet et léconomie de pensée que les maths procurent pour le réaliser Les exemples « simples » sont les exemples qui montrent la nécessité du projet et léconomie de pensée que les maths procurent pour le réaliser

10 Détermination de grandeurs ou dobjets géométriques A quel(s) type(s) de questions répond le calcul des limites ? Réponse donnée par J. Stewart dans le cadre dun cours de « mathématiques générales » : Un aperçu du calcul différentiel et intégral Un aperçu du calcul différentiel et intégral Le problème de laire Le problème de laire Le problème de la tangente Le problème de la tangente La vitesse La vitesse La limite dune suite (paradoxe de Zénon) La limite dune suite (paradoxe de Zénon) La somme dune série La somme dune série Les limites et dérivées Les limites et dérivées Les problèmes de tangente et de vitesse Les problèmes de tangente et de vitesse La limite dune fonction La limite dune fonction

11 Détermination de grandeurs ou dobjets géométriques Emergence du concept de limite dans lhistoire : Emergence du concept de limite dans lhistoire : Aires et volumes « curvilignes » (intégrale) Aires et volumes « curvilignes » (intégrale) Tangentes (dérivée) Tangentes (dérivée) Vitesses variables (dérivée) Vitesses variables (dérivée) Optimisation (dérivée) Optimisation (dérivée) Praxéologies « grandeurs » : lanalyse na pas pour seul but détudier les fonctions Praxéologies « grandeurs » : lanalyse na pas pour seul but détudier les fonctions

12 Praxéologies « grandeurs » Tâches : déterminer des grandeurs (aires, vitesses, …) Tâches : déterminer des grandeurs (aires, vitesses, …) Techniques : calcul de limites (suites et taux daccroissement), calcul de dérivées et de primitives (où les fonctions jouent un rôle majeur) Techniques : calcul de limites (suites et taux daccroissement), calcul de dérivées et de primitives (où les fonctions jouent un rôle majeur) Discours technologique : justifier que ces calculs donnent bien la valeur exacte de ce qui est cherché Discours technologique : justifier que ces calculs donnent bien la valeur exacte de ce qui est cherché Théorie : peut-on présenter les concepts et techniques sans le formalisme classique associé aux limites ? Théorie : peut-on présenter les concepts et techniques sans le formalisme classique associé aux limites ?

13 Praxéologie « modélisation fonctionnelle » ou « étude de graphiques » Tâches : étudier des fonctions ou des classes paramétrées de fonctions pour pouvoir modéliser des phénomènes; ce qui suppose de faire des liens, dans les deux sens, entre graphiques et expressions analytiques mais aussi de bien identifier, à chaque fois, dans quel sens on va Tâches : étudier des fonctions ou des classes paramétrées de fonctions pour pouvoir modéliser des phénomènes; ce qui suppose de faire des liens, dans les deux sens, entre graphiques et expressions analytiques mais aussi de bien identifier, à chaque fois, dans quel sens on va Techniques : racines, signe, calcul de limites, de dérivées, … Techniques : racines, signe, calcul de limites, de dérivées, … Discours technologique : à voir Discours technologique : à voir

14 Que sont des exemples simples de limites de fonctions ? Limite réelle en une valeur réelle de son domaine de définition ou de continuité ? Limite réelle en une valeur réelle de son domaine de définition ou de continuité ? Limite réelle en un réel nappartenant pas au domaine mais à son adhérence ? Limite réelle en un réel nappartenant pas au domaine mais à son adhérence ? Limite réelle aux infinis ? Limite réelle aux infinis ? Limite infinie en un réel ? Limite infinie en un réel ? Limite infinie aux infinis ? Limite infinie aux infinis ? Comment motiver chacun de ces exemples ?

15 Que sont des exemples simples de limites ? Extrait du programme de la FESeC Construction de suites arithmétiques et géométriques. Somme de termes, limites associées Construction de suites arithmétiques et géométriques. Somme de termes, limites associées Limite aux infinis de fonctions, asymptotes horizontales Limite aux infinis de fonctions, asymptotes horizontales Limite infinie en un point, asymptotes verticales, limite à gauche et à droite Limite infinie en un point, asymptotes verticales, limite à gauche et à droite Limite infinie aux infinis, y compris les asymptotes obliques Limite infinie aux infinis, y compris les asymptotes obliques Limites en un point Limites en un point Limites de fonctions trigonométriques de base Limites de fonctions trigonométriques de base

16 Que sont des exemples simples de limites ? 4 périodes (FESeC) « La notion de limite sera interprétée à partir des graphiques et des suites. Les exemples de limites qui seront privilégiés sont ceux qui donnent lieu à une asymptote. Quelques exemples de fonctions discontinues en un point seront envisagés » Place des suites arithmétiques et géométriques dans le programme ?

17 Que sont des exemples simples de limites ? Extrait du programme de la CFWB BE Construction de suites arithmétiques et géométriques. Somme de termes, limites associées Construction de suites arithmétiques et géométriques. Somme de termes, limites associées Limite en un point, finies et infinies Limite en un point, finies et infinies Limites en plus ou moins linfini Limites en plus ou moins linfini Limite à gauche et limite à droite Limite à gauche et limite à droite Asymptotes Asymptotes Limites de fonctions trigonométriques de base Limites de fonctions trigonométriques de base

18 Que sont des exemples significatifs de limites dans la praxéologie « étude de graphiques »? Quels sont les cas de limites qui apportent le plus à létude graphique des fonctions ? Quels sont les cas de limites qui apportent le plus à létude graphique des fonctions ? Quelles sont les fonctions dont le comportement graphique nécessite vraiment le calcul des limites ? Ou celles pour lesquelles ce calcul suffit presque ? Quelles sont les fonctions dont le comportement graphique nécessite vraiment le calcul des limites ? Ou celles pour lesquelles ce calcul suffit presque ? Hiérarchiser les cas de limites ? Les mettre là où apparaissent leurs « raisons dêtre » Hiérarchiser les cas de limites ? Les mettre là où apparaissent leurs « raisons dêtre »

19 Que sont des exemples significatifs de limites dans la praxéologie « étude de graphiques »? Les limites en une abscisse du domaine de continuité ont un caractère abscons pour les élèves; les graphiques en morceaux semblent « tordus » Les limites en une abscisse du domaine de continuité ont un caractère abscons pour les élèves; les graphiques en morceaux semblent « tordus » Les graphiques « à trous » ont leur intérêt mais semblent « bizarres » : pourquoi ne pas simplifier une fois pour toutes ? Les graphiques « à trous » ont leur intérêt mais semblent « bizarres » : pourquoi ne pas simplifier une fois pour toutes ? Les cas dasymptotes semblent les plus significatifs, dabord les AH dans la foulée des suites, puis les AV; les asymptotes sont de bons « guides » pour tracer des graphiques Les cas dasymptotes semblent les plus significatifs, dabord les AH dans la foulée des suites, puis les AV; les asymptotes sont de bons « guides » pour tracer des graphiques

20 Et le discours technologique ? Prouver lexistence dasymptotes horizontales : lexemple des fractions rationnelles Une drôle de mise en évidence qui a une vertu technologique … Une drôle de mise en évidence qui a une vertu technologique … Lutilisation de lalgèbre des limites Lutilisation de lalgèbre des limites Diversité des ordres de grandeur : 1/x 2 est plus petit que 1/x au delà de 1 Diversité des ordres de grandeur : 1/x 2 est plus petit que 1/x au delà de 1 Un préalable indispensable : lim x 1/x = 0 (équivaut à laxiome dArchimède) Un préalable indispensable : lim x 1/x = 0 (équivaut à laxiome dArchimède)

21 Et le discours technologique ? Prouver lexistence dasymptotes verticales « Cest là où le dénominateur sannule ». Oui, mais … la fonction ne sécrit pas forcément sous forme de fraction (exemple du logarithme). Supposons que ce soit le cas, cette condition nest quand même pas suffisante pour assurer lexistence dune asymptote verticale « Cest là où le dénominateur sannule ». Oui, mais … la fonction ne sécrit pas forcément sous forme de fraction (exemple du logarithme). Supposons que ce soit le cas, cette condition nest quand même pas suffisante pour assurer lexistence dune asymptote verticale Quimposer alors de plus pour que f/g ou 1/f ait une AV déquation x = a ? Quimposer alors de plus pour que f/g ou 1/f ait une AV déquation x = a ? Dispositif heuristique basé sur lanalyse de contre-exemples Dispositif heuristique basé sur lanalyse de contre-exemples

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24 Du calcul infinitésimal à lanalyse De lexamen de contre- exemples à lémergence du concept de continuité : on ne peut rendre, p.ex., 1/f(x) aussi grand que lon veut sans rendre f(x) aussi proche de f(a) que lon veut, pour des valeurs de x suffisamment proches de a : si f(x) > 1/1000, 1/f(x) 1/1000, 1/f(x) < 1000

25 Du calcul infinitésimal à lanalyse Ce nest pas encore suffisant : il faut exiger que f ait un signe constant dans un voisinage de a ou sur un intervalle dextrémité a Ce nest pas encore suffisant : il faut exiger que f ait un signe constant dans un voisinage de a ou sur un intervalle dextrémité a

26 Et le discours technologique ? Prouver lexistence dasymptotes verticales Nécessité de considérer des graphiques « à trous » : les cas de limites « tordus » a priori aux yeux des élèves ont donc un intérêt théorique Nécessité de considérer des graphiques « à trous » : les cas de limites « tordus » a priori aux yeux des élèves ont donc un intérêt théorique Possibilité de faire travailler numériquement les définitions formalisées Possibilité de faire travailler numériquement les définitions formalisées Intérêt dune preuve car il nexiste plus de technique décriture « parlante ». Doù la nécessité de considérer au minimum une hypothèse de continuité sur la fonction du dénominateur (év. à dr ou à gch) et donc des limites en un réel appartenant au domaine de continuité Intérêt dune preuve car il nexiste plus de technique décriture « parlante ». Doù la nécessité de considérer au minimum une hypothèse de continuité sur la fonction du dénominateur (év. à dr ou à gch) et donc des limites en un réel appartenant au domaine de continuité Que deviennent donc lénoncé et la démonstration dun théorème qui assure lexistence dune AV pour la fonction 1/f en x = a (dans le cas où les limites à dr et à gch valent linfini positif) ? Que deviennent donc lénoncé et la démonstration dun théorème qui assure lexistence dune AV pour la fonction 1/f en x = a (dans le cas où les limites à dr et à gch valent linfini positif) ?

27 Et le discours technologique ? Prouver lexistence dasymptotes verticales

28 Et le discours technologique ? Prouver lexistence dasymptotes obliques Ecriture des fonctions sous une « bonne forme », avant les formules canoniques : Ecriture des fonctions sous une « bonne forme », avant les formules canoniques : (ax 2 + bx + c) / (x + d) = mx + p + k / (x + d) [25 t 2 - 8t + 1] 1/2 = [(5t - 4/5) 2 + 9/25] 1/2

29 Praxéologie « analyse formalisée » : couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien Définir mathématiquement les objets initiaux (vitesses, aires, …) par les techniques qui permettaient de les déterminer au stade précédent, ce qui suppose que soient réglées les questions relatives à lefficacité et lintelligibilité des techniques Définir mathématiquement les objets initiaux (vitesses, aires, …) par les techniques qui permettaient de les déterminer au stade précédent, ce qui suppose que soient réglées les questions relatives à lefficacité et lintelligibilité des techniques Agencer les pièces du modèle en une organisation déductive où le mode de validation est exempt de toute considération liée aux contextes dorigine Agencer les pièces du modèle en une organisation déductive où le mode de validation est exempt de toute considération liée aux contextes dorigine

30 Praxéologie « analyse formalisée » : couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien Du calcul infinitésimal à lanalyse : Euler, le concept de fonction et le renversement de lordre dexposition de la théorie : les questions dordre géométrique ou physique deviennent des applications Euler, le concept de fonction et le renversement de lordre dexposition de la théorie : les questions dordre géométrique ou physique deviennent des applications Lagrange et la reformulation de lanalyse en termes de fonctions dérivées et de fonctions primitives Lagrange et la reformulation de lanalyse en termes de fonctions dérivées et de fonctions primitives Cauchy et la volonté dune refonte déductive basée sur le concept « mère » de limite, respectant la « rigueur des géomètres grecs de lAntiquité » Cauchy et la volonté dune refonte déductive basée sur le concept « mère » de limite, respectant la « rigueur des géomètres grecs de lAntiquité » Bolzano et le projet métaphysique dépurer le discours de toute connotation géométrique ou cinématique et de définir la continuité numérique Bolzano et le projet métaphysique dépurer le discours de toute connotation géométrique ou cinématique et de définir la continuité numérique

31 Praxéologie « analyse formalisée » : couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien Ce 2 ème niveau détude se distingue du 1 er par des tâches et techniques dun autre ordre : conjecturer un ordre dagencement de théorèmes, démontrer lun deux au moyen des règles dinférence du calcul propositionnel, établir un lot daxiomes, réfuter une conjecture fausse.par la technique de la recherche du lemme coupable (théorème faux de Cauchy sur les séries de fonctions continues sur un intervalle et concept de convergence uniforme) ou.par la mise en évidence dhypothèses sans lesquelles on na pas telle ou telle propriété : ex de la continuité et du théorème des valeurs intermédiaires

32 Praxéologie « analyse formalisée » Portée du concept formalisé de limite : donner prise à un nouveau système de preuves en termes de quantificateurs et dinégalités Portée du concept formalisé de limite : donner prise à un nouveau système de preuves en termes de quantificateurs et dinégalités Ne sert pas à prouver telle ou telle limite particulière (sauf pour des raisons didactiques) Ne sert pas à prouver telle ou telle limite particulière (sauf pour des raisons didactiques) Sert à prouver les théorèmes relatifs à lalgèbre des limites, théorèmes grâce auxquels on peut se passer de ces écritures formalisées Sert à prouver les théorèmes relatifs à lalgèbre des limites, théorèmes grâce auxquels on peut se passer de ces écritures formalisées Lalgèbre des limites repose sur un axiome : Lalgèbre des limites repose sur un axiome : lim x 1/x = 0 qui découle de laxiome dArchimède

33 Praxéologie « analyse formalisée » Cest plus « lesprit » de ces preuves qui compte que lécriture des quantificateurs lesquels peuvent être remplacés par des formes langagières :

34 Cauchy, le père de lanalyse moderne nutilise pas de quantificateurs

35 Limite dune variable versus limite dune fonction Peut-on définir la limite dune variable ? En français ? Avec des formules quantifiées ? Peut-on définir la limite dune variable ? En français ? Avec des formules quantifiées ? Que signifie: Que signifie: 0 : x - a < 0 : x - a < ou 0 x ( a) tq x - a < ?

36 Limite dune variable versus limite dune fonction Ces écritures signifient que x = a ou quon peut trouver un réel x aussi proche que lon veut de a. Elles supposent sans doute une référence implicite à une suite de nombres, cest-à-dire à une fonction Ces écritures signifient que x = a ou quon peut trouver un réel x aussi proche que lon veut de a. Elles supposent sans doute une référence implicite à une suite de nombres, cest-à-dire à une fonction Lexpression 0 : x - a < caractérise ce quon appelle, en ANS, des nombres infiniment proches c-à-d dont la différence est un infiniment petit Lexpression 0 : x - a < caractérise ce quon appelle, en ANS, des nombres infiniment proches c-à-d dont la différence est un infiniment petit Un infiniment petit est un « nombre », non-standard, non nul qui, en valeur absolue, est inférieur à tout réel positif. (permet dexprimer le concept de limite : pour tout hyperréel, réel ou non standard, x tel que x - a est un infiniment petit, f(x) est infiniment proche de b)

37 Connotations parasites Dans la formulation de limite dune variable, il y a aussi une référence implicite au temps : « successives », « sapprochent indéfiniment », « finit par devenir et rester … » Dans la formulation de limite dune variable, il y a aussi une référence implicite au temps : « successives », « sapprochent indéfiniment », « finit par devenir et rester … » Le langage reste fort géométrique ou cinématique : se « rapprocher de » ou ambigu : « proche de linfini » Le langage reste fort géométrique ou cinématique : se « rapprocher de » ou ambigu : « proche de linfini » Dans la théorie standard, la notion d« infini » est évitée : il nexiste que la limite dune fonction Dans la théorie standard, la notion d« infini » est évitée : il nexiste que la limite dune fonction

38 Connotations parasites Projet de Bolzano formulé en 1817 à propos du théorème des valeurs intermédiaires : « Il ny a absolument rien à objecter ni contre la justesse ni contre lévidence de ce théorème géométrique. Mais il est tout aussi manifeste quil y a là une faute intolérable contre la bonne méthode qui consiste à vouloir déduire les vérités des mathématiques pures (ou générales, c-à-d de larithmétique, de lalgèbre ou de lanalyse) de considérations qui appartiennent à une partie appliquée (ou spéciale) seule, à savoir la géométrie. […] Il faut rejeter de même la démonstration que certains ont établie à partir du concept de continuité dune fonction en y faisant intervenir les concepts de temps et de mouvement »

39 Que conclure sur le formalisme ? Le formalisme et la rigueur associée ont une fonctionnalité : rien nest gratuit en math. Le formalisme et la rigueur associée ont une fonctionnalité : rien nest gratuit en math. On peut travailler le concept de limite à partir dexpressions langagières (formulation contravariante, …) quil faudra préciser au fur et à mesure On peut travailler le concept de limite à partir dexpressions langagières (formulation contravariante, …) quil faudra préciser au fur et à mesure Si on soffre le formalisme, cest pour en faire quelque chose de pertinent par rapport à la théorie, pas pour faire « bien » Si on soffre le formalisme, cest pour en faire quelque chose de pertinent par rapport à la théorie, pas pour faire « bien »

40 Inversion didactique Histoire Intégrales (aires, volumes) Intégrales (aires, volumes) Dérivées (tangentes, vitesses, optimisation) Dérivées (tangentes, vitesses, optimisation) Réorganisation autour des concepts de fonction et de limite Réorganisation autour des concepts de fonction et de limite Continuité Continuité Réels RéelsEnseignement Réels Continuité Théorie des limites Dérivées et intégrales Applications géométriques, cinématiques ou pratiques

41 Inversion didactique Cet enseignement est propre à luniversité ou, au niveau du secondaire, est typique de la réforme des « math modernes » Cet enseignement est propre à luniversité ou, au niveau du secondaire, est typique de la réforme des « math modernes » Il continue à inspirer lenseignement de lanalyse dans le secondaire : on prend de lenseignement universitaire quelques éléments emblématiques (quantificateurs, …) mais on lédulcore daspects plus délicats (en particulier, sur les réels) Il continue à inspirer lenseignement de lanalyse dans le secondaire : on prend de lenseignement universitaire quelques éléments emblématiques (quantificateurs, …) mais on lédulcore daspects plus délicats (en particulier, sur les réels)

42 Deux projets mathématiques majeurs Praxéologie « modélisation » Modéliser pour résoudre des problèmes : Modéliser pour résoudre des problèmes : Aspect « outil » des mathématiques Aspect « outil » des mathématiques Questionnement et justification des modèles Questionnement et justification des modèles Praxéologie « déduction » Etudier les propriétés des modèles dans une organisation déductive Etudier les propriétés des modèles dans une organisation déductive Aspect « objet » des mathématiques Aspect « objet » des mathématiques

43 Deux projets mathématiques majeurs Les praxéologies « grandeurs » et « modélisation fonctionnelle » sont des praxéologies de modélisation Les praxéologies « grandeurs » et « modélisation fonctionnelle » sont des praxéologies de modélisation La praxéologie « analyse formalisée » est une praxéologie de déduction La praxéologie « analyse formalisée » est une praxéologie de déduction Savoir situer chaque élément (par exemple, la continuité) au bon niveau et dans un projet plus global


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