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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Vecteurs.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Vecteurs géométriques

2 Nous présentons ici la notion de vecteur géométrique ainsi que laddition de tels vecteurs et la multiplication dun vecteur géométrique par un scalaire. Introduction Nous utiliserons les opérations et leurs propriétés pour décrire des lieux géométriques.

3 une longueur, appelée le module du vecteur, et notée Vecteur géométrique DÉFINITION Vecteur géométrique Un vecteur géométrique est un segment de droite orienté, noté, où A est lorigine et B lextrémité du vecteur. Il possède les caractéristiques suivantes : une direction, définie par la droite s, qui lui sert de support, ou par toute droite qui lui est parallèle, par exem- ple d ; un sens, indiqué par une pointe de flèche à lextrémité du segment de droite. AB ;

4 Équipollence et parallélisme DÉFINITIONS Vecteurs équipollents (égaux) On appelle vecteurs égaux (ou équipollents) des vecteurs ayant même direction, même sens et même module. On utilise le signe dégalité usuel : w On appelle vecteurs parallèles des vecteurs ayant même direction. On utilise le symbole // : u = vu // Vecteurs parallèles

5 Vecteur nul et vecteur opposé DÉFINITIONS Vecteur nul On appelle vecteur nul tout objet de la forme : AA On appelle vecteur opposé à u Vecteur opposé. On le note 0. Ce vecteur na ni direction, ni sens. Son module est 0 et, par convention, il est parallèle à tout vecteur : 0 // u pour tout AB tout vecteur de même longueur et de même direction que AB, mais de sens opposé. On le note : – AB. En particulier, – AB = BA.

6 Addition DÉFINITION Addition de vecteurs géométriques Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider leurs origines. Le vecteur somme est alors donné par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vecteurs en partant de lorigine commune. Méthode du parallélogramme, deux vecteurs géométriques libres. Le vecteur somme ou vecteur résultant, noté Soituetv, peut être obtenu par deux méthodes, que lon appelle méthode du parallélogramme et méthode du trian- gle. u+v Méthode du triangle S Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider lorigine de lun avec lextrémité de lautre. Le vecteur somme a alors la même origine que le premier et même extrémité que le second. De plus, u – v = u + (– v)

7 Pour tout point A, B et X du plan ou de lespace, légalité : Relation de Chasles THÉORÈME Relation de Chasles est vérifiée. AXXBAB + =

8 En considérant les sommets de la figure ci-contre, trouver des vecteurs égaux à : Exercice CAABCB + = a)a) On peut déterminer les vecteurs égaux dans cette figure : CB = DA = EF = HG DABA – b)b) FEAB ++c)c) GB Puisque – BA = AB, on a : DABA – DAABDB +== EG = S FEAB ++ GB = Par légalité des vecteurs, on a : FEEH ++ HC = FC Dans cette figure, il ny a pas dautre vecteur égal à FC. SSS

9 Angle entre deux vecteurs DÉFINITION Angle entre deux vecteurs, deux vecteurs géométriques libres. On appelle angle entre ces vecteurs le plus petit angle formé par les vecteurs ramenés à une origine commune. Soituetv sera noté Langle entre les vecteurs uetv et, sil ny a pas de confusion possible, nous le symboliserons par la lettre grecque (thêta). ( ) vu,

10 Soit ABC, un triangle quelconque de côtés a, b et c. Alors : Angles et triangles (rappel de trigonométrie) LOIS Loi des sinus Loi des cosinus Soit ABC, un triangle quelconque de côtés a, b et c. Alors : a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C a sin A b B c C ==

11 Module du vecteur somme THÉORÈME Module du vecteur somme, deux vecteurs géométriques libres tels que :Soituetv uv ( ) vu, =, = a et= b alorsu+v 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos (180° – )

12 Exercice, les deux vecteurs géométriques de lillustration ci-contre qui font entre eux un angle de 37°. Soituetv Par la loi des cosinus, on a : u+v 2 = – cos 143° 129,90. Trouver le module du vecteur somme et langle quil fait avec le vecteur u. SS Le module du vecteur somme est : u+v = Par la loi des sinus, on a : sin 5 = sin 143° 11,40 et : = arcsin 5 sin 143° 11,40 15,12°., doù sin = 5 sin 143° 11,40 Le module est denviron 11,40 unités et langle entre les vecteurs est denviron 15,12°. 129,90 11,40.

13 p Multiplication par un scalaire DÉFINITION Multiplication dun vecteur géométrique par un scalaire dont les caractéristiques sont :, un vecteur géométrique non nul et p, un scalaire non nul. La multiplication du vecteur par le scalaire p donne un nouveau vecteur, noté p Soitu u, sa direction est la même que u;u; son module est soit le produit de la valeur absolue de p et du module du vecteur u;u; p u = u son sens est : – le même que, si p > 0; u – opposé à celui de, si p < 0; u De plus, p 0 = 0 pour tout p, et 0 u = 0 pour tout u.u.

14 Exemple 7.1.4, les deux vecteurs géométriques de lillustration ci-contre. Soituetv Représenter graphiquement des vecteurs équipollents à 3 u–v. 2u+v et, on fait dabord coïncider les origines des deux vecteurs, puis on prolonge le vecteur Pour construire un vecteur équipollent à 2u+v pour doubler sa lon- gueur. u SS On forme alors le parallélogramme dont la diagonale donne la longueur, la direction et le sens de 2u+v. On procède de façon analogue pour construire un vecteur équipollent à 3u–v.

15 Exercice Représenter graphiquement des vecteurs équipollents à 2 v+ 2w. 2u+ 3w et SS Les arêtes du parallélépipède ci-contre sont sur les droites supports des vecteurs, vetw.u Pour construire un vecteur équipollent à 2u + 3w, on prolonge le vecteur u pour doubler sa longueur et on prolonge le vecteur w pour tripler sa longueur. On forme alors le parallélogramme dont la diagonale donne la longueur, la direction et le sens de 2u+ 3w. On procède de façon analogue pour construire 2 v+ 2w.

16 Multiplication par un scalaire THÉORÈME Intégrité de la multiplication par un scalaire, et pour tout scalaire p,Pour tout vecteur u Démonstration On a : pu=si et seulement si p = 0 ouu0=0 S pu = 0 pu= 0 pu, par la définition de multiplication par un scalaire;, par lintégrité des nombres réels; p = 0 ou u = 0, par la définition du vecteur nul. p = 0 ou u = 0

17 1.Fermeture de laddition sur lensemble des vecteurs 2. Commutativité de laddition des vecteurs 3. Associativité de laddition des vecteurs 4.Existence dun élément neutre pour laddition des vecteurs 5.Existence dun élément opposé ( symétrique) pour laddition des vecteurs G, lensemble des vecteurs géométriques, et pour tout scalaire p et q R, les propriétés suivantes sappliquent : Pour tout vecteur u,u,vetw G u+v = u+v v+u = u( + ) +vu+ ( + )vww Il existe, dans G, un vecteur nul, noté 0, tel que : Pour tout vecteur G, il existe, dans G, un vecteur opposé, noté – u u tel que : u+ (– ) = (– ) + =0uuu = u+u+00 = u Propriétés des opérations

18 6.Fermeture de la multiplication par un scalaire sur lensemble des vecteurs 7.Distributivité de la multiplication dun vecteur sur une somme de scalaires 8.Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de vecteurs 9.Associativité de la multiplication dun vecteur avec le produit de scalaires 10.Élément neutre pour la multiplication dun vecteur par un scalaire p G u G, lensemble des vecteurs géométriques, et pour tout scalaire p et q R, les propriétés suivantes sappliquent : Pour tout vecteur u,u,vetw (p + q) = p + quuu (pq) = p (q ) u u 1 =uu p( + ) = p + p uuvv Propriétés des opérations

19 Parallélisme DÉFINITION Vecteur unitaire, un vecteur non nul. Alors,Soit u Nous verrons maintenant quelques théorèmes relatifs au paral- lélisme des vecteurs. Dans la démonstration de lun de ces théorèmes, nous aurons besoin de la notion de vecteur unitaire dont voici la définition. est un vecteur unitaire (son module est 1) ayant même direction et même sens que u. u u 1

20 Vecteurs parallèles THÉORÈME Vecteurs parallèles, sont parallèles si et seulement sil existe un scalaire k non nul tel que : Deux vecteurs non nuls u et v u= kv, deux vecteurs parallèles non nuls. Les vecteurs :Soituetv ont alors même direction et même longueur, car ce sont des vecteurs unitaires parallèles. u u v v et Sils sont de même sens, u u v v =, doù u u v v = u v et k = Sils sont de sens contraire, u u v v = –, doù u u v v = – u v et k = – Démonstration SS, deux vecteurs tels quil existe un scalaire non nul k pour lequel : Soituetv Cela complète la preuve. u= kv Alors, par la définition de la multiplication par un scalaire, les vecteurs ont la même direction. Ils sont donc parallèles. u et v

21 Vecteurs parallèles THÉORÈME Parallélisme et unicité du scalaire Supposons quil existe deux scalaires k 1 et k 2 tels que : Démonstration S, deux vecteurs parallèles non nuls. Alors, le scalaire k pour lequel : Soituetv u= kv est unique. Montrons que ces scalaires sont nécessairement égaux. etu= k 1 vu = k 2 v k1k1 v=k2k2 v Puisque etu= k 1 vu = k 2 v, on a :, par la définition des opérations;, par la distributivité sur laddition des scalaires; k 1 – k 2 = 0, puisque v est non nul. Doù k 1 = k 2 et le scalaire est unique. k1k1 v–k2k2 v= 0 (k 1 – k 2 ) v = 0

22 Conclusion Nous avons défini de nouveaux objets détude, les vecteurs géométriques. Notre premier souci a été de déterminer à quelles conditions deux vecteurs géométriques sont égaux, puis, nous avons défini deux opérations sur ces vecteurs : laddition et la multiplication par un scalaire. Nous avons également présenté les propriétés des opérations dont nous nous sommes servies pour manipuler des expressions algébriques comportant des vecteurs. On remarque que les propriétés de ces deux opérations sont les mêmes que celles des opérations daddition et de multiplication par un scalaire dans lensemble des matrices.

23 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 7.2, p. 206 et 207. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 7.1, p.199 à 205.


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