FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE

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1 FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE
P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtres actifs » , Ed. Radio J. Auvray : « Electronique des signaux analogiques » , Dunod W.M. Siebert : « Circuits, signals and systems » , Mc Graw Hill J.F. Gazin : « Filtres actifs » , Manuel d’applications CIL P. Bildstein : « Filtres à capacités commutées » , Techniques de l’ingénieur Martin Hasler & Jacques Neirynck : IV - Réseaux de Kirchoff VIII - Electronique : circuits XIX - Filtres électriques EPFL Traité d’électricité éditions (aussi Dunod)

2 FILTRAGE I - Définition d’un filtre
Les filtres sont destinés à sélectionner certaines bandes de fréquence d’un signal. Ils modifient l’amplitude et/ou la phase des composantes spectrales du signal. Ce sont généralement des circuits linéaires, dans la mesure où ils n’introduisent aucune nouvelle fréquence. Les filtres sont très utilisés dans de nombreux domaines des techniques électroniques. Citons par exemple : Radiocommunications ou télécommunications : pour délimiter le plus parfaitement possible certaines bandes de fréquences et rejeter certaines autres. Ils servent également en détection Traitement du signal : utilisation en analyse du signal (en particulier pour extraire du bruit) Electronique analogique : circuits oscillants stables et très sélectifs Asservissement électronique : systèmes bouclés à bande étroite

3 FILTRAGE Les filtres électroniques sont des circuits qui peuvent atteindre une grande complexité. Réalisés en technologie analogique, ils nécessitent, en général, l’emploi de composants de valeur très précise et très stable en fonction de la température et du temps. Une précision meilleure que 1% et une stabilité meilleure que /K sont souvent requises. Même avec de telles performances, un réglage final est souvent nécessaire pour satisfaire les exigences du gabarit (cahier des charges - spécifications). De telles contraintes apparaissent a priori incompatibles avec une réalisation en circuits intégrés, privant ce type de circuits des abaissements de coût dans les réalisations de très grandes séries. Fin des années 70, la numérisation des réseaux téléphoniques rendit urgente cette intégration sous peine de rendre prohibitif le coût d’un poste téléphonique numérique d’abonné. Une intense compétition s’engagea dès lors pour parvenir à résoudre ce problème.

4 FILTRAGE Trois solutions furent explorés : les filtres numériques
les filtres intégrés à transfert de charge les filtres à capacités commutées Filtres numériques : très performants, nécessitent des circuits complexes, donc «relativement» chers. Filtres à transfert de charges : très prometteurs à l’origine, se sont montrés en définitive peu aptes à fournir des filtres très sélectifs. Filtres à capacités commutés : a priori les moins bien placés tant les difficultés pratiques à résoudre semblaient au premier abord nombreuses et insurmontables. Mais … cette fameuse loi de Moore!

5 FILTRAGE II - Généralités Relation de Bayard-Bode
Une fonction réelle causale est entièrement déterminée par sa partie paire (ou impaire) : Si f est causale alors f(x)=0 pour x<0 pour x>O et f(x)=2fP(x)=2fI(x) F est donc déterminée par Re[F(jw)] ou Im[F(jw)]

6 FILTRAGE f(x) F (jw) = R(w) + jI(w) Avec et En inverse, on obtient :
On montre que : Relation de Bayard-Bode (R et I sont les transformées de Hilbert) Même type de relation entre le module et la phase pour un système à phase minimale.

7 FILTRAGE Un filtre est donc totalement caractérisé par son gabarit (module)! Problème : Synthèse d’un filtre En fonction d’une réponse fréquentielle souhaitée (gabarit), comment construire le circuit électronique qui réalise cette fonction? 1- Circuits LC passifs Encombrants et coûteux, mais peu sensibles aux variations des valeurs des composants 2- Utilisation d’éléments actifs Permet d’éliminer les selfs, mais très sensibles aux variations des valeurs des composants - Simulation de L : INIC, gyrateurs, ... 3- Autres : Filtres céramiques, SAW, Filtres à capacités commutées, filtres numériques, ...

8 FILTRAGE Définition générale : Filtre est défini par sa fonction de transfert En terme de tension entrée-sortie, on parle de gain (G=Vs/Ve) ou d’affaiblissement (ou d’atténuation) (A=Ve/Vs) En dB : A(w) = - G(w) = -20 log|H(jw)| En général : H(jw) est une fraction rationnelle = rapport de deux polynômes à coefficients réels : pôles et zéros de H(jw) sont réels ou par paires conjuguées pôles à gauche de l’axe imaginaire (axe jw exclu) pour stabilité degré du numérateur ≤ degré du dénominateur (filtres physiques) relation de Bayard-Bode valable (causal et réel) En raison de ces propriétés, il n’est pas possible de passer d’une façon discontinue de la bande passante à la bande coupée. Il y a aura une transition

9 FILTRAGE III - Filtre idéal
La réalisation d’un filtre nécessite la connaissance du spectre de fréquences constituant le signal utile. Le filtre idéal serait alors celui qui transmettrait toutes ces composantes sans atténuation ni déphasage, tout en éliminant les autres. Un tel filtre transmettrait le signal utile sans déformation ni retard, tout en éliminant complètement les signaux indésirables. Pour chaque filtre à réaliser, il convient de définir certains domaines de fréquences transmises sans atténuation appelées « bandes passantes » et d’autres pour lesquelles l’atténuation serait infinie (ou tout au moins très élevée), appelées « bandes coupées ». On distingue ainsi 4 types de filtre de base : - Passe bas - Passe haut - Passe bande - Coupe bande

10 FILTRAGE Filtre Passe bas Filtre Passe haut Filtre Passe bande
A(dB) f fC 0 dB A(dB) f fC 0 dB Filtre Passe bas Filtre Passe haut A(dB) f 0 dB fC - + A(dB) f 0 dB fC - + Filtre Passe bande Filtre Coupe bande

11 FILTRAGE Attention : Forme plus générale = modifier le contenu fréquentiel d’un signal, pas uniquement en terme de suppression-conservation! Remarque sur le passe bas idéal : A(dB) H(jw) w wC -wC 1 0 dB f fC Rappel : Phase minimale = phase nulle x(t-t0) X(jw)e-jw t0=| X(jw) |e j(F(w)-w t0) Phase : F(w)-w t0  Variation linéaire de phase Remarque : retard de groupe :

12 FILTRAGE Retard physique  variation linéaire de phase :
H(jw) w wC -wC 1 Arg[H(jw)] w Réponse impulsionnelle du filtre passe bas idéal : h(t) t i(t) t 1 1/2 1,09

13 FILTRAGE Problème : Réponse impulsionnelle, h(t), non causale, durée infinie Transition brusque bande coupée - bande passante  Irréalisable analogiquement! Un des buts du filtrage est d’approximer au mieux le filtre idéal Les oscillations parasites peuvent être gênantes Les besoins réels ne sont pas toujours aussi draconiens

14 FILTRAGE IV - Filtre réel
En pratique, il est donc seulement possible d’approcher plus ou moins bien le filtre idéal. Les circuits réalisables présentent les imperfections suivantes : L’atténuation en bande passante n’est pas nulle, elle sera seulement inférieure à une valeur limite notée AMax L’atténuation en bande coupée présente une valeur finie, elle sera supérieure à une valeur limite notée AMin La transition entre la bande passante et la bande coupée ne se fait pas de façon discontinue mais de manière progressive dans une bande de transition dont les fréquences frontières seront, pour un filtre passe bas : - fa  « première » fréquence coupée (atténuée) - fp  « dernière » fréquence passante

15 FILTRAGE Gabarit d’un filtre
Plus un filtre réel se rapproche d’un filtre idéal, plus les bandes de transitions sont étroites, AMax est faible et AMin est élevée. Mais plus il devient complexe et donc coûteux! La recherche d’un compromis entre des performances satisfaisantes et un coût acceptable conduit à définir un gabarit à l’intérieur duquel la courbe d’affaiblissement (atténuation) doit se situer pour résoudre le problème donné. Par exemple, un gabarit de filtre passe bas ou passe haut, sera entièrement défini à partir des 4 grandeurs : AMin, AMax, fa et fp. On notera qu’il est intéressant d’introduire une autre grandeur, appelée sélectivité et notée K, qui se déduit des grandeurs précédentes et qui exprime la raideur de la transition : Pour un filtre passe bas :

16 FILTRAGE Filtre Passe bas Filtre Passe haut Filtre Passe bande
A(dB) A(dB) f fa 0 dB fp AMin AMax f fp 0 dB fa AMin AMax Filtre Passe bas Filtre Passe haut A(dB) A(dB) f f0 0 dB AMin AMax fa - fp + f f0 0 dB AMin AMax fp - fa + Filtre Passe bande Filtre Coupe bande

17 FILTRAGE Sélectivité Pour un filtre passe bas :
Plus le filtre réel se rapproche du filtre idéal, plus k est voisin de 1 Pour un filtre passe haut : Pour un filtre passe bande : Largeur de bande relative : B est faible (B < 0,1)  Filtre à bande étroite Pour un filtre coupe bande : B > 0,5  Filtre à large bande

18 FILTRAGE Temps de propagation de groupe d’un filtre
Remarque : dans le cas des filtres passe bande et coupe bande, on se restreint généralement à l’étude des filtres symétriques, c’est à dire qu’ils vérifient la relation suivante : Temps de propagation de groupe d’un filtre Filtre  Atténuation des différentes composantes spectrales du signal Mais également un déphasage à chacune de ces composantes Déphasage pouvant être variable en fonction de la fréquence Ce déphasage inégal qu’il fait subir aux différentes composantes spectrales comprises dans la bande passante peut entraîner une déformation gênante du signal utile.

19 FILTRAGE Pour qu’un réseau électrique transmette un signal sans déformation il suffit qu’il lui fasse subir un retard constant t0 Pour une composante de pulsation w de ce signal, ce retard se traduit par un déphasage : f=wt Condition suffisante pour un filtre passe bande : Phase linéaire : f=wt+K De manière générale, pour qu’un filtre transmette un signal sans déformation il suffit que dans toute la bande passante : : temps de propagation de groupe La régularité du temps de propagation de groupe dans la bande passante reflète l’aptitude d’un filtre à transmettre les signaux transitoires sans les déformer (filtres non dispersifs). Dans la pratique, on choisit la caractéristique (entre atténuation et temps de propagation) à respecter en fonction du problème posé!

20 FILTRAGE V - Filtre prototype
La connaissance du problème à résoudre permet de définir la gabarit à l’intérieur duquel doit s’inscrire la courbe de réponse du filtre à construire. On doit maintenant introduire 2 importantes simplification qui permettent de ramener la réalisation de n’importe quel filtre à la réalisation : - d’un filtre passe bas - de fréquence de coupure unité appelé «filtre prototype»  filtre passe bas normalisé Ces simplifications sont : - Normalisation des fréquences et des impédances - Transposition en fréquence Réponse en fréquence : H(p) : 1er degré (réseaux du premier ordre) 2ème degré (fonction biquadratique) Composition de formes précédentes

21 FILTRAGE Normalisation en fréquence
Cela consiste à choisir une fréquence particulière : fu Pour les filtres passe bas et passe haut : fu = fp Pour les filtres passe bande et coupe bande : fu = f0 =  Fréquence normalisée :  Pulsation normalisée :  Variable de Laplace normalisée : Fonction de transfert biquadratique normalisée : Définition : d=1/Q=2z Q : facteur de qualité z (ou ) : facteur d’amortissement

22 FILTRAGE Fonction de transfert biquadratique normalisée :
Différentes configurations possibles : a b c 1 Nature du filtre Passe bas Passe haut Passe bande Coupe bande (passe bas et passe haut) Exemple : Passe bas 

23 FILTRAGE |H|dB M HM  maximum HM pour  = M 1 Log()
maximum existe si Remarque si Q >> 1  M # 1  >> 1  Asymptote à -40 dB/dec  M = 0  courbe plate : Réponse de Butterworth

24 FILTRAGE Normalisation des unités d’impédance
On prend comme unité d’impédance une valeur particulière de R0 ou de C0 compatible avec le mode de réalisation du filtre et avec des valeurs réalistes des composants compte tenu de la fréquence de normalisation. Par exemple, dans le cas d’un filtre passe haut du premier ordre : C R Ve VS On choisira dans ce cas particulier : La fonction de transfert devient alors : On fixe alors une valeur R0 de R et on en déduit 1 Ve VS

25 FILTRAGE Transposition en fréquence
Le but de cette opération est de ramener l’étude de tous les types de filtre à l ’étude d’un filtre passe bas normalisé. Transformation de base : Passe bas  Passe haut : Passe bas  Passe bande : Passe bas  Coupe bande : Ces transformations peuvent s’appliquer soit aux gabarits, soit aux fonctions de transfert, soit aux éléments du réseau du filtre. Les résistances et les coefficients d’amplification sont inchangés, une capacité se transformera en une inductance (ou inductance en série, ou parallèle avec une capacité!)  transformation du gabarit et de la fonction de transfert.

26 FILTRAGE Transposition Passe bas  Passe haut
Le gabarit du filtre passe bas se transforme en un gabarit passe haut, mais les trois grandeurs caractéristiques sont inchangés : K, AMin et AMax. F Fa =1/K Fp=1 AMin AMax F 1 K AMin AMax

27 FILTRAGE Transposition Passe bas  Passe bande
Comment une valeur  ’ de la pulsation du gabarit du filtre passe bande est obtenue à partir d’une valeur   de la pulsation du gabarit du filtre passe bas :  =0   ’=1 racine positive! donc  ’=1 La fréquence nulle du passe bas est la fréquence centrale du passe bande  quelconque et  ’<1 •  quelconque et  ’>1

28 FILTRAGE A chaque fréquence du filtre passe bas correspond deux fréquences du passe bande dont le produit vaut 1  géométriquement symétriques par rapport à la fréquence centrale normalisée du passe bande où f0=1. F 1/K 1 AMin AMax F 1 AMin AMax Fp + Fa 1/Fp 1/Fa : Même sélectivité!

29 FILTRAGE Transposition Passe bas  Coupe bande
Cette transformation est tout à fait analogue à la précédente. F 1/K 1 AMin AMax F f0 AMin AMax Fa + Fp

30 FILTRAGE VI - Fonctions d’approximation
Nous avons montré que la réalisation de tout filtre se ramène à un filtre passe bas normalisé. Le problème est donc de trouver, pour un gabarit donné, une fonction de transfert satisfaisante, c’est à dire de construire un réseau dont la courbe de réponse s’inscrit à l’intérieur du gabarit! On cherche une fonction mathématique, A() où  est la pulsation normalisée, exprimant l’affaiblissement du filtre à réaliser. A() est la fonction d’approximation. Cependant pour que la solution aboutisse à un réseau physiquement réalisable, A() doit satisfaire un certain nombre de contraintes. Contraintes imposées par la structure du filtre La fonction de transfert d’un filtre s’exprime sous la forme : Stabilité du filtre  Les racines de E(p) sont dans D-

31 FILTRAGE Stabilité du filtre  Les racines de E(p) (pôles de H(p) sont à partie réelle négatives (dans D-) (Polynômes de HURWITZ) Filtre physique  degré de S(p)  degré de E(p) On peut montrer que : Dans ce produit, les termes impairs s’éliminent! On pose Ai=ai2 et Bi=bi2. En conclusion, [A()]2 est : Fraction rationnelle Fonction du carré de la fréquence Degré 2n en  si H(j) est de degré n en j

32 FILTRAGE Contraintes imposées par le gabarit
Pour que le graphe de la fonction A() s’inscrive à l’intérieur du gabarit passe bas, l’amplitude de A() doit répondre aux caractéristiques suivantes : Pour les fréquences f<fp (F<1), A() doit être voisin de 1, atténuation faible en bande passante (proche de 0 dB) Pour les fréquences f>fa (F>1/K), A() doit être très élevée, ce qui veut dire que l’atténuation doit être très importante en bande coupée Pour des valeurs de f comprises entre fp et fa, A() doit augmenter rapidement depuis 1 jusqu’à une valeur élevée Dans tous les cas, A()1  K(2) est la fonction caractéristique du filtre, elle varie autour de 0 en bande passante

33 FILTRAGE Propriétés des fonctions caractéristiques
En bande passante, l’atténuation, exprimée en dB, doit être inférieure à Amax : En bande coupée, l’atténuation, exprimée en dB, doit être supérieure à Amin : En conclusion, la fonction caractéristique d’un filtre passe bas doit satisfaire les propriétés suivantes : Fonction paire de la fréquence (c’est à dire fonction de 2) Fraction rationnelle en 2(dont le dénominateur est un carré) Avoir une faible valeur en bande passante < e2 Avoir une valeur élevée en bande coupée > L2

34 FILTRAGE Approximation de Butterworth
Les filtres de Butterworth ont la propriété d’avoir la courbe de réponse la plus plate possible à l’origine : n : ordre du filtre Pour un filtre passe bas idéal, on a les caractéristiques suivantes : |H(jw)| w wC 1 Arg[H(jw)] w wC L’atténuation est nulle (en dB) en bande passante, infinie en bande coupée, la phase est linéaire en bande passante, aléatoire en bande coupée.

35 FILTRAGE La fonction de transfert Hi(jW) est donc de la forme :
Comment faire pour approcher au mieux cette fonction de transfert? On désire que la courbe de réponse réelle soit la plus plate possible au voisinage de W=0 et Fi(0)=1. On résoudra le problème d’approximation en choisissant les coefficients de G(W2) tels que : G(0)=1 et les n premières dérivées de G(W2) par rapport à W2 soient nulles. On a vu que :

36 FILTRAGE Choix possible : A0=B0=1
La dérivée de G(W2) par rapport à W2 : Choix possible : A1=B1=0 De même pour la dérivée seconde : On peut également choisir : A2=B2=0 On peut réitérer jusqu’à l’ordre n (n premières dérivées nulles ) : - Ai=Bi=0 i<n D’où : Tous les coefficients qui restent peuvent être choisis arbitrairement, le choix habituel est : - Ai=0 pour in - Bi=0 pour i>n

37 FILTRAGE Finalement : Le coefficient Bn est déterminé par la valeur de l’atténuation souhaitée à W=1(w=wc) : On en déduit : Finalement : Les polynômes de Butterworth permettent d’approximer un filtre passe bas idéal, si l’on admet un affaiblissement de 3dB à la fréquence de coupure, wc=wp=wu et Amax=3dB.

38 FILTRAGE Résumé : Butterworth Propriétés : - module=1 (0dB) pour W=0
- monotone décroissante 20n dB/dec - plate au voisinage de W=0 - n  Passe Bas idéal (meilleure approximation)

39 FILTRAGE Butterworth : Réponse réelle 
On pose j W =s : variable de Laplace réduite  Pôles : X n=1 X n=2 X n=3

40 FILTRAGE Les pôles de H(s)H(-s) apparaissent en paire symétrique par rapport à l’axe vertical  répartir les pôles entre H(s) et H(-s) H(s) doit être stable (et causal)  les pôles de H(s) sont à gauche (D-) X X

41 FILTRAGE X Remarque : Les pôles sont réels négatifs ou en paires conjuguées et racines nième de l’unité.

42 FILTRAGE Choix de l’ordre du filtre de Butterworth :
0,1 0,95 w2 w 1 On désire réaliser le filtre ayant le gabarit ci-contre : Avec w2=2 w1=2.104 rd/s F W1 AMin=20dB AMax=0,44dB 1 W2 3dB

43 FILTRAGE

44 FILTRAGE Approximation de Tchebychev
Les filtres de Butterworth sont optimaux dans le sens où leur réponse est la plus plate possible à l’origine : Les filtres de Tchebychev sont optimisés de manière à ce que l’atténuation en bande passante oscille le plus grand nombre de fois possible entre 0 et AMax  L’imperfection que constitue l’atténuation résiduelle en bande passante est ainsi répartie sur toute cette bande! 1 1-e Tn(W) : Polynôme de Tchebychev d’ordre n

45 FILTRAGE Polynômes de Tchebychev
Soit h(x) l’écart en amplitude entre une fonction f(x) et une fonction fi(x)=1 Comment choisir f(x) pour que |h(x)| L pour -1  x  1 ? Prenons pour h(x) un polynôme de degré n, de sorte que pour -1  x  1, h(x) atteigne (n-1) fois la valeur extrémale ±L (h(x) atteint (n+1) fois la valeur extrémale ±L si on compte les extrémités de l’intervalle) L2-h2(x) aura des zéros pour tous les extremums à l’intérieur de l’intervalle (-1,1) et ces zéros seront doubles puisque la fonction et sa dérivée s’annulent De plus, les points x= ±1 sont également des zéros de L2-h2(x) :

46 FILTRAGE Finalement on obtient :
h(x) -1 1 x L -L Si on désigne par n le nombre b, h(x) oscillera n fois entre les valeurs ±L pour -1  x  1 Soit : Cette fonction correspond à un polynôme car il est possible d’exprimer cos n sous la forme d’un polynôme en cos  Les polynômes h(x) répondant à la question sont ainsi les polynômes de Tchebychev : Les polynômes de Tchebychev sont :

47 FILTRAGE Tn(x) vérifie la formule de récurrence : Soit :
 Application aux filtres ER (Equal Ripple) : Ainsi l’atténuation variera entre 1 et 1+e2 lorsque 0    1 Lorsque 0    1  Tn() varie entre -1 et 1, donc Tn2() varie entre 0 et 1

48 FILTRAGE Soit AMax l’atténuation maximale en bande passante (exprimée en dB) 0    1  0  A()  AMax avec AMax =10log(1+e2) Ainsi les fonctions d’approximation dépendent du paramètre e, elles sont tabulées pour différentes valeurs de e correspondant à des affaiblissements AMax de 0,1 ; 0,5 ; 1,0 ; … dB en bande passante : AMax = 0,1 dB  e =0,15262 AMax = 0,5 dB  e =0,34931 AMax = 1,0 dB  e =0,50884 Courbes de Tchebychev en bande passante AMax=1dB

49 FILTRAGE Détermination des fonctions de transfert des filtres de Tchebychev Elles s’obtiennent comme précédemment en recherchant les racines de A(), c’est à dire les racines de l’expression 1+e2Tn2() : Si Pk (P=j ) sont les racines recherchées, on a : En posant

50 FILTRAGE On en déduit : Il convient d’en déduire l’expression des pôles : On peut alors montrer que k et wk vérifient : C’est l’équation d’une ellipse!

51 FILTRAGE Remarques sur les filtres de Tchebychev Tchebychev :
Pour avoir une fréquence de normalisation à -3dB, prenons e=1. Tchebychev d’ordre 3 (Taux d’ondulation 3dB) : Butterworth d’ordre 3 : Les filtres de Tchebychev présentent un grand intérêt pratique car de tous les filtres polynomiaux, ce sont ceux qui présentent la coupure la plus raide. Toutefois, ils n’ont pas une très bonne régularité du temps de propagation de groupe en bande passante et leur comportement en transitoire n’est pas aussi bon que celui des filtres de Butterworth.

52 FILTRAGE Autres types de filtres polynomiaux
Filtres de Legendre (Papoulis) : Ln polynôme de Legendre d’ordre n Les filtres de Legendre correspondent à une tentative permettant de concilier l’aspect non ondulé en bande passante des filtres de Butterworth, et la rapidité d’atténuation en bande coupée des filtres de Tchebychev. Ainsi, ces filtres présentent comme les filtres de Butterworth une courbe d’atténuation croissante monotone, mais au lieu d’être la plus plate possible à l’origine, elle a une pente la plus forte possible à la fréquence de coupure. Les fonctions de transfert des filtres de Legendre s’obtiennent selon la méthode utilisée pour Butterworth et Tchebychev.

53 FILTRAGE Autres types de filtres polynomiaux
Filtres de Bessel (Thomson) : Ce sont des filtres polynomiaux ceux pour lesquels le critère d’optimisation est la régularité du temps de propagation de groupe en bande passante. La fonction de transfert d’un filtre ayant un temps de propagation de groupe de t=1s s’écrit : En posant : On obtient : Le dénominateur, ainsi obtenu, est un polynôme de Bessel d’ordre n

54 FILTRAGE Ces polynômes ont été calculés en prenant t=1s, donc pour les courbes de réponse en amplitude, l’atténuation à W=1 sera quelconque. En fait, les fonctions de transfert sont tabulées en prenant une atténuation de 3 dB à W=1. Par exemple, pour n=5, t est constant jusqu’à 1,5 fois la fréquence de coupure à 3dB. Mais à cette fréquence l’atténuation n’est que de 7,5 dB

55 FILTRAGE Filtres non polynomiaux
Filtres elliptiques : Filtres de Cauer Les filtres polynomiaux, étudies précédemment, ont tous une fonction caractéristique qui est un polynôme en W2 (Dénominateur D(W2)=1). Par conséquent, pour une valeur finie de la fréquence, l’atténuation présente une valeur finie. Si on utilise une fonction caractéristique pour laquelle le dénominateur est un polynôme en W2, on introduit des fréquences d’atténuation infinie ou zéros de transmission (racines de D(W2)=0). L’introduction de ces zéros de transmission présente les avantages suivants : Supprimer les fréquences particulièrement indésirables, comme par exemple la porteuse dans un filtre de démodulation. Rendre la coupure d’un filtre beaucoup plus raide en plaçant un zéro de transmission immédiatement après la fréquence de coupure, sans augmenter l’ordre du filtre.

56 FILTRAGE Les principaux filtres, ayant des zéros de transmission, sont les filtres de Cauer, dont les principales caractéristiques sont les suivantes : Ils possèdent la plus grand nombre possible de zéros de transmission pour un ordre n donné (n/2 zéros si n est pair, (n-2)/1 si n est impair). Ils ont une atténuation uniformément répartie aussi bien en bande passante qu’en bande coupée, de sorte que leur comportement se rapproche de celui d’un filtre de Tchebychev. 1 1-e1 e2 AMax AMin w01 w02 w1 wa w2 wp |A|dB w w01 w1= w02 w2 = w0k wk =Cste

57 FILTRAGE Filtres de Cauer :
Les fréquences wi sont les racines de l’équation D(W2)=0 Les fréquences w0i sont les racines de l’équation N(W2)=0 Toutes ces racines sont des racines doubles : Ces relations montrent que la connaissance des w0i et wi définit entièrement la fonction caractéristique, donc le filtre de Cauer. Rappel : w01 w1= w02 w2 = … = w0k wk =Cste

58 FILTRAGE Fonctions de transfert des filtres de Cauer : Atténuation :
e est déterminé pour que l’atténuation soit égale à AMax pour W=1et la normalisation du passe bas est effectuée par rapport à la fréquence fp limite de la bande passante à un taux d’ondulation donné (comme Tchebychev) : Contrairement aux filtres polynomiaux, il est difficile de donner des tables de fonctions de transfert car elles dépendent de 3 paramètres : n, AMax et K, ou n, AMax et AMin (K : sélectivité). Il existe donc une infinité de filtres de Cauer d’ordre n ayant une ondulation en bande passante <AMax Pour chacun de ces filtres, AMin aura une valeur différente!

59 FILTRAGE VI - Circuits fondamentaux pour la synthèse de filtres actifs
Lorsque l’on utilise des montages à base d’amplificateurs opérationnels, au vue des valeurs des composants discrets, on peut considérer ces A.Op. comme parfaits (Ze  , Zs  0 et AV  ) Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un A.Op. Structure à contre réaction simple : C.R. en courant On peut montrer que : Av + - VS Ve [Y1] [Y2] Le problème devient alors, comment calculer des quadripôles ayant les valeurs de Y21 permettant d’obtenir la fonction de transfert désirée?

60 FILTRAGE Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un A.Op.
Structure à contre réaction multiple ou Structure de Rauch : Av + - VS Ve Y1 Y3 Y2 Y5 Y4 Remarque : Produit d’impédances (admittances) au numérateur et au dénominateur, il sera possible de réaliser des fonctions de transfert au second ordre. Le numérateur ne présente pas de somme, il sera donc impossible de réaliser une fonction « réjecteur de fréquences ».

61 FILTRAGE Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un A.Op.
Structure de Sallen & Key : C’est la structure de base des filtres polynomiaux. Sa fonction de transfert est donnée par : K VS Ve Z1 Z3 Z4 Z2 Remarque : Produit d’impédances (admittances) au numérateur et au dénominateur, il sera possible de réaliser des fonctions de transfert au second ordre. Le numérateur ne présente pas de somme, il sera donc impossible de réaliser une fonction « réjecteur de fréquences ».

62 FILTRAGE Cas où K=1 : Remarque : Amplificateur K (source commandée) K
VS Ve Z1 Z3 Z4 Z2 Cas où K=1 : Remarque : Amplificateur K (source commandée) VS Ve R1 R2 + VS Ve +

63 FILTRAGE Convertisseur d’impédance négative : NIC
C’est une forme de transformateur idéal : NIC ZL -kZL NIC ZL Les caractéristiques du convertisseur d’impédance négative sont définies par la matrice de transfert : NIC ZL Ve ie Vs is Ve=AVs-Bis or Vs=-ZLis  Ve=-(AZL+B)is De même ie=-(CZL+D)is

64 FILTRAGE Pour satisfaire cette équation (avec k>0), il
suffit de prendre B=C=0 et A=-kD On peut envisager toutes les formes de convertisseur d’impédance négative suivant les valeurs respectives de A et D. On s’intéressera aux 2 types de convertisseurs suivants : Convertisseur d’impédance négative en tension : VNIC Dans ce cas : ie=is et VeVs (d ’où la conversion de tension) : Convertisseur d’impédance négative en courant : INIC Dans ce cas : ie  is et Ve=Vs :

65 FILTRAGE Le schéma suivant réalise un montage INIC :
Ve R2 R1 ie Vs is V0 Ve R2 R1 ie Vs is V0 RL Impédance négative :

66 FILTRAGE Stabilité d’un montage INIC :
ie is RG R1 R2 Ve Vs RL V0 Instable si 1+GH<0 (pôle dans D+)

67 FILTRAGE Stabilité d’un montage INIC : Remarque
V0 RG RL Stable si contre réaction sur l’entrée > contre réaction sur l’entrée plus

68 FILTRAGE Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un INIC
Méthode de Linvill : Cette méthode utilise un INIC placé entre 2 quadripôles caractérisés par leurs matrices impédances : Le second quadripôle étant à vide, son impédance d’entrée vaut Z11b (V=- Z11bi’) [Zb] Ve Vs is [Za] ie INIC k V i i’ Par conséquent, l’impédance d’entrée du montage INIC vaut -kZ11b Ve [Za] ie V i -kZ11b

69 FILTRAGE Le second quadripôle étant à vide : V=- Z11bi’ et Vs=- Z21bi’
La fonction de transfert de transimpédance est donc : Méthode de YANAGISAWA : Cette méthode utilise la structure ci-dessous : Si on ne tient pas compte du quadripôle Yb  on obtient : Ve [Yb] [Ya] INIC k Vs Ve [Ya] ie INIC k V i i’

70 FILTRAGE Si on ne tient pas compte du quadripôle Yb  on obtient :
Ve [Ya] ie INIC k V i i’ On peut donc écrire : On en déduit la matrice admittance équivalente : La fonction de transfert du système complet s’écrit donc : Cette relation est plus simple que celle obtenue pour la structure de Linvill

71 FILTRAGE Structure de Yanagisawa simplifié : On obtient : Y21a=-Y1a
Y22a=Y1a +Y2a Y21b=-Y1b Y22b=Y1b +Y2b Ve INIC k Vs Y2b Y2a Y1a Y1b La fonction de transfert s’écrit alors :

72 FILTRAGE Gyrateurs C’est un élément actif non réciproque qui a la propriété de présenter une impédance d’entrée proportionnelle à l’inverse de l’impédance de charge ZL Ve ie Vs is Rg ZL Vs Ve Rg  La matrice de transfert s’écrit : Or et On en déduit la relation suivante :

73 FILTRAGE Cette relation est vraie : On en déduit : A=0, D=0 et B=CRg2
On obtient ainsi : Le courant d’un port est proportionnel à la tension de l’autre port Réalisation d’un gyrateur : L’impédance de charge de l’INIC : Ve INIC k Vs ZL Rg -Rg ie is D’où :

74 FILTRAGE Réalisation d’un gyrateur, pour réaliser la résistance -Rg, on utilise un INIC avec k=1 (R1=R2) : Rg R Ve Vs Pour réaliser un gyrateur, on peut également utiliser le montage suivant : Rg -Rg -(Rg//ZL) Impédance d’entrée :

75 FILTRAGE Réalisation du gyrateur : Rg -Rg -(Rg//ZL) Rg ZL R Ve Vs

76 FILTRAGE Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un gyrateur
Les méthodes proposées s’appuient sur un circuit constitué d’un gyrateur placé entre 2 quadripôles RC, le premier est caractérisé par ses paramètres admittance, le second par ses paramètres impédance : is [Ya] ie V’ V Rg Ve Vs i [Zb] i’ Pour calculer la fonction de transfert : Le second quadripôle est en circuit ouvert, son impédance d’entrée est donc Z11b. Cette impédance correspond à la charge du gyrateur, par conséquent l’impédance de charge du premier quadripôle est donc Rg2/ Z11b. On peut donc écrire :

77 FILTRAGE [Ya] [Zb] Or -i=Y21aVe+ Y22aV 
is [Ya] ie V’ V Rg Ve Vs i [Zb] i’ Or -i=Y21aVe+ Y22aV  D’autre part la matrice impédance du gyrateur, déduite de sa matrice de transfert nous donne : Le second quadripôle étant à vide, on peut écrire : V’=-Z11bi’ Soit :

78 FILTRAGE [Ya] [Zb] Soit :
is [Ya] ie V’ V Rg Ve Vs i [Zb] i’ Soit : Le second quadripôle étant à vide, on peut écrire : Z11bVe=Z21bV’ Finalement, la fonction de transfert du système complet s’écrit :

79 FILTRAGE VII - Synthèse en cascade d’un filtre actif
Le principe de la méthode consiste à réaliser un certain nombre de filtres actifs élémentaires très simples dont la mise en cascade permettra d’obtenir n’importe quel filtre. Décomposition de la fonction de transfert Passe Bas Si on considère la fonction de transfert des filtres passe bas polynomiaux, le numérateur est égal à 1. De plus, les racines du dénominateur de la fonction de transfert (pôles) se situent sur une courbe continue dans D- : demi cercle unité pour Butterworth, demi-ellipse pour Tchebychev. Ces racines sont toutes imaginaires conjuguées (si n est pair, si n est impair  il existe une racine réelle négative -p0) On peut donc regrouper les racines complexes conjuguées pour donner un un polynôme du second ordre : p1=-1+j1 et p1*=-1-j1

80 FILTRAGE On peut donc regrouper les racines complexes conjuguées : p1et p1* L’expression de la fonction de transfert d’un filtre polynomial peut donc se mettre sous la forme : Cette fonction de transfert nécessite donc la mise en cascade de 2 types de filtres élémentaires

81 FILTRAGE Mise en cascade de deux types de filtres élémentaires :
Un ou plusieurs filtres du second ordre : Un filtre du premier ordre, si n est impair : Comme il s’agit de filtres passe bas H(j )=1 pour  =0, on écrira donc les fonctions de transfert élémentaires sous la forme :

82 FILTRAGE Signification physique de la décomposition des fonctions de transfert Prenons comme exemple la réalisation d’un filtre passe bas de Tchebychev d’ordre 7, avec un taux d’ondulation de 1 dB dans la bande passante et une fréquence de coupure f0=1kHz Prenons comme cellule de base la structure de Sallen et Key : 1 VS Ve R0 q1C0 m1C0 La fonction de transfert de cette cellule s’écrit : La pulsation caractéristique de cette cellule est :

83 FILTRAGE La fonction de transfert normalisée de cette cellule :
La pulsation de normalisation du filtre de Tchebychev d’ordre 7 (pour l ’ensemble des cellules) : Normalisation en fréquence : La pulsation caractéristique de la première cellule devient :

84 FILTRAGE La fonction de transfert de la première cellule devient :
Par identification, on obtient : Rappel : Les abaques donnent pour la première cellule : Il faut traduire par :

85 FILTRAGE Première cellule : a1 = 4,3393 et b1 = 1,6061
On en déduit : m1 = 0,803 et q1 = 5,403 s1 = 0,480 (f1 = 480 Hz) et 1 = 0,3855 D’un point de vue pratique, il est important de vérifier chaque cellule avant de les cascader. Il est important de placer les cellules dans l’ordre croissant du coefficient de surtension. Ces filtres étant très sensibles aux dispersions sur les valeurs des composants, il est plus aisé de calibrer chaque cellule : Vm, Fm et fi (caractéristiques fondamentales) 1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+1  Vm1=1,40 2ème cellule : 1,5303s2+0,3919s+1  Vm2=3,19

86 FILTRAGE Réalisation de la première cellule :
1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+1  m1 = 0,803 et q1 = 5,403 1 VS Ve R0 q1C0 m1C0 Pour calculer les différents éléments, on fixe R0 (1k  R0 100k) Prenons R0 = 10k. On en déduit :

87 FILTRAGE Tchebychev d’ordre 7 d’ondulation 1 dB :
1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+1 2ème cellule : 1,5303s2+0,3919s+1 3ème cellule : 1,0073s2+0,0920s+1 4ème cellule : 4,868s+1 On en déduit : 1ère cellule : m1=0,803 q1=5,403 2ème cellule : m2=0,196 q2=7,808 3ème cellule : m3=0,046 q3=21,878 4ème cellule : m4=0,046 1 = 0,3855 2 = 0,1585 3 = 0,046 f1= 480 Hz f2= 808 Hz f3= 996 Hz Vm1= 1,40 Vm2= 3,19 Vm3= 10,91

88 FILTRAGE Réalisation de la dernière cellule :
VS Ve R0 m4C0 4ème cellule : 4,868s+1  m4 = 0, 046 On en déduit que m4 = a4 et Finalement f4 = s4f0 = 673 Hz

89 FILTRAGE Réalisation d’un filtre de Tchebychev d’ordre 7 d’ondulation 1 dB, f0=1kHz : VS Ve + - 10k 12,78nF 86,02nF 2,48nF 124,3nF 0,73nF 348,3nF 77,5nF -1dB log f Allure de la réponse

90 FILTRAGE VIII - Sensibilité des filtres actifs
Les circuits élémentaires du second ordre réalisés à partir de différents éléments actifs : A.OP., convertisseurs d’impédance, gyrateurs, permettent de réaliser des filtres d’ordre élevé par mise en cascade. La question se pose de savoir quel type de circuit conviendra le mieux à réaliser Hormis les questions de coût, les critères de choix porteront essentiellement sur les facilités de réglage du filtre et sur la stabilité de ses performances lorsque l’un ou l’autre des éléments qui le constituent varie. En effet, en raison de l’importance des coefficients de surtension mis en jeu, une légère variation de l’un des composants peut entraîner une variation considérable de la courbe de réponse. Stabilité des caractéristiques d’un filtre actif Les études de stabilité portent sur les points suivants : - Effet de l’A.OP. : stabilité par rapport à ses caractéristiques

91 FILTRAGE Stabilité des caractéristiques d’un filtre actif
Les études de stabilité portent sur les points suivants : - Effet de l’élément actif : stabilité par rapport aux caractéristiques de l’A.OP. et stabilité par rapport aux composants passifs associés à l’A.OP. pour réaliser l’élément actif - Effet des éléments passifs : stabilité par rapport aux composants passifs associés à l’élément actif pour réaliser le filtre Grandeurs caractéristiques des filtres du second ordre : La courbe de réponse d’un filtre passe bas du second ordre est représentée sur la figure ci-contre. Une variation de l’un des composants peut entraîner une légère variation de la fréquence de résonance (peu d’influence), mais une grande variation sur de la valeur de surtension. Vm Vm’ fm fm’

92 FILTRAGE La variation de l’amplitude maximale sera d’autant plus importante que le coefficient de surtension sera élevé (Q=1/2) En conclusion, la sensibilité d’un filtre élémentaire d’ordre 2 à une variation d’un élément est d’autant plus importante que son coefficient de surtension est élevé. Définition de la sensibilité : La fonction de transfert d’un filtre passe bas normalisée s’écrit : S’il y a surtension (fréquence de résonance) :

93 FILTRAGE Dès que Q dépasse quelques unités, on aura : Vm#Q et m# 0
On aura une bonne estimation de la sensibilité d’un tel filtre en fonction de la variation de l’un de ses composants X en mesurant quelle variation de Q est provoquée par une variation de X. D’où la définition de la sensibilité : : Sensibilité du coefficient de surtension à la variation d’un élément X (grandeur indépendante des unités) : Sensibilité de 0 (m dès que Q dépasse qq. unités) à la variation d’un élément X

94 FILTRAGE Sensibilité des filtres du second ordre aux variations des éléments actifs Les grandeurs caractéristiques de l’élément actif susceptible de varier sont : - le gain K des sources commandées - le gain K des convertisseurs d’impédance négative - la résistance de gyration Rg pour les gyrateurs - le gain A des A.OP. En pratique, il peut naître une variation d’amplitude et de phase, en particulier si la température varie. Nous ne nous intéresserons qu’aux variations d’amplitude qui donnent une bonne idée de la sensibilité du montage. Toutefois il est difficile de comparer par exemple SKQ et SRgQ. Cependant, tous les éléments actifs étant constitués à l’aide d’A.Op. il est possible d’établir une comparaison valable en calculant les sensibilités par rapport à une variation du gain en boucle ouverte A du ou des A.OP.

95 FILTRAGE Si l’élément actif est réalisé par des A.Op. associés à des éléments passifs, une variation de ces derniers se traduira par une variation de l’élément actif. Par exemple pour un INIC où k=R2/R1, si R1 et/ou R2 varient alors k varie! Il convient alors de considérer 2 sensibilités par rapport aux variations de l’élément actif. Calcul de la sensibilité d’un filtre à source commandée à gain positif K VS Ve R C1 C2 La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : On définit :

96 FILTRAGE On définit : Soit : Dans le cas d’un ampli de gain unité :
Cette valeur peut paraître énorme, mais il faut tenir compte du gain de boucle ouverte, A, de l ’A.Op. et étudier : Dans le cas d’un montage suiveur :

97 FILTRAGE On obtient : Pour utiliser ce montage, il convient de vérifier : A>>2Q2 De même : Si K1, montage non inverseur avec R1 et R2 : Il faut alors calculer : On en déduit : Par exemple si Q=50 avec K=2 alors  Si R1 varie de 0,01% alors l ’amplitude de résonance, Q, variera de 25%!

98 FILTRAGE Filtre utilisant un A.Op.
La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : A + - VS Ve R C1 C2 Si on tient compte du gain A de l’A.Op., on obtient : Avec :

99 FILTRAGE Or A est très élevé (gain en boucle ouverte d’un A.Op.) :
On définit : De même : Soit :

100 FILTRAGE On obtient : On définit de même : Filtre utilisant un INIC
Ve INIC k Vs R1 R2 C1 C2 La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : Avec :

101 FILTRAGE On définit : En prenant k=1 et R1=R2=R :
On réalise le montage INIC de la façon suivante : Ve R2 R1 ie Vs is RL A La résolution de ce système nous donne :

102 FILTRAGE Dans ce cas la valeur rigoureuse du gain d’impédance négative est : Prenons pour fixer les ordres de grandeur R1=R2=R= RL : Finalement, on obtient : Toutefois, il convient de tenir compte de la sensibilité due aux dispersions sur les résistances R1 et R2 : Soit :

103 FILTRAGE Sensibilité des filtres du second ordre aux variations des éléments passifs Le calcul des sensibilités SAQ et SAw0 montre qu’il est toujours possible de réaliser ces grandeurs à volonté par un choix judicieux des schémas et du gain en boucle ouverte A de l’A.Op. Il n’en sera pas de même pour les sensibilités SZQ et SZw0. En pratique, il ne faudra utiliser que des montages pour lesquels ces grandeurs sont raisonnablement faibles! En particulier, les condensateurs sont des éléments passifs plus coûteux et moins stables que les résistances. Une faible sensibilité à une variation de l’un d’entre eux sera une qualité appréciable. Attention, pour évaluer ces sensibilités, il faut prendre la précaution d’effectuer les calculs avant de simplifier les termes qui s éliminent par différence!

104 FILTRAGE Par exemple, prenons le cas du filtre à INIC suivant :
Ve INIC k Vs R1 R2 C1 C2 La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : C’est la somme d’une fonction passe bas et d’une fonction passe bande. Pour obtenir la fonction passe bas, on devra éliminer le passe bande. Les caractéristiques du passe bas sont : On obtient :

105 FILTRAGE Si maintenant on fait R1=kR2 afin d’obtenir le filtre passe bas : Soit : Cette valeur peut devenir énorme dès que Q dépasse quelques unités et il est très différent du résultat qu’on aurait obtenu en faisant le calcul sur la fonction simplifiée en posant R1=kR2 au départ! Filtre à très faible sensibilité : cas d’un passe bande : K2 VS Ve R1 C1 C2 K1 R2 La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit :

106 FILTRAGE Si on pose R1=R2=R et C1=C2=C : Dans ces conditions :
Si K1=-K2=K et pour les grandes valeurs de Q : Finalement :

107 FILTRAGE On obtient : De plus : Soit : Finalement :
De même, la sensibilité du montage par rapport aux variations des résistances qui constituent la source commande (montage inverseur et montage non inverseur) :

108 Circuit faible sensibilité
FILTRAGE Conclusion sur la sensibilité des filtres actifs Sensibilité Nature de l’élément actif Amplificateur Opérationnel Source commandée de gain >0 de gain unité NIC de gain <0 Circuit faible sensibilité double source commandée

109 FILTRAGE Des résultats rassemblés dans le tableau précédent, on peut tirer un certain nombre de conclusion : Les filtres utilisant des INIC ont une sensibilité prohibitive ~Q2 aux variations des éléments passifs, ainsi qu’aux variations des résistances associées à l’A.Op. pour réaliser le INIC Les filtres à source commandée de gain positif (>>1) ont une sensibilité prohibitive aux variations des résistances associées à l’A.Op. pour réaliser les éléments actifs : ~QK (Q(1-K)C1/C2) Leur emploi, dans les 2 cas précédents, est à éviter lorsque Q dépasse quelques unités! Les filtres utilisant une source commandée à gain unité ont une sensibilité aux variations des éléments actifs qui est faible (A>>Q2). On pourra aller aller jusqu’à des valeurs de Q dépassant 100, suivant le domaine de fréquence et l ’A.Op. utilisé!

110 FILTRAGE La sensibilité par rapport aux variations des éléments passifs, réalisant le filtre, sont comparables à celles des filtres passifs : Considérons le filtre RLC passe bas suivant : Ve Vs Les filtres utilisant une source commandée à gain négatif ont une sensibilité très faible par rapport aux variations des éléments aussi bien actifs que passifs (A>>Q2) surtout en BF. Toutefois, ils ont un médiocre rapport signal/Bruit!

111 FILTRAGE Autres critères de choix Amplificateur Opérationnel
Source commandée de gain >0 de gain unité NIC de gain <0 Sensibilité aux variations des éléments actifs faible très forte très faible Gyrateur éléments passifs Nombre d’A.Op. 1 2 Possibilité de mise en cascade oui non Facilité de réglage moyenne bonne médiocre Stabilité électrique très bonne mauvaise

112 réglage (sensibilité)
FILTRAGE Pour les filtres polynomiaux et Cauer (zéros de transmission) Raideur de la coupure (n) Régularité du temps de groupe Déformations du régime transitoire Coefficients de surtension Nombre de composants (K) Bessel très médiocre excellente très faible très élevé Difficultés de réglage (sensibilité) très faibles faibles Butterworth médiocre bonne faible élevé Legendre moyenne moyen moyens Tchebychev forte Cauer très bonne très forte élevés

113 FILTRAGE IX - Filtres à capacités commutées 
Il est très difficile d’implanter sur un circuit intégré des résistances de forte valeur, une des solutions consiste à remplacer ces résistances par des circuits à capacités commutées :  f1 f2 R C Etude préalable : Transfert de charge entre C1 et C2 L’interrupteur est initialement ouvert, et les capacités C1 et C2 sont respectivement chargées sous les tensions E1 et E2. On suppose que E1>E2 L’interrupteur fermé à une résistance : Ron f2 C1 C2

114 FILTRAGE On note V1, la tension aux bornes de la capacité C1 et V2, la tension aux bornes de la capacité C2 : C1 se décharge dans C2 (constante de temps : Ron"C1//C2"). Conservation de charge : C1E1+C2E2=( C1+C2)U0 t UO E1 E2 V1(t) V2(t) Soit : Etude du circuit à capacités commutées Pour calculer la résistance équivalente du circuit à capacités commutées, considérons le montage suivant et montrons qu’il se comporte comme un circuit RC passe bas. f1 f2 C1 C2 E

115 FILTRAGE Cherchons à déterminer la constante de temps =RappC2 de ce circuit : Le circuit est alimenté par un générateur de tension continue E. A t=0, on a V1(0)=V2(0)=0. Les deux interrupteurs sont commandés par le même signal d’horloge, de période Tc et de rapport cyclique 1/2, mais sur les phases, f1 et f2, opposées. Un interrupteur fermé est équivalent à une résistance Ron, un interrupteur ouvert est considéré comme parfait. On suppose que les constantes de temps RonC<<Tc/2. Pendant la première 1/2 période, le premier interrupteur (f1) est fermé (on ferme E sur C1), alors que le deuxième reste ouvert. A Tc/2, on ouvre f1 et on ferme f2. On appelle U1 la tension d’équilibre à Tc, U2 la tension d’équilibre à 2Tc, … U0=0 et on obtient la formule de récurrence :

116 FILTRAGE U0=0 et Remarque :

117 FILTRAGE Remarque, on veut un passe bas : C1 << C2 Soit : V1(t)
Tc/2 Tc 3Tc/2 2Tc 5Tc/2 3Tc 7Tc/2 4Tc f1 f2 C1 C2 E C1 << C2  t Soit :

118 FILTRAGE On veut : Soit : Or C1 << C2  On en déduit :
Finalement, on obtient :

119 FILTRAGE

120 FILTRAGE Etude d’un filtre passe bas à capacités commutées
Considérons le filtre suivants : Les données constructeur nous donnent :

121 FILTRAGE Ce filtre peut-être ramené au filtre suivant :
_ + Ve VS R1 R2 -R3 R4 CA CB VI On peut donc écrire : De même : Soit :

122 FILTRAGE On en déduit : D’où :