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La suite des nombres de Fibonacci est une suite de nombres qui est en fait la somme des deux nombres précédents de la suite: 1 ; 1 ; ; 34; 55; 892; 3;

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2 La suite des nombres de Fibonacci est une suite de nombres qui est en fait la somme des deux nombres précédents de la suite: 1 ; 1 ; ; 34; 55; 892; 3; 5; 8; 13; 21 ; 142; 231

3 Notre sujet était divisé en plusieurs parties : Étudier le reste des nombres de Fibonacci. Nous allons ensuite parler du triangle de Pascal. Nous avons en plus prouvé trois identités en rapport avec la suite. Enfin, en étudiant de près la suite, nous avons découvert une propriété intéressante.

4 Les cas ou le reste de la division euclidienne entre Fn et Fm est zero Si lon divise un nombre de la suite par un autre nombre de la suite, on retrouve dans les restes des divisions euclidiennes la suite de Fibonacci.

5 L E T RIANGLE DE P ASCAL Le triangle de Pascal est un outil mathématique créé de cette manière :

6 Pour retrouver les nombres de la suite de Fibonacci dans le triangle de Pascal, il faut faire la somme des chiffres de la diagonale ascendante du triangle.

7 D ES IDENTITÉS : Nous avons prouvé les identités suivantes :

8 L A RÉCURRENCE La récurrence est une méthode pour montrer que des identités sont vraies pour tous les nombres. Cette méthode se fait en deux parties. - Tout dabord on prouve que lidentité est vraie avec 1 Initialisation - Ensuite on prouve que pour tout nombre lidentité est vraie pour le nombre suivant Hérédité. Par exemple, si cela marche pour un nombre, cela marche pour le prochain. Cest-à-dire que, quand elle marche pour 1, elle marche pour 2 et si elle marche pour 8 elle marche pour 9...

9 U NE IDENTITÉ BASÉE SUR LA SUITE FIBONACCI Pour lidentité suivante on a : Pour n=1 on a : car

10 E XEMPLE POUR BIEN COMPRENDRE Pour n = 5 on a donc :

11 Et × = 1×1 = 1 donc pour n=1 lidentité est vraie. On suppose que lidentité est vraie pour tout n appartenant à N : On suppose que cela marche pour n et on montre que cest vraie pour n+1 ce qui revient à montrer que :

12 O N CALCULE : = = = =

13 Le chercheur, Qimh, nous a dit de nous pencher sur : Fn/Fn-1 Dès lors, nous avons remarqué un rapport qui se rapprochait de plus en plus de 1, Nous lavons alors mis dans le convertisseur de Plouffe, et il nous a donné : Or, cela ne disait rien à de pauvres élèves de seconde tels que nous. Nous avons donc (avec un peu daide, je vous laccorde) décidé de résoudre léquation suivante :

14 Nombre en bois (Cest en fait linverse du nombre dor au signe près) Nombre en bois (Cest en fait linverse du nombre dor au signe près) Nombre dor

15 FIN T ACK SÅ MYCKET !


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