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Notions de base de statistique Notions de base de statistique Présentation par Olivier DHallewin.

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1 Notions de base de statistique Notions de base de statistique Présentation par Olivier DHallewin

2 Comme un petit exemple vaut parfois mieux quun long discours Imaginons un contrôle de connaissances sur 10 points effectué sur une population de 120 étudiants. Ce test a donné pour résultats le tableau ci-dessus. Le tableau ci-dessus est le tableau brut dune distribution statistique. Cependant, sous cette forme, il ne présente que peu dintérêt, donc à partir de ce tableau brut, construisons un tableau recensé.

3 La première colonne reprend dans lordre les modalités x, cest-à-dire les différentes notes de léchelle des notations. La deuxième colonne contient, à chaque ligne, le nombre (x 1 ) délèves ayant obtenu cette note. Ces nombres sont les répétitions et leur somme est leffectif. La troisième colonne contient, quant à elle, le pourcentage f i délèves ayant obtenu la note reprise dans la première colonne. Ces valeurs sont les fréquences des modalités. La quatrième colonne contient, elle, le pourcentage φ i délèves ayant obtenu au plus la note reprise dans la première colonne. Ce sont les fréquences cumulées. Interprétons le tableau brut i = x i pipi fifi φiφi

4 Diagramme des fréquences et des fréquences cumulées On peut représenter les fréquences et les fréquences cumulées à laide de diagrammes. Sur le diagramme de gauche, nous avons représenté la fréquence délèves ayant obtenu chaque note. Sur celui de droite, nous avons représenté la fréquence cumulée délèves ayant obtenu au plus chaque note.

5 /!\ Remarque importante /!\ Considérons une distribution statique Désignons par E lensemble de ses modalités. La somme des fréquences des éléments dune partie P de E est un nombre positif inférieur ou égal à 1. Si S(P) désigne ce nombre, on a : 0 S(P) 1 De plus si A et B sont des parties disjointes de E, S(A U B) = S(A) + S(B). La somme des fréquences de tous les éléments de E est 1 Maintenant que nous avons définis modalités, fréquences, répétitions, effectif, fréquences cumulées, apprenons à exploiter de nouveaux outils de statistique tels que le mode, la médiane, la moyenne, la variance et lécart type. Autant doutils qui permettent de fignoler la compréhension du tableau brut du début de la présentation. On appelle ces outils les paramètres dune distribution. Mais avant daborder cela, familiarisons-nous au signe sommatoire.

6 Le signe sommatoire Il signifie que lon fait la somme de tous les i jusquà ce que i égale n. Ici, pour un n de 10, la solution serait : =55

7 Paramètres (1) : Le mode et la médiane Mode : Dans le tableau recensé à droite, cest la note 6 qui a été le plus souvent obtenue ; nous dirons que 6 est le mode de cette distribution statistique. Médiane : Dans le tableau à droite, leffectif est 120, nous constatons que le 60ème a obtenu la note 5; nous dirons que 5 est la médiane de cette distribution statistique. i = x i pipi fifi φiφi

8 Paramètres (2) La moyenne i = x i pipi fifi φiφi Nous avons aussi la possibilité de calculer la moyenne arithmétique de la distribution des notes du tableau à notre gauche. Pour cela, il suffit de faire le quotient de la somme de ces notes par leffectif. Désignons par m cette moyenne et nous obtenons : La moyenne m dune distribution statistique est donnée par les formules suivantes Lunité de la moyenne est celle du phénomène étudié.

9 Paramètres (3) La variance i = x i pipi fifi φiφi La variance dun phénomène est un paramètre qui nous donne des informations sur la dispersions autour de sa moyenne : plus elle est grande, plus grande est la dispersion. La variance dune distribution statistique est la moyenne des carrés de écarts à la moyenne. Cest donc la moyenne arithmétique des carrés des différences entre la moyenne des éléments du tableau brut et ces éléments. Elle est donnée par les formules suivantes

10 Calcul de la variance

11 Paramètres (4) Lécart-type i = x i pipi fifi φiφi Nous avons vu que la variance dune distribution statique ne sexprime pas dans la même unité que celle du phénomène étudié. Pour éviter ce changement, on calcule lécart-type de la distribution statistique qui nest rien dautre que la racine carrée de sa variance. Lécart-type dune distribution statistique est donné par la formule.

12 Fin


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