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Angle inscrit – Angle au centre – Angle tangentiel.

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1 Angle inscrit – Angle au centre – Angle tangentiel

2 DEFINITIONS

3 Angle inscrit : définition Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle. Ici, langle inscrit est langle bleu.

4 Angle au centre : définition Angle au centre : définition Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre de ce cercle. Ici, langle au centre est langle mauve.

5 Angle tangentiel: définition Angle tangentiel: définition Un angle tangentiel à un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont un côté est tangent au cercle, tandis que lautre côté est sécant au cercle. Ici, langle tangentiel est langle rose.

6 Propriétés

7 Propriété n°1: Propriété n°1: Dans tout cercle, lamplitude dun angle inscrit est égale à la moitié de celle de langle au centre interceptant le même arc de cercle.

8 Trois cas sont à envisager: 1 er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de langle inscrit. 2 ème cas: Le centre O du cercle est à lintérieur de langle inscrit. 3 ème cas: Le centre O du cercle est à lextérieur de langle inscrit.

9 1 er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de langle inscrit. Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: AOB est un triangle isocèle. Donc, langle A = B. Langle BOC est un angle extérieur du triangle AOB. Donc, langle O= langle A + B OU Langle O = 2 x langle A Conclusion: Langle A = ½ de langle O Thèse: BAC = ½ BOC

10 Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: On trace le diamètre [AD]. On a: - langle A1 = ½ de langle O1 - langle A2 = ½ de langleO2 On additionne ces deux égalités membre à membre: A1 + A2 = ½ O1 + ½ O2. Conclusion: Langle A = ½ de langle O Thèse: BAC = ½ BOC 2 ème cas: Le centre O du cercle est à lintérieur de langle inscrit.

11 Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: On trace le diamètre [AD]. On a: - Langle A3 = ½ de langle O3 - Langle A2 = ½ de langle O2. On soustrait les deux égalités membre à membre: A3 – A2 = ½ O3 – ½ O2 Conclusion: Langle A = ½ de langle O Thèse: BAC = ½ BOC 3 ème cas: Le centre O du cercle est à lextérieur de langle inscrit.

12 Propriété n°2: Propriété n°2: Dans tout cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même amplitude.

13 Hypothèses: Langle A est un angle inscrit; Langle B est un angle inscrit; Langle O est un angle au centre. Démonstration: Langle A est un angle inscrit et langle O est un angle au centre. Donc A = ½ O Langle B est un angle inscrit et langle O est un angle au centre Donc B = ½ O Conclusion: Langle A = langle B Thèse: Langle A = langle B

14 Propriété n°3: Propriété n°3: Dans tout cercle, lamplitude dun angle tangentiel égale la moitié de celle de langle au centre interceptant le même arc de cercle.

15 Hypothèses: AB est une tangente au cercle en A; Langle A1 est un angle tangentiel; Langle O est un angle au centre. Démonstration: Le triangle AOC est isocèle. Donc, langle A2 = langle C Dans le triangle AOC: O + A2 + C = 180° Or, A1 + A2 = 90° On en déduit que: O + A2 + C = 2. (A1 + A2) OU O + 2A2 = 2A1 + 2A2 OU O = 2A1 Conclusion: Langle A = ½ de langle O Thèse: Langle A1 = ½ de langle O

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