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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Algèbre vectorielle Algèbre vectorielle.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Algèbre vectorielle Algèbre vectorielle

2 Introduction Dans la partie algèbre vectorielle, nous avons fait létude des vecteurs et des opérations sur ceux-ci. Cette étude a débuté par les vecteurs géométriques. Nous avons vu quà laide de vecteurs linéairement indépendants, on peut décrire différents lieux géométriques. En effectuant des opérations sur des vecteurs, on constate que, lorsque ceux-ci sont exprimés comme combinaison linéaire dune base, les opérations ne portent que sur les scalaires des combinaisons linéaires. Cette constatation nous amène à introduire la notion de vecteur algébrique qui est un couple (R 2 ) ou un triplet (R 2 ) composé des scalaires exprimant le vecteur dans la base orthonormée usuelle du plan cartésien ou de lespace cartésien. De plus, la définition de vecteur algébrique est généralisable pour obtenir R n.

3 Vecteurs géométriques Dans cette première section, nous reverrons quelques notions sur les vecteurs géométriques.

4 Vecteur géométrique DÉFINITION Vecteur géométrique Il possède les caractéristiques suivantes : une direction, définie par la droite s, qui lui sert de support, ou par toute droite qui lui est parallèle, par exem- ple d ; un sens, indiqué par une pointe de flèche à lextrémité du segment de droite. une longueur, appelée le module du vecteur, et notée AB ; Un vecteur géométrique est un segment de droite orienté, noté, où A est lorigine et B lextrémité du vecteur. AB

5 Addition DÉFINITION Addition de vecteurs géométriques Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider leurs origines. Le vecteur somme est alors donné par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vecteurs en partant de lorigine commune. Méthode du parallélogramme, deux vecteurs géométriques libres. Le vecteur somme ou vecteur résultant, noté Soituetv, peut être obtenu par deux méthodes, que lon appelle méthode du parallélogramme et méthode du trian- gle. u+v Méthode du triangle S Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider lorigine de lun avec lextrémité de lautre. Le vecteur somme a alors la même origine que le premier et même extrémité que le second. De plus, u – v = u + (– v)

6 Multiplication par un scalaire DÉFINITION Multiplication dun vecteur géométrique par un scalaire dont les caractéristiques sont :, un vecteur géométrique non nul et p, un scalaire non nul. La multiplication du vecteur par le scalaire p donne un nouveau vecteur, noté p Soitu u, sa direction est la même que u;u; soit le produit de la valeur absolue de p et du module du vecteur u;u; pson module estpu=u son sens est : – le même que, si p > 0;u – opposé à celui de, si p < 0;u pour tout De plus, p0=0 pour tout p, et 0 u =0 u.u.

7 Combinaison linéaire DÉFINITION Combinaison linéaire de vecteurs On appelle combinaison linéaire des vecteurs toute expression de la forme : Soit v1v1,v2v2,v3v3, …,vnvn, des vecteurs. v1v1,v2v2,v3v3, …,vnvn a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 vnvn + a2+ a2 + a3+ a3 + … + a n On dit également que w est engendré par les vecteurs v1v1,v2v2,v3v3,...vnvn w = a 1 v1v1 v2v2 v3v3 vnvn + a2+ a2 + a3+ a3 + … + a n si et seulement sil existe des scalaires a 1, a 2, a 3, … a n tels que : est une combinaison linéaire des vecteursOn dit quun vecteur w v1v1,v2v2,v3v3, …,vnvn

8 Vecteurs engendrés En considérant un vecteur et un point comme origine, on peut, par combi- naison linéaire, engendrer tous les vecteurs ayant la même droite support. En considérant deux vecteurs non colinéaires (linéairement indépen- dants) ayant une origine commune, on peut, par combinaison linéaire, engendrer tous les vecteurs du plan de ces vecteurs. En considérant trois vecteurs non coplanaires (linéairement indépendants) ayant une origine commune, on peut, par combinaison linéaire, engendrer tous les vecteurs de lespace.

9 S Dépendance et indépendance linéaire DÉFINITION Dépendance linéaire On dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants si et seulement si il existe des scalaires a 1, a 2, a 3, … a n non tous nuls tels que : Soit V = { v1v1,v2v2,v3v3, …,vnvn }, un ensemble de vecteurs. a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 vnvn + a2+ a2 + a3+ a3 + … + a n = 0 DÉFINITION Indépendance linéaire On dit que les vecteurs de V sont linéairement indépendants si et seulement si légalité : Soit V = { v1v1,v2v2,v3v3, …,vnvn }, un ensemble de vecteurs. a1a1 v1v1 v2v2 v3v3 vnvn + a2+ a2 + a3+ a3 + … + a n = 0 est vérifiée uniquement lorsque : a 1 = a 2 = a 3 = … = a n = 0.

10 Base de lespace DÉFINITION Base de lespace } est une base de lespace si et seulement si les vecteurs Un ensemble B = { e1e1 sont linéairement indépendants. e2e2, e1e1 e2e2,e3e3 et e3e3, Tous les vecteurs de lespace peuvent sexprimer comme combinaison linéaire des vecteurs dune base. On est donc en mesure deffectuer les opérations sur les vecteurs en les exprimant dans la base. Considérons les vecteursuetv. e1e1 e2e2 e3e3 +– 2 u=e1e1 e3e3 +etv= u + v= (e1e1 +e3e3 ) + (e1e1 e2e2 e3e3 +– 2 ) = (e1e1 +e1e1 ) +e2e2 e3e3 e3e3 + (– 2 ) = (1 + 1) e1e1 + e2e2 + (1 – 2) e3e3 = 2e1e1 +e2e2 – e3e3 On constate que lon peut effectuer les opérations en ne considérant que les scalaires. On note alors : u = (1; 0; 1) et v = (1; 1; –2), doù : u + v = (1; 0; 1) + (1; 1; –2) = (2; 1; –1) Cest cette constatation qui nous amè- nera à introduire la notion de vecteur algébrique qui dans R 3 est le triplet exprimant le vecteur dans la base naturelle. Cette notion de vecteur algébrique peut alors être généralisée. –

11 Base et repère dune droite DÉFINITION Base dune droite Un ensemble B = {} est une base de la droite si et seulement si : e1e1 le vecteur tout vecteur de est une combinaison linéaire de est non nul; e e1.e1. Repère dune droite Un ensemble {P,} est un repère de la droite si et seulement si : e B = { On dit que {P, } est une base de. e e} est un repère dorigine P et de base P est un point de la droite ; e. Un vecteur non nul forme une base de plusieurs droites. Pour décrire une droite particulière, il faut, en plus de la base, en donner un point. On peut alors décrire tout point Q de cette droite dans son repère. Dans cet exemple, on a : OQ = OPPQ + = OP + a e1e1, où a est un scalaire. = ( ) + a e1e1 e1e1 + 2 e3e3 La base de la droite nest pas nécessai- rement un sous-ensemble de la base de lespace. Il faut avoir un vecteur non nul définissant la direction de cette droite. On peut encore décrire tout point de la droite dans le repère de celle-ci et dans la base de lespace. OQ = OPPQ + = OP + a u = ( e1e1 + e2e2 ) + a(a( e1e1 – e2e2 )+ e3e3 où a est un scalaire.

12 Base et repère dun plan } est une base dun plan si et seulement si les vecteurs Base dun plan Un ensemble B = { e1e1 sont linéairement indépendants. e2e2, e1e1 e2e2 et Deux vecteurs linéairement indépen- dants forment une base de plusieurs plans. Pour décrire un plan parti- culier, il faut, en plus de la base, en donner un point. On peut alors décrire tout point Q de ce plan dans son repère. Dans cet exemple, on a : OQ = OPPQ + = OP + a+ b e1e1 e2e2 où a et b sont des scalaires (nombres réels). Repère dun plan Un ensemble {P,} est un repère dun plan si et seulement si : B = { } est une base ordonnée du plan. P est un point de lespace; e1e1 e2e2, e1e1 e2e2, La base dun plan nest pas nécessai- rement un sous-ensemble de la base de lespace. Il faut avoir deux vecteurs linéairement indépendants parallèles à ce plan. où a et b sont des scalaires. On peut encore décrire tout vecteur du plan dans le repère de celui-ci ou dans la base de lespace. OQ = OPPQ + = OP + a+ b uv = ( e1e1 + e2e2 ) + a(a( e1e1 + e3e3 ) + b(–) e1e1 + e3e3 DÉFINITION

13 Vecteurs algébriques Notre étude des vecteurs géométriques nous a permis de constater que les opérations sur ceux-ci ne portent que sur les scalaires exprimant ces vecteurs comme combinaisons linéaires de la base considérée. Cela permet de redéfinir les opérations en ne considérant que les scalaires exprimant les vecteurs dans cette base. Parmi toutes les bases possibles, il est avantageux de considérer une base constituée de vecteurs unitaires, perpendiculaires deux à deux. On peut alors représenter un vecteur de R 2 en donnant le couple des scalaires exprimant le vecteur comme combinaison linéaire de cette base. De la même façon, on caractérise un vecteur de R 3 par un triplet et, on peut alors généraliser et définir des vecteurs dans R n.

14 Plan cartésien DÉFINITION Plan cartésien Le plan cartésien (ou plan réel) est un plan de repère orthonormé {O, i j, }, où est vertical et orienté vers le haut. i horizontal et orienté vers la droite et est j Tout vecteur du plan peut alors sécrire sous la forme : vi = v 1 j + v 2 ou sous la forme : v= (v 1 ; v 2 ). En particulier : ii= 1j+ 0 = (1; 0) et ji= 0j+ 1 = (0; 1) Dans un repère, on peut exprimer tout vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Les opérations peuvent alors être définies sur les scalaires de ces combinaisons linéaires. Dans le plan, on utilise le repère orthonormé suivant.

15 DÉFINITION Espace cartésien Lespace cartésien est un espace de repère orthonormé {O, Espace cartésien ij, }. Les vecteurs du repère sont orientés comme dans lillustration ci-contre. Tout vecteur de lespace peut alors sécrire sous lune des formes suivantes : ouu= (u 1 ; u 2 ; u 3 ). En particulier :, k kui= u 1 j+ u 2 + u 3 et ii= 1j+ 0= (1; 0; 0)k+ 0 ji= 0j+ 1= (0; 1; 0)k+ 0 ki= 0j+ 0= (0; 0; 1)k+ 1 Dans lespace, on utilise le repère orthonormé suivant.

16 Espace R 3 On désigne par R 3 lespace tridi- mensionnel dans lequel chaque point est caractérisé par trois coordonnées qui forment un triplet. Les axes sont désignés par x, y et z et représentés comme dans lillustration ci-contre. Pour représenter un triplet dans cet espace, on procède comme dans R 2, en reportant perpendiculairement les coordonnées sur les axes. Représentons les triplets (3; –4; 4) et (–4; 3; 4). On peut, par la relation de Chasles, considérer un vecteur dont lorigine est un point A et lextrémité un point B, et déterminer un vecteur algébrique égal dont lorigine est au point (0; 0; 0). Dans R 3, un vecteur algébrique est un triplet de la forme : u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) Il est caractérisé par les coordonnées du point à son extrémité.

17 Vecteur algébrique dans R n DÉFINITION Vecteur algébrique dans R n Un vecteur algébrique de R n est une suite (u 1 ; u 2 ; …; u n ), où les composantes sont toutes des nombres réels, ce que lon note u i R pour tout i. u Le module ( ou la norme) du vecteur algébrique de R n est : = u u … + u n 2 La notion de vecteur algébrique est généralisable à des suites de n composantes. Nous ne rappelons ici que les définitions des opérations sur de telles suites. Pour les opérations dans R 2 ou R 3, il suffit de considérer n = 2 ou n = 3. On ne peut donner de repré- sentation géométrique dun vecteur algébrique de R n. Cependant, tout phénomène comportant n variables se traite avec des vecteurs de R n.

18 Égalité de vecteurs algébriques de R n DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans R n sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : Deux vecteurs de R n, u= (u 1 ; u 2 ; ….; u n ) et v= (v 1 ; v 2 ; …; v n ) u = v u 1 = v 1, u 2 = v 2, … et u n = v n Pour définir des opérations sur les objets dun ensemble, il faut préalablement donner un sens à légalité entre deux éléments de cet ensemble.

19 Opérations dans R n Addition de vecteurs algébriques dans R n Le vecteur somme est défini par légalité suivante : deux vecteurs algé- briques dans R n. Soit u = (u 1 ; u 2 ; …; u n ) et v = (v 1 ; v 2 ; …; v n ), = (u 1 ; u 2 ; …; u n ) + (v 1 ; v 2 ; …; v n ) uv+ = (u 1 ; u 2 ;…; u n ) un vecteur algébrique dans R n et k un scalaire. Soitu Multiplication dun vecteur algébrique par un scalaire dans R n La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par légalité suivante : u= k(u 1 ; u 2 ; …; u n ) = (ku 1 ; ku 2 ; …; ku n ) k DÉFINITION = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ; …; u n + v n )

20 Vecteurs algébriques et systèmes déquations Dans R n, comme dans R 2 et R 3, cest à laide dun système déquations linéaires non homogène que lon exprime un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs dune base. En effet, il faut alors déterminer la valeur des scalaires de cette combinaison linéaire. Il faut chaque fois, après avoir échelonné la matrice, interpréter le résultat : aucune solution, infinité de solutions, solution unique. Pour déterminer si des vecteurs sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants, il faut résoudre un système déquations homogène. Il faut chaque fois, après avoir échelonné la matrice, interpréter le résultat : infinité de solutions, solution unique.

21 Espace vectoriel et sous-espace vectoriel Lorsquun ensemble est muni dopérations et que celles-ci satisfont à certaines propriétés, on dit que lensemble est doté dune structure. La structure que lon étudie en algèbre linéaire est celle despace vectoriel. Nous avons déjà rencontré plusieurs ensembles qui possèdent une structure despace vectoriel. Cest le cas de lensemble des matrices de même dimension, des vecteurs géométriques et de vecteurs algébriques.

22 Structure despace vectoriel Un ensemble V Addition, Fermée sur V, K, un corps de scalaires Addition, Fermée sur K, Multiplication, Fermée sur K, Multiplication par un scalaire, V a une structure de groupe abélien. Fermée sur V, associative, possède un neutre, chaque élément a un opposé, commutative. associative, possède un neutre, chaque élément a un opposé, commutative. distributive sur +, associative, possède un neutre, chaque élément, sauf 0, a un inverse. distributive sur +, distributive sur, associative avec Le neutre de est neutre pour. Les éléments de V sont appelés vecteurs. Les éléments de K sont appelés scalaires.

23 Sous-espace vectoriel THÉORÈME Sous-espace vectoriel Soit U, un sous-ensemble dun espace vectoriel V. Le sous-ensemble U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites : 1.U est non vide. 2.Lopération daddition de vecteurs est fermée sur U : 3.Lopération de multiplication dun vecteur par un scalaire est fermée sur U : uv Pour tout U, et u v U U u Pour tout et pour tout k K, (k u)u) U Pour déterminer si un sous-ensemble dun espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel (si le sous-ensemble a la même structure), on applique le théorème suivant. Il est important de relire les exemples de louvrage illustrant cette procédure.

24 Base et dimension dun espace vectoriel Définition Base dun espace vectoriel Soit V, un espace vectoriel sur K, et B, un ensemble de n vecteurs de V. Lensemble B forme une base de V si : 1.les vecteurs de B sont linéairement indépendants; 2.tout vecteur de V peut sécrire comme combinaison linéaire des vecteurs de B (tous les vecteurs de V sont engendrés par les vecteurs de B). Définition Dimension dun espace vectoriel Soit V, un espace vectoriel sur K. La dimension de V, notée dim V, est définie comme suit : dim V = n si une base de V contient n vecteurs. 0 si le seul élément de V est le vecteur nul.

25 Sous-espace engendré THÉORÈME Sous-espace engendré }, un ensemble non vide de vecteurs dun espace vectoriel V sur un corps K. Soit U = {v1v1 v2v2 v3v3 vnvn,,, …, Pour décrire le sous-espace engendré par un ensemble de vecteurs de R 3, il faut déterminer à quelles conditions un vecteur (a; b; c) est engendré par combinaison linéaire des vecteurs donnés. On doit alors appliquer la méthode de Gauss. La ou les conditions sont alors des équations à partir desquelles on peut déterminer la forme générale des vecteurs engendrés et en déterminer une base plus simple à visualiser, puisque les vecteurs sont alors dans les plans du système daxes. La dimension du sous-espace est alors donnée par le nombre de vecteurs dans cette base. Alors, lensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous-espace vectoriel de V.

26 Lieux géométriques On peut décrire des sous-ensembles dun espace vectoriel comme combinaison linéaire de vecteurs en imposant des contraintes au domaine de variation des scalaires. Les points du parallélépipède construit sur ces vecteurs sont décrits par : 0 r 1, 0 s 1 et 0 t 1 (x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2), v1v1 v2v2 = (2; 0; 4), = (1; 4; 0) et v3v3 = (–2; 1; 2) La description paramétrique des points du parallélépipède est : où 0 r 1, 0 s 1 et 0 t 1. x = 2r + s – 2t y = 4s + t z = 4r + 2s, où 0 r 1, 0 s 1 et 0 t 1. Considérons les vecteurs :

27 Conclusion Cette présentation avait pour but de rappeler certains éléments importants de la partie sur lalgèbre vectorielle et les applications qui ont été faites de ces notions dans lensemble du cours. Vous devriez normalement avoir identifié, grâce à cette présentation, les notions et applications que vous ne maîtrisez pas. Il est important pour votre préparation à lexamen synthèse que vous preniez le temps de relire les exemples et refaire des exercices sur les notions et applications que vous ne maîtrisez pas.

28 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Chapitres 5 à 7 et 13.


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