La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Exposé de Mathématiques Réalisé Par : Bourdin Julien Conti Florian.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Exposé de Mathématiques Réalisé Par : Bourdin Julien Conti Florian."— Transcription de la présentation:

1 Exposé de Mathématiques Réalisé Par : Bourdin Julien Conti Florian

2 Sujet : Al Kashi Qui Est-il ? Qua-t-il Trouvé ? Petits Exercices. Sources Internet.

3 Qui Est-il ? Al Kashi, de son véritable nom «Ghiyat al-dîn djamashîd b.mahs'ûd b.mahmûd al Kashi » est née à Kachan entre Isaphan et Téhéran. Il grandit dans la pauvreté durant une période de sa vie suite a des conquêtes militaires de sa région par lémir Tîmur Lang (1370;1405). Après la mort de Tîmur, les conditions saméliorèrent grandement, Al Kashi pouvait se consacrer aux mathématiques et à lastronomie grâce au successeur de Tîmur « Shah Rohk » qui soutenait grandement les intérêts artistiques et intellectuels. Ce sera à la date du 2 Juin 1406, que sera lune de ses premières observations notables marquée par une éclipse de lune. Cest à Samarkand quAl Kashi vivait sous la protection du prince Ulugh-Beg (1394;1409) qui était le fondateur dune université comprenant une soixantaine de chercheurs étudiant la théologie et les sciences. Cest ici quAl Kashi deviendra le premier directeur de lobservatoire et cest ici aussi quil sadonnera pleinement à ses travaux. De nombreuses lettres, ainsi que certains ouvrages ont survécu. Nous reviendrons sur ces ouvrages dans la partie « Qua-t-il Trouvé ? ». On ne connaît que sa date approximative de mort : 1436 ou Al Kashi restera le dernier grand mathématicien arabe à entrer dans lhistoire avant que le monde occidental prenne le relais. MENU Tîmur LangUlugh-Beg

4 Qua-t-il trouvé ? Durant sa vie, Al Kashi a écrit de nombreux traités. Cest à travers ces différents traités quil nous démontra son ingéniosité, et quil aida grandement la science des mathématiques. Dans son traité dastronomie Khaqan Zij: Il nous donne des tables trigonométriques proposant des valeurs à quatre chiffres de la fonction sinus ainsi que de nombreuses informations importantes sur ses trouvailles en astrologie. Dans son traité sur le cercle : Jemsid Al Kashi Trouve, daprès la méthode des périmètres (méthode dArchimède), une valeur approchée de Pi, en base 60 (9 positions), soit léquivalent de 16 décimales. (voir image). Dans son traité Miftha Al Hisab : Cest dans ce principal traité quil nous explique lintérêt des nombres sexagésimaux (système de numérotation en base 60). Cet ouvrage sera essentiellement destiné aux chercheurs, étudiant lastronomie,larchitecture, la comptabilité ou le commerce. Il nous démontre aussi le calcul n-ième de racine par algorithme, mais aussi nous propose des calculs de racine n- ième dun nombre par une technique (technique dOmar Khayyam) appelée aujourdhui : « Triangle de Pascal ». On lui doit aussi son nom, généralisant le théorème de Pythagore (pour un triangle quelconque), on lappellera « Théorème dAl Kashi » ou Loi Des Cosinus pour les autres langues. (voir image). Nous reviendrons sur ce théorème plus en détails sur la page suivante. Dans son traité sur la corde et le sinus : Il nous présente le calcul de sin (1°) avec une grande précision, mais aussi une étude dune équation du 3eme degré liée a la trisection de langle. (partager un angle en 3 parties égales). SuiteMenu

5 Qua-t-il trouvé ? (suite) Explication du « Théorème dAl Kashi »: Le théorème dAl Kashi est un théorème de géométrie du triangle couramment utilisé en trigonométrie. Il utilise les bases du théorème de Pythagore mais pour les triangles non rectangles. Il relie le 3eme coté du triangle dun triangle aux deux autres cotés ainsi quau cosinus de langle formé pas ces deux autres cotés. Exemple : Soit un Triangle DEF, ayant pour cotés respectifs aux angles k,u,y, les lettres A,B,C (voir figure) Donc Daprès la Formule dAl Kashi, cela nous donne : C²= A²+ B² - 2AB.Cosy Doù la formule générale exprimée sur la page précédente. Dans la pratique générale, ce théorème est donc utilisé en triangulation, pour trouver le troisième coté dun triangle dont nous ne connaissons quun angle et ses cotés adjacents. Il existe aussi un corollaire de cette formule dans le cas dune application de deux triangles semblables: CC = AA +BB –( AB +AB).Cosy Ce théorème dispose dune multitude de formules générales qui sappliquent dans différents cas. Ici je cite les 2 formules principalement utilisées. En effet, il existe sept types de formule qui sappliquent dans six cas différents qui sont : - Par le théorème de Pythagore. - Par la puissance dun point par rapport a un cercle. - Par le Calcul vectoriel. - Par géométrie Sphérique. - Par géométrie hyperbolique. - Par généralisation à lespace euclidien. Menu

6 Exercices ABCD est un losange tel que AB=BC=CD=DA=1,l'unité de longueur étant le cm. On pose l'angle BAC = y. 1) Exprimer AC et BD en fonction de et vérifier que AC + BD = 22 cos(-pi/4) 2) Déterminer tel que AC+BD = 6 et faire une figure dans ce cas. Correction Soit ABC un triangle non aplati : 1) Démontrer l'égalité suivante : sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) -2 Sin(b).Sin(c).Cos(a). 2) Montrer que ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si sin²(a) = sin²(b) + sin²(c) Correction Menu

7 Correction Des Exercices ! Exercice n°1 : 1) Soit O le point de rencontre de (AC) et (DB) Le triangle AOB est rectangle en O puisque les diagonales d'un losange se coupe à angle droit (et en leurs milieux). AC/2 = AO = AB.cos(alpha) AC/2 = 1*cos(alpha) AC = 2.cos(alpha) --- BD/2 = OB = AB.sin(alpha) BD = 2.sin(alpha) --- AC + BD = 2.cos(alpha) + 2.sin(alpha) AC + BD = 2(cos(alpha) + sin(alpha)) AC + BD = 2.V2.cos(alpha - (Pi/4)) (Avec V pour racine carrée) ) AC + BD = V6 V6 = 2.V2.cos(alpha - (Pi/4)) cos(alpha - (Pi/4)) = (V3)/2 alpha - (Pi/4) = +/- Pi/6 + 2kPi alpha = (Pi/4) +/- (Pi/6) + 2kPi alpha = Pi/12 ou alpha = 5Pi/12 Suite Exercice 2MenuRetour pages Dexercices

8 Corrections des Exercices ! Exercice n°2 : 1) sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 sin(b).sin(c).cos(a) ? a+b+c = Pi (la somme des angles d'un triangle = 180°) a = Pi-(b+c) Sin²(Pi-(b+c)) =? Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(Pi-(b+c)) Sin²(b+c) =? Sin²(b) + Sin²(c) + 2 Sin(b).Sin(c).Cos(b+c) (Sin(b).Cos(c)+Cos(b).Sin(c))² =? Sin²(b) + Sin²(c) + 2 Sin(b).Sin(c).(Cos(b).Cos(c)-Sin(b).Sin(c)) Sin²(b).Cos²(c)+Cos²(b).Sin²(c) + 2Sin(b).Cos(b).Sin(c).Cos(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) + 2 Sin(b).Sin(c).Cos(b).Cos(c) - 2.Sin²(b).Sin²(c) Sin²(b).Cos²c + Cos²(b).Sin²(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) - 2.Sin²(b).Sin²(c) Sin²(b).Cos²c + 2.Sin²(b).Sin²(c) + Cos²(b).Sin²(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) Sin²(b).Cos²c + Sin²(b).Sin²(c) + Sin²(b).Sin²(c) + Cos²(b).Sin²(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) Sin²(b).(Cos²c + Sin²(c)) + Sin²(c)(Sin²(b) + Sin²(c)) =? Sin²(b) + Sin²(c) Sin²(b) + Sin²(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) Qui est une identité. Donc en partant de Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a), on aboutit a une identité --> On a bien Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) dans un triangle. 2) On a sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) Si a = 90°, Cos(a) = 0 sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) Donc l'expression Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) est vrai si le triangle est rectangle en A. (1) Reste à démontrer la réciproque. Si on a: Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) Comme on a aussi dans tout triangle: Sin²a =? Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) Sin²(b) + Sin²(c) = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) Sin(b).Sin(c).Cos(a) = 0 Comme le triangle n'est pas plat, b et c sont différents de 0 et donc Sin(b).Sin(c) est différent de 0 cela implique que Cos(a) = 0, soit a = 90° donc si on a Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c), le triangle est rectangle en A. (2) (1) et (2) --> ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) Menu

9 .Sources Internet. IleMaths Wikipédia Col-Camus De Strasbourg Menu


Télécharger ppt "Exposé de Mathématiques Réalisé Par : Bourdin Julien Conti Florian."

Présentations similaires


Annonces Google