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Les fractales dans la nature Quand on observe la nature, on rencontre de très nombreux objets fractals Des fractales ? Où çà?

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Présentation au sujet: "Les fractales dans la nature Quand on observe la nature, on rencontre de très nombreux objets fractals Des fractales ? Où çà?"— Transcription de la présentation:

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3 Les fractales dans la nature Quand on observe la nature, on rencontre de très nombreux objets fractals Des fractales ? Où çà?

4 Le chou-fleur La surface du chou-fleur est constituée de cônes qui se juxtaposent de manière enroulée en spirales, formant ainsi des volutes qui constituent elles-mêmes des cônes similaires aux premiers, mais déchelle plus grande.

5 Si on coupe le chou de bas en haut, on note une organisation en branches et sous-branches qui, agrandies plusieurs fois peuvent se confondre avec le chou lui-même ou la branche principale dorigine.

6 Les fougères Les feuilles présentent une structure telle quune partie de la feuille semble être une réplique du tout

7 Une côte Lorsquon prend une carte côtière, quelle que soit léchelle, elle représente une distribution semblable de caps et de baies.

8 On ne sait pas mesurer la côte de Bretagne!! Quelle est la longueur de la côte bretonne? Selon latlas que nous regarderons, nous trouverons différentes mesures. Cela ne veut pas dire que toutes ces mesures soient fausses. Selon B. Mandelbrot, cette longueur est infinie!

9 Les éclairs Ce sont des décharges électriques sous forme détincelle qui éclatent entre deux nuages ou entre un nuage et la terre. On voit clairement que la ligne principale se subdivise en lignes secondaires qui elles-mêmes se subdivisent à leur tour.

10 Les fractales dans le corps humain l Ce chou est fractal! Certains éléments du corps humain le sont aussi! Montrons le

11 Les poumons Les bronches et bronchioles forment une structure arborescente dont chaque élément plus petit est identique aux arborescences de plus grande taille.

12 La nature a ainsi résolu le problème de créer une surface la plus grande possible (afin de permettre loxygénation du sang)dans un volume fini (notre cage thoracique) Si les poumons navaient pas cette structure, ils occuperaient une sphère peu viable de 2.8m 3

13 Lauto-similarité Tous les objets qui précèdent ont la particularité quun morceau ressemble au tout! Cest la propriété dauto-similarité.

14 Construction de figures ayant cette propriété dauto-similarité

15 Le flocon de Von Koch (1904)

16 Principe de la construction Sur chaque segment, on remplace le second tiers par les côtés dun triangle équilatéral

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18 Le tapis de Sierpinsky Cest une surface dont on enlève un carré central …. indéfiniment

19 Léponge de Menger On enlève le cube central, ….indéfiniment

20 Le triangle de Sierpinsky On divise le triangle équilatéral de départ en 4 triangles semblables et on enlève le triangle central (celui qui est dans le sens contraire du triangle initial) On recommence indéfiniment

21 Comment appeler ces figures ayant la propriété dauto- similarité?

22 En 1975, Benoit Mandelbrot crée expressément le mot « fractal » Selon lui, on ne peut donner une définition empirique de ce terme mais on peut citer certaines caractéristiques de ces objets:

23 un objet fractal est un objet mathématique dont lessence même est dapparaître indéfiniment « brisé » Un objet fractal continue à présenter une structure détaillée à toute échelle Un objet fractal à homothétie interne possède la propriété dauto-similarité Un objet fractal peut avoir une dimension non entière (nous y reviendrons)

24 La dimension des fractales Et oui, certains objets sont de dimension non entière

25 d, la dimension fractale dun objet est donnée par: Log n/log s Où n est le nombre de figures identiques nécessaires pour obtenir une figure s fois plus grande. Ils sont fous ces matheux!

26 Dimension fractale du triangle de Sierpinsky Soit 1 le côté du triangle initial Alors dans la seconde étape, le côté des 3 triangles est ½. Lorsquon passe dun des petits triangles de la seconde étape au triangle initial, la figure est deux fois plus grande (s=2) et on a besoin de trois petits triangles (n=3) d= log 3/ log 2 = 1.58 (nombre non entier!!)

27 A propos des belles images fractales générées par des transformations. Cest beau les maths!!

28 Lensemble de Mandelbrot (1981)

29 Soit la suite z n+1 = z n 2 + c avec z 0 =0 et c, un complexe. Pour chaque pixel de lécran, on associe une valeur de c. Si z i a un module supérieur à 2, la suite diverge et le pixel est dessiné en couleur i. Quand la suite ne diverge pas, on colorie le pixel en noir. Procédé

30 Particularités de cet ensemble. Quelle que soit la zone que lon agrandit, on retrouve toujours à un moment donné la forme de départ!!!

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36 Que peut-on faire avec des fractales? ????

37 Les images virtuelles Sur lordinateur, on peut faire apparaître des images virtuelles dobjets naturels dune grande complexité et dune extraordinaire ressemblance. Voici quelques exemples

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48 Dans lindustrie Elles sont à lorigine des nouveaux matériaux disolation comme les polymères. De procédés de récupération du pétrole par injection de fluides sous pression dans les roches poreuses Etc.

49 Dans lart

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140 Remerciements à Nadine Flamant Michel Ballieu Jean Jacqueson Christine Carton Mai2003


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