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Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 1) Rappels.

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1 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 1) Rappels

2 Actions de contact : Cas de la dynamique dFndFn dSdS Particule de fluide Fluide ambiant n d F = d F n + d F t dFtdFt dFdF

3 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 1) Rappels 2) Force de viscosité dans les fluides newtoniens a) Relation de Newton

4 v (M,t) = v x (y,t). u x O x y (R) v x (y,t) z Localement, les particules de fluide tournent autour dun axe porté par Oz

5 Relation de Newton O x y y v x (y + dy,t) y + dy v x (y,t) grad v x dS

6 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 1) Rappels 2) Force de viscosité dans les fluides newtoniens a) Relation de Newton b) Notion de viscosité

7 Ordres de grandeur : air 1,8.10 –5 Pl ; eau 10 –3 Pl ; huile 1 Pl ; graisse 10 3 Pl à température ambiante ; verre 10 Pl à 1400°C ; verre Pl à 500°C ;

8 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 3) Transport de quantité de mouvement par diffusion a) Force volumique de viscosité

9 Force volumique de viscosité O x y y d F (y + dy/2) y + dy/2 v x (y) dSdS y – dy/2 d F (y – dy/2)

10 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 3) Transport de quantité de mouvement par diffusion a) Force volumique de viscosité b) Léquation de Navier – Stokes

11 Léquation de Navier – Stokes En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

12 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 3) Transport de quantité de mouvement par diffusion a) Force volumique de viscosité b) Léquation de Navier – Stokes c) Diffusion de quantité de mouvement

13 Léquation de Navier – Stokes En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

14 Mode de diffusionDiffusion de particulesDiffusion thermique Diffusion de quantité de mouvement volumique Equation de diffusion n* : densité de particulesT : température. v : densité volumique de quantité de mouvement Coefficient de diffusion (m 2.s –1 ) D : diffusivité D th : diffusivité thermique : viscosité cinématique

15 Ordres de grandeur : air 1,8.10 –5 Pl ; air 1,3 kg.m –3 ; air 1,4.10 –5 m 2.s –1 ; eau 10 –3 Pl ; eau 1, kg.m –3 ; eau 1,0.10 –6 m 2.s –1 ;

16 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds dun écoulement 1) Les différents transports de quantité de mouvement

17 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds dun écoulement 1) Les différents transports de quantité de mouvement a) Transport par convection

18 Transport par convection Le transport par convection est un transport de quantité de mouvement volumique parallèlement à la direction de lécoulement

19 Transport par convection v.dt dm dS v Transfert convectif d p c de quantité de mouvement

20 Transport par convection On définit le débit convectif de quantité de mouvement par unité de surface par :

21 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds dun écoulement 1) Les différents transports de quantité de mouvement a) Transport par convection b) Transport par diffusion

22 Transport par diffusion Le transport par diffusion est un transport de quantité de mouvement volumique perpendiculairement à la direction de lécoulement

23 Transport par diffusion x y y + dy y v x (y + dy) v x (y) grad v x (y) Transfert diffusif d p d de quantité de mouvement dS

24 Transport par diffusion On définit le débit diffusif de quantité de mouvement par unité de surface par :

25 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds dun écoulement 2) Le nombre de Reynolds a) Définition

26 On appelle nombre de Reynolds R e, le rapport positif sans dimension : Définition :

27 DescriptionNombre de Reynolds Évolution du manteau terrestre10 –20 Glacier10 –11 Bactéries dans leau10 –5 Spermatozoïdes dans le liquide séminal10 –3 Bille qui tombe dans du miel10 –2 Poisson daquarium10 2 Nageur dans leau10 5 Serpent dans leau10 6 Oiseau10 6 Gros poisson dans leau10 8

28 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds dun écoulement 2) Le nombre de Reynolds a) Définition b) Autre définition du nombre de Reynolds

29 Léquation de Navier – Stokes En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

30 Autres définitions du nombre de Reynolds

31 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds dun écoulement 2) Le nombre de Reynolds a) Définition b) Autre définition du nombre de Reynolds c) Interprétation du nombre de Reynolds

32 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds dun écoulement 3) La classification des écoulements a) Les écoulements laminaires et turbulents

33 R e < 1 Lécoulement est laminaire rampant

34 R e = 10 Lécoulement est laminaire R e = 13 R e = 26

35 R e Lécoulement est turbulent R e 10 5

36 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds dun écoulement 3) La classification des écoulements a) Les écoulements laminaires et turbulents b) Réflexion sur lécoulement parfait

37 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds III) Écoulement dun fluide autour dun obstacle 1) Le paradoxe de dAlembert

38 Fluide en mouvement O v0v0 v0v0 P0P0 P0P0 v, P

39 Le fluide parfait Un fluide ne peut être considéré comme parfait quen dehors de la couche limite et du sillage

40 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds III) Écoulement dun fluide autour dun obstacle 1) Le paradoxe de dAlembert 2) Écoulement autour dun obstacle

41

42 Lécoulement parfait est un modèle découlement à fort nombre de Reynolds en dehors de la couche limite et du sillage Définition :

43 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds III) Écoulement dun fluide autour dun obstacle 1) Le paradoxe de dAlembert 2) Écoulement autour dun obstacle 3) Description dun écoulement autour dune sphère

44 Pour les valeurs de R e inférieures à 1, l'écoulement est laminaire et approximativement linéaire. Les lignes de courant ont l'allure représentée ci – contre. C x est inversement proportionnel à R e. Pour des valeurs de R e supérieures à 1 (de l'ordre de R e 20), il apparaît un tourbillon torique stable derrière la sphère. Les dimensions de ce tourbillon augmentent avec le nombre de Reynolds.

45 Ce tourbillon finit par occuper toute la partie arrière de la sphère, pour des nombres de Reynolds de l'ordre de 300 à 450. À partir de R e voisin de 450, le tourbillon se détache, en prenant une forme hélicoïdale. Ce tourbillon a pour conséquence l'existence d'une force transversale «tournante» s'exerçant sur la sphère

46 Pour R e 1000, l'écoulement n'est plus régulier : il se forme un sillage, zone turbulente et chaotique derrière la sphère. Le point de décrochement de la couche limite est situé en « avant » de la sphère.

47 Si R e devient très grand, (R e > ), le sillage diminue d'importance. Les tourbillons évoluent de façon chaotique. Il n'est plus possible de décrire simplement l'écoulement qui devient turbulent. Alors que précédemment la couche limite était laminaire, elle devient turbulente : elle se décroche vers larrière

48 Application à la balle de golf : Dans les mêmes conditions de lancement, une balle de golf (bosselée) va plus loin quune balle lisse. Autour de la balle de golf, il existe une couche limite turbulente tandis quautour de la balle lisse la couche limite est laminaire. Le C x de la balle de golf est moins élevé que celui de la balle lisse pour le même nombre de Reynolds.

49 DescriptionNombre de Reynolds Évolution du manteau terrestre10 –20 Glacier10 –11 Bactéries dans leau10 –5 Spermatozoïdes dans le liquide séminal10 –3 Bille qui tombe dans du miel10 –2 Poisson daquarium10 2 Nageur dans leau10 5 Serpent dans leau10 6 Oiseau10 6 Gros poisson dans leau10 8

50 Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds 4) Évolution de la force de traînée III) Écoulement dun fluide autour dun obstacle 1) Le paradoxe de dAlembert 2) Écoulement autour dun obstacle 3) Description dun écoulement autour dune sphère

51 Evolution du coefficient de traînée C x (R e ) d'une sphère lisse


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