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Duplication du cube, trisection de l angle, quadrature du cercle : rien dimpossible ! Stage « Grands problèmes » 11 avril 2006.

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1 Duplication du cube, trisection de l angle, quadrature du cercle : rien dimpossible ! Stage « Grands problèmes » 11 avril 2006

2 Felix Klein 1895

3 Eutocius dAscalon (Palestine) Commentaires sur le traité dArchimède « De la sphère et du cylindre » (manuscrit latin de 1270)

4 « Ce problème résolu, nous pourrons, dune façon générale, changer en cube toute figure solide donnée limitée par des parallélogrammes, ou la faire passer dune forme à une autre et la rendre semblable à une figure donnée, et lamplifier en respectant la similitude, et cela, même quand il sagit dautels et de temples ; nous pourrons aussi convertir en cube les volumes des corps liquides et secs, tels le métrète et la médimne, et exprimer par larête de ce cube la capacité des récipients de ces corps. Mais mon invention sera utile aussi à ceux qui voudront augmenter les dimensions des catapultes et dautres machines balistiques, où tout doit être augmenté en proportion, épaisseurs, longueurs, forages, trous des moyeux et cordes engagées dans ceux-ci, si nous voulons que la portée du tir soit augmentée en proportion ; or cela nest pas réalisable sans que les moyennes soient trouvées. »

5 Insertion dune moyenne proportionnelle Insertion de deux moyennes proportionnelles a x y b

6 Treize solutions rapportées par Eutocius pour le problème des deux moyennes : Archytas de Tarente ( ) Archytas de Tarente ( ) Platon ( ) Platon ( ) Eudoxe de Cnide ( ) Eudoxe de Cnide ( ) Ménechme (deux solutions) ( ) Ménechme (deux solutions) ( ) Nicom è de ( ) Nicom è de ( ) Philon de Byzance ( ) Philon de Byzance ( ) É rastosth è ne de Cyr è ne ( ) É rastosth è ne de Cyr è ne ( ) Apollonius de Pergé ( ) Apollonius de Pergé ( ) Dioclès ( ) Dioclès ( ) Héron dAlexandrie ( ) Héron dAlexandrie ( ) Sporus de Nicée ( ) Sporus de Nicée ( ) Pappus dAlexandrie ( ) Pappus dAlexandrie ( )

7 Lappareil de Platon

8 Albrecht D ü rer 1525

9

10 Le mésolabe d É ratosth è ne

11

12 Les coniques de Ménechme

13 Le compas parfait ? Ibr ā h ī m ibn Sin ā n ( ) Wayjan al-Q ū h ī ( ) Ab ū al-Sijz ī ( ) < : ellipse = : parabole > : hyperbole

14 Le trisecteur dArchimède

15 La concho ï de de Nicom è de

16 La quadratrice dHippias-Dinostrate

17 Lappareil de Giambatista Suardi 1752

18 Les constructions dans les mathématiques arabes Ab ū Nasr al-F ā r ā bi ( ) : Le livre des procédés ingénieux et des mystères de la nature sur la subtilité des figures géométriques Ab ū al-Waf ā ( ) : Le livre des constructions géométriques nécessaires à lartisan Approfondissement des procédés grecs pour linsertion de deux moyennes et la trisection de langle Construction de lénnéagone régulier Douze constructions (au moins) de lheptagone régulier Nombreuses constructions des sections coniques (par points, avec des fils, avec le compas parfait...) Umar al-Khayy ā m ( ) : théorie complète de la construction des équations cubiques Utilisation systématique des constructions utilisant droites, cercles et coniques

19 François Viète 1593 Cas dune seule racine réelle : insertion de deux moyennes Cas de trois racines réelles : trisection de langle

20 Mais je métonne de ce quils nont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques, plutôt que géométriques. Car de dire que çait été à cause quil est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudrait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu quon ne les décrit sur le papier quavec un compas et une règle, quon peut aussi nommer des machines. Descartes 1637

21 Classification de Descartes 1637 courbes géométriques : courbes ayant une équation algébrique ou courbes engendrées par un « mouvement continu unique » courbes géométriques : courbes ayant une équation algébrique ou courbes engendrées par un « mouvement continu unique » courbes mécaniques : autres courbes (quadratrice, spirale, cycloïde, courbe logarithmique…) courbes mécaniques : autres courbes (quadratrice, spirale, cycloïde, courbe logarithmique…)

22 René Descartes 1637

23 Frans van Schooten 1646

24 Guillaume de LHospital 1720

25 Carl Friedrich Gauss 1801 Carlos Videla 1997 Le polygone régulier à n côt é s est constructible avec des droites et des cercles si et seulement si n = 2 n p 1 p 2... p k, où les p i sont des nombres premiers distincts de la forme 2 a + 1 Le polygone régulier à n côt é s est constructible avec des droites, des cercles et des coniques si et seulement si n = 2 n 3 m p 1 p 2... p k, où les p i sont des nombres premiers distincts de la forme 2 a 3 b

26 Construction des polygones réguliers à 7 et 9 côt é s avec Cabri É ric Bainville et Bernard Genev è s 1998

27 Construction des polygones réguliers à 13 et 19 côt é s avec Cabri É ric Bainville et Bernard Genev è s 1998

28 Alfred Bray Kempe

29 Watt 1784 Roberts Kempe Peaucellier 1864 Chebyshev

30 Le trisecteur de Kempe

31 Alfred Bray Kempe 1876 Les courbes planes algébriques sont exactement celles qui peuvent être tracées à laide dun système articulé Toute équation algébrique peut être r é solue de mani è re exacte au moyen d un syst è me articul é Gabriel Koenigs 1895 Toute relation algébrique entre points dun plan peut être r é alis é e par un syst è me articul é plan Toute relation algébrique entre points de lespace peut être r é alis é e par un syst è me articul é dans l espace

32 Certains problèmes ne sont ni plans, ni solides, ni sur-solides, ni daucun degré déterminé, mais surpassent toute équation algébrique. Il nempêche que de tels problèmes peuvent réellement se poser en Géométrie : il est donc indispensable dadmettre les seules courbes permettant de les construire ; or ces courbes peuvent être tracées dun mouvement continu, il ne faut donc pas les juger mécaniques, mais géométriques. Cest pourquoi lerreur qua commise Descartes en les excluant de la Géométrie fut aussi grave que celle des Anciens qui rejetaient comme non géométriques certains lieux solides ou linéaires. Il existe néanmoins dautres façons de construire les courbes, comportant ladjonction dun élément physique. Gottfried Wilhelm Leibniz1693

33 Giovanni Poleni 1729 Giambatista Suardi 1752 Construction exacte de la courbe logarithmique et du nombre e

34 Lintégraphe dAbdank-Abakanowicz

35 Lappareil de Platon Musée des arts et métiers, Paris

36 Quadrature du cercle avec lintégraphe

37 Felix Klein 1895 Voilà donc une construction géométrique qui permet la quadrature du cercle. On voit de plus quelle la réalise dans lordre didées où sétaient engagés les géomètres anciens ; notre courbe intégrale nest quune modification des quadratrices considérées par eux : Lindemann démontre que la quadrature du cercle est impossible à la règle et au compas 1886 : Lintégraphe dAbdank-Abakanowicz permet de résoudre de manière exacte la quadrature du cercle

38 Artobolevski : Mécanismes algébriques

39 Artobolevski : Mécanismes transcendants

40 Un analyseur différentiel Science Museum, Londres


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