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La suite de Fibonacci et le nombre dor Michel Waldschmidt Université P. et M. Curie (Paris VI) Lycée François Couperin.

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1 La suite de Fibonacci et le nombre dor Michel Waldschmidt Université P. et M. Curie (Paris VI) Lycée François Couperin Fontainebleau lundi 15 avril 2013

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3 Les vaches de Narayana Musique: Tom Johnson Saxophones: Daniel Kientzy Réalisation: Michel Waldschmidt

4 Narayana était un mathématicien indien du 14 e siècle. Il posa le problème suivant: Chaque année, une vache met au monde un veau. À partir de la quatrième année, chaque veau donne à son tour et au début de chaque année, naissance à un veau. Quel est le nombre de vaches et de veaux après une durée de 17 ans? Le temps que vous mettrez à résoudre ce problème nous suffira pour vous en donner la démonstration musicale.

5 Année1 Vache initiale 1 Deuxième génération 1 Total2 La première année, nous navons que la première vache avec son premier veau. long-court

6 Année12 Vache initiale 11 Deuxième génération 12 Total23 La deuxième année, nous avons la première vache et deux veaux. long -court -court

7 Année123 Vache initiale 111 Deuxième génération 123 Total234 La troisième année, nous avons la première vache et trois veaux. long -court -court -court

8 Année1234 Vache initiale 1111 Deuxième génération 1234 Troisième génération 0001 Total2346 La quatrième année, le premier veau devient mère, ce qui donne naissance à une troisième génération des vaches de Narayana. long - court - court - court - long - court

9 année12345 vache originale deuxième génération troisième génération Total La cinquième année, nous avons une mère ainsi que trois veaux de plus.

10 Année Vache originale Deuxième génération Troisième génération Total La sixième année, nous avons 4 mères, 4 jeunes veaux, et un troupeau de 13 têtes.

11 Année Vache originale Deuxième génération Troisième génération Quatrième génération Total À la septième année naît le premier veau du premier veau du premier veau de la vache originale de Naryana: cest le début de la quatrième génération.

12 Année Vache originale Deuxième génération Troisième génération Quatrième génération Total La huitième année, le nombre de têtes du troupeau, qui était passé de 1 à 2 à 3 à 4 à 6 à 9 à 13 à 19, maintenant passe à 28.

13 année Vache originale Deuxième génération Troisième génération Quatrième génération Cinquième génération Sixième génération Septième génération Total

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15 17ème année: 872 vaches

16 Narayana était un mathématicien indien du 14 e siècle. Il posa le problème suivant: Chaque année, une vache met au monde un veau. À partir de la quatrième année, chaque veau donne à son tour et au début de chaque année, naissance à un veau. Quel est le nombre de vaches et de veaux après une durée de 17 ans? Le temps que vous mettrez à résoudre ce problème nous suffira pour vous en donner la démonstration musicale.

17 Année1 Vache initiale 1 Deuxième génération 1 Total2 La première année, nous navons que la première vache avec son premier veau. long-court

18 Année12 Vache initiale 11 Deuxième génération 12 Total23 La deuxième année, nous avons la première vache et deux veaux. long -court -court

19 Année123 Vache initiale 111 Deuxième génération 123 Total234 La troisième année, nous avons la première vache et trois veaux. long -court -court -court

20 Année1234 Vache initiale 1111 Deuxième génération 1234 Troisième génération 0001 Total2346 La quatrième année, le premier veau devient mère, ce qui donne naissance à une troisième génération des vaches de Narayana. long - court - court - court - long - court

21 Année12345 Vache originale Deuxième génération Troisième génération Total La cinquième année, nous avons une mère ainsi que trois veaux de plus.

22 Année Vache originale Deuxième génération Troisième génération Total La sixième année, nous avons 4 mères, 4 jeunes veaux, et un troupeau de 13 têtes.

23 Année Vache originale Deuxième génération Troisième génération Quatrième génération Total À la septième année naît le premier veau du premier veau du premier veau de la vache originale de Naryana: cest le début de la quatrième génération.

24 Année Vache originale Deuxième génération Troisième génération Quatrième génération Total La huitième année, le nombre de têtes du troupeau, qui était passé de 1 à 2 à 3 à 4 à 6 à 9 à 13 à 19, maintenant passe à 28.

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26 Les taureaux dArchimède

27 Archimède Le problème des taureaux dArchimède est une devinette en forme dépigramme qui invite à calculer le nombre de têtes dans le troupeau du Dieu Soleil. Mesure-moi, ami, si tu as la sagesse en partage, avec une application soutenue, le nombre de boeufs dHélios qui jadis paissaient dans les plaines de l'île Thrinacienne, la Sicile, répartis en quatre troupeaux de couleurs variées, l'un d'un blanc de lait, le second d'un noir brillant, le troisième blond, et le quatrième bigarré.

28 Le problème des taureaux dArchimède Dans chaque troupeau, il y avait un nombre considérable de taureaux dans les proportions que voici: imagine, ami, les blancs en nombre égal à la moitié, augmentée du tiers, des taureaux noirs et augmentée de tous les blonds, et le nombre des noirs égal au quart et au cinquième du nombre des bigarrés et au nombre de tous les blonds. Observe, d'autre part, que le nombre des bigarrés restants est égal au sixième, augmenté du septième, du nombre des taureaux blancs et au nombre de tous les blonds.

29 Le troupeau dArchimède Il y a une infinité de solutions Pour la plus petite solution, le nombre total de têtes a chiffres Ce problème a été résolu par un mathématicien américain à la fin du XIX-ème siècle, A. Amthor, qui ajoute: « une sphère du diamètre de la voie lactée, que la lumière prend dix mille ans à traverser, ne contiendrait quune partie infime de ce troupeau, à supposer même que la taille de chaque animal ne dépassât point celle de la plus minuscule bactérie. »

30 Estimation du nombre datomes dans lunivers fini connu Quand jétais petit: atomes (1 suivi de 60 zéros) Un peu plus tard: atomes De nos jours: ?

31 Solution du problème dArchimède A. Amthor "Das Problema bovinum des Archimedes » Zeitschrift fur Math. u. Physik. (Hist.-litt.Abtheilung) Volume XXV (1880), pages H.C. Williams, R.A. German and C.R. Zarnke, Solution of the cattle problem of Archimedes, Math. Comp., 19, (1965).

32 Combien avons-nous dancêtres? Suite: 1, 2, 4, 8, 16 … pour obtenir un terme, on multiplie le précédent par 2 Suite exponentielle

33 Généalogie des abeilles

34 Nombre de femelles au niveau n+1 = population totale au niveau n Nombre de mâles au niveau n+1 = nombre de femelles au niveau n Suite: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … = = = = = = 1

35 Fibonacci (Leonardo di Pisa) Pise 1175, 1250 Liber Abaci , 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… Pour obtenir un terme, on ajoute les deux précédents: 21+34=55

36 année Total Les vaches de Narayana (le retour) Pour obtenir un terme, on ajoute le précédent et lavant-avant-dernier 872=

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38 Modélisation dune population Premier mois Troisième mois Cinquième mois Sixième mois Deuxième mois Quatrième mois Couples adultesCouples jeunes Suite: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

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40 Théorie des populations stables (Alfred Lotka) Si chaque couple engendre un couple les deux premières saisons seulement, alors le nombre de couples qui naît chaque année suit encore la loi de Fibonacci. Bouleau arctique Chaque branche en crée une autre à partir de sa seconde année dexistence dans les pays froids.

41 Dynamique des populations Histoire de R0, de Fibonacci à la grippe H1N1 Nicolas Bacaër Nicolas Bacaër Alfred James Lotka ( ) images.math.cnrs.fr/Dynamique-des-populations.html

42 Suite exponentielle Premier mois Deuxième mois Troisième mois Quatrième mois Nombre de couples: 1, 2, 4, 8, … multiplication par 2

43 Nombre de couples de lapins de Fibonacci au bout de 60 mois: (13 chiffres) larves de coccinelles bactéries économie Croissance exponentielle Nombre de couples de souris au bout de 60 mois: 2 60 = (19 chiffres)

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45 Phyllotaxie Étude de la disposition des feuilles sur une tige et des mécanismes qui la gouvernent Nombre de pétales des fleurs: marguerites, tournesol,… Spirale formée par les épines (aubépines,…) Pommes de pins, ananas, choux Romanesco, cactus Croissance des feuilles de céleri

46 Université de Nice, Laboratoire Environnement Marin Littoral, Equipe d'Accueil "Gestion de la Biodiversité"

47 Phyllotaxie

48 fractals

49 Phyllotaxie Képler (1611) utilise la suite de Fibonacci pour étudier le dodécaèdre et licosaèdre, puis les symétries ternaires et dordre 5 des fleurs Stéphane Douady et Yves Couder Les spirales végétales La Recherche 250 (janvier 1993) vol. 24.

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51 En effeuillant la marguerite Je taime Un peu Beaucoup Passionnément À la folie Pas du tout Suite des restes de la division par 6 de la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5,… Premier multiple de 6 : 144

52 Reste de la division par 6 des nombres de Fibonacci 8 = = = = = = =

53 Le Code da Vinci cinq énigmes à résoudre 1 Il sagit de remettre dans lordre les huit nombres de la suite pour ouvrir le coffre de la banque Vernet. 2 Une anagramme anglaise O DRACONIAN DEVIL, OH LAME SAINT 3 Une anagramme française SA CROIX GRAVE LHEURE Dans le roman écrit par Dan Brown en 2003 interviennent des techniques (faibles) de cryptage.

54 Le Code da Vinci cinq énigmes à résoudre (suite) 4 Un poème (français) anamorphosé: élc al tse essegas ed tom xueiv nu snad eétalcé ellimaf as tinuér iuq sreilpmet sel rap éinéb etêt al eélévér ares suov hsabta ceva 5 Un vieux mot de sagesse Réponse de 5: SOPHIA

55 Le Code da Vinci le numéro de coffre à huit nombres On reconnaît les huit premiers nombres de la suite de Fibonacci. Il sagit de trouver du premier coup le bon ordre dans lequel les utiliser. Lordre naturel fournit la clé Le nombre de possibilités est Les huit nombres du coffre de la banque Vernet sont:

56 Les huit nombres Avec 4 symboles a, b, c, d, on peut faire 4 ·3 ·2 ·1=24 mots, à savoir abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca, cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba, dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba, De même avec 8 symboles on peut faire 8· 7 ·6 ·5 ·4 ·3 ·2 ·1= mots. Ici le symbole 1 intervient 2 fois, cest pourquoi nombre de possibilités est seulement la moitié

57 Le Code da Vinci 2 Une anagramme anglaise DRACONIAN DEVIL, OH LAME SAINT THE MONA LISA LEONARDO DA VINCI 3 Une anagramme française SA CROIX GRAVE LHEURE LA VIERGE AUX ROCHERS

58 Le Code da Vinci (suite) Dans un vieux mot de sagesse est la clé Qui réunit sa famille éclatée La tête bénie par les Templiers Avec Atbash vous sera révélée 4 Un poème (français) anamorphosé: élc al tse essegasedtom xueiv nu snad eétalcé ellimaf as tinuér iuq sreilpmet sel rap éinéb etêt al eélévér ares suov hsabta ceva « utiliser un miroir pour déchiffrer le code »

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60 Un joli rectangle

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62 Ceci est un joli rectangle UNJOLIRECTANGLEUNJOLIRECTANGLE Un carré 1 1x 1+x=1/x

63 Rectangle dOr Côtés: 1 et 1+x Condition: les deux rectangles dont les côtés sont: 1 et 1+x pour le premier, x et 1 pour le second, ont les mêmes proportions: (1+x)/1 et 1/x Équation: 1+x=1/x soit: x 2 + x=1 Solution: 1+x est le nombre dOr 1,618033…

64 Rectangle dor 1 1/ 1/ 2 1/ 3 = 1,618033…

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66 Ammonite

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68 Pentagones et décagones réguliers nbor7.gif =2 cos( /5)

69 Pavages non périodiques de Penrose et quasi-cristaux

70 G/M=

71 Diffraction des quasi-cristaux

72 Géométrie d'un champ de lavande François Rouvière (Nice)http://math.unice.fr/~frou/lavande.html Pavages doublement périodiques (réseaux) - cristallographie

73 Le nombre dor et lesthétique

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75 Marcus Vitruvius Pollis (Vitruve, av. J.C.) Léonard de Vinci (Leonardo da Vinci, )

76 Cartes de crédit 1 1 /1=1/( -1)

77 Musique et suite de Fibonacci Dufay, XV ème siècle Roland de Lassus Debussy, Bartok, Ravel, Webern Stockhausen Xenakis Tom Johnson: Automatic Music for six percussionists

78 La divine proportion: le nombre qui fascine

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80 Un café nommé Fibonacci Le mathématicien est une machine à transformer le café en théorèmes

81 Sébastien Le Prestre, Seigneur de Vauban puis Marquis de Vauban (1633 –1707) Oisivetés ou ramas de plusieurs sujets à ma façon

82 Vauban pour les cochons comme Fibonacci pour les lapins Pierre de la Harpe La cochonnerie, ou calcul estimatif pour connaître jusquoù peut aller la production dune truie pendant dix ans de temps

83 Une seule truie a une descendance telle que, après douze générations, il y a autant de porcs que lEurope peut en nourrir. Chaque portée est constituée de six cochons, trois femelles qui intéressent la suite du calcul et trois mâles dont on ne parlera presque plus. Dans le modèle de Vauban, une truie met bas une première fois dans sa deuxième année, puis deux fois par an quatre ans de suite, avant de devenir stérile dans sa septième année. Les cochons de Vauban

84 T(n)=3T(n 1)+6T(n 2)+6T(n 3)+6T(n 4)+6T(n 5) 1, 3, 15, 69, 321, 1 491, 6 921, , , , … Nombre de truies nées lannée n Après onze ans, laïeule aura donc engendré, en comptant les mâles, plus de 6 millions de cochons.

85 Journal trimestriel consacré à des résultats mathématiques nouveaux liés à la suite de Fibonacci

86 Un exemple de résultat récent Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek (2004): Les seules puissances parfaites dans la suite de Fibonacci sont 1, 8 et 144. Equation: F n =a b Inconnues: n, a et b avec n1, a 1 et b 2.

87 La quête du Graal Pour un mathématicien Un exemple de question non résolue: Y a-t-il une infinité de nombres de Fibonacci qui soient premiers? Problèmes ouverts, conjectures.

88 Quelques applications de la théorie des nombres Cryptographie, sécurité des systèmes informatiques Transmission de données, codes correcteurs derreur Interface avec la physique théorique Musique, gammes Les nombres dans la nature

89 Joseph Fourier Lettre du 2 juillet 1830 adressée par Jacobi à Legendre

90 Legendre et Fourier

91 Lhonneur de lesprit humain Dans une lettre du 2 juillet 1830 adressée à Legendre, Jacobi écrit: « M. Fourier avait lopinion que le but principal des mathématiques était lutilité publique et lexplication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, cest lhonneur de lesprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant quune question du système du monde. »

92 La suite de Fibonacci et le nombre dor Michel Waldschmidt Université P. et M. Curie (Paris VI) Lycée François Couperin Fontainebleau lundi 15 avril 2013


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