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Cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée Francis Ziegeltrum 16 octobre 2010 Réunion CCS.

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1 Cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée Francis Ziegeltrum 16 octobre 2010 Réunion CCS

2 XhXh YhYh ZhZh Gnomon S Coordonnées horizontales Il y a un an je vous avais présenté ma méthode de calcul des coordonnées du Soleil dans le repère horizontal utilisant les matrices de rotation. Cest une méthode qui fait abstraction de la trigonométrie et utilise un outil de lalgèbre. Je vous rappelle en quelques mots la méthode: partant de la longitude moyenne du Soleil, on effectue 3 changements de repère pour arriver au repère local que lon nomme le repère horizontal. A chaque changement de repère correspond une matrice de rotation.

3 XhXh YhYh ZhZh Gnomon S P M La projection du point P sur la surface plane revient à déterminer le point dintersection de la droite passant par S et P avec la surface Projection sur une surface plane Connaissant les coordonnées cartésiennes du Soleil à tout instant, on peut facilement à calculer la projection dun point sur une surface plane. On peut ainsi calculer les courbes en huit qui caractérisent les cadrans solaires de temps moyen.

4 XhXh YhYh ZhZh Gnomon S P M Existe-t-il des familles de surfaces permettant de trouver facilement le point dintersection avec une droite? Généralisation

5 …( Rappel de géométrie analytique

6 Espace euclidien Lespace euclidien est un espace imaginaire dans lequel peuvent seffectuer les calculs de la géométrie analytique. Pour cela il faut un repère pour les coordonnées cartésiennes et un espace vectoriel pour décomposer les vecteurs. Le plus petit élément de lespace est le point. Celui-ci est localisé dans lespace à laide de ces coordonnées. Lélément suivant est le vecteur représenté par une flèche. Tout vecteur de lespace se décompose en somme des vecteurs i,j et k. u1, u2 et u3 sont appelés coordonnées du vecteur u. Par un point passe un infinité de droite ayant chacune son vecteur directeur. Tout point de la droite sécrit en utilisant les coordonnées de A et de u. a est le paramètre.

7 Géométrie analytique Opération sur les vecteurs Produit scalaire Produit vectoriel Norme dun vecteur Produit mixte

8 Géométrie analytique Fonctions visual basic Function produit_scalaire(u1, u2, u3, v1, v2, v3) produit_scalaire = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3 End Function Function produit_vectoriel(u1, u2, u3, v1, v2, v3) Dim pproduit_vectoriel(3) As Double pproduit_vectoriel(1) = u2 * v3 - u3 * v2 pproduit_vectoriel(2) = u3 * v1 - u1 * v3 pproduit_vectoriel(3) = u1 * v2 - u2 * v1produit_vectoriel = Array(pproduit_vectoriel(1), pproduit_vectoriel(2), pproduit_vectoriel(3)) End Function Function produit_mixte(u1, u2, u3, v1, v2, v3, w1, w2, w3) produit_mixte = produit_scalaire(u1, u2, u3, produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(0), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(1), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(2)) End Function Comme toujours je me sers dun tableur et surtout de la programmation visual basic qui permet de créer des fonctions qui sont de véritable super opérateurs de calcul.

9 Géométrie analytique Droites coplanaires Positionnement dune droite dans lespace A DaDa B DbDb Deux droites sont coplanaires si et seulement si les vecteurs sont coplanaires, Cest-à-dire si le produit mixte

10 Géométrie analytique Positionnement dune droite dans lespace Droites sécantes A I DaDa B DbDb Deux droites sont sécantes si et seulement si elles sont coplanaires et non parallèles

11 Géométrie analytique Calcul de point dintersection de deux droites sécantes A I DaDa B DbDb Le point dintersection I appartient aux deux droites donc: En éliminant on trouve lexpression de :

12 Géométrie analytique Calcul de point dintersection de deux droites sécantes A I DaDa B DbDb Les coordonnées de I sont: Avec:

13 ) Rappel de géométrie analytique

14 Une surface est dite réglée si elle est engendrée par des droites où est une courbe paramétrée et est un vecteur également paramétré. Définition Courbe paramétrée Génératrice Surface réglée

15 X Y Z Génératrices Surface réglée de révolution Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux surfaces réglées de révolution. Soit un cercle qui représente la courbe paramétrée A et une droite appelée génératrice ayant comme vecteur directeur le vecteur u parallèle à laxe z. Par chaque point du cercle passe une droite dirigée par u. Lensemble de ces droites forment la surface dun cylindre.

16 X Y Z Génératrices X Y Z Première surface: Un cylindre Surface réglée de révolution Jai donc généré une surface réglée à partir dune droite parallèle à laxe z et sappuyant sur un cercle. Je peux placer un autre cercle à une certaine distance du premier. Toutes les génératrices coupent ce cercle.

17 Génératrices X Y Z Rotation du cercle supérieur dun angle Deuxième surface: un hyperboloïde à une nappe Si je suppose que les génératrices sont accrochées à ces 2 cercles et que je tourne celui du haut dun angle phi, les génératrices ne sont plus parallèles à laxe z mais sinclinent. La surface engendrée par les droites nest plus un cylindre. La surface est un hyperboloïdes à une nappe. Si lon continu de tourner le cercle supérieur on finit par obtenir un cône. Surface réglée de révolution

18 0 : Cylindre 0 : Hyperboloïde 0 : Cône Surface réglée de révolution

19 Un point I projection de P appartient à la surface réglée si et seulement si il appartient à une des droites génératrices. S Gnomon P A B ZhZh XhXh YhYh I Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

20 S Gnomon P A B ZhZh XhXh YhYh I Un point I projection de P appartient à la surface réglée si et seulement si les vecteurs sont coplanaires Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

21 S P A B ZhZh XhXh YhYh I Un point I projection de P appartient à la surface réglée si et seulement si le produit mixte Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

22 La résolution de permet de déterminer la valeur max min Variation de pour La fonction a une forme sinusoïdale et passe donc par une valeur mini et une valeur maxi. Entre ces deux extrema, la fonction sannule. Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

23 max min On détermine la valeur pour laquelle le produit mixte sannule en utilisant la méthode numérique de résolution dite de dichotomie sur lintervalle [ min max. Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

24 Résumé de la méthode 1.Calculer les coordonnées du Soleil dans le repère horizontal à laide de la méthode décrite dans le Traité abrégé de gnomonique. 2.Calculer les coordonnées des vecteurs 3.Déterminer en résolvant par la méthode de dichotomie 4.Calculer les coordonnées de I point dintersection de la droite passant par S et P avec la génératrice de la surface. 5.Calculer la norme du vecteur Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

25 S Gnomon P A B ZhZh XhXh YhYh I Tracé sur la surface Pour chaque point I on connait langle positionnant le point A sur le cercle de base, sur le segment AB on marque la distance Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

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27 Cadran solaire sur un hyperboloïde Centrale nucléaire de Civaux-Simulation


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