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Filtrage - Modulation 1 FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtres actifs », Ed. Radio J. Auvray.

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1 Filtrage - Modulation 1 FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtres actifs », Ed. Radio J. Auvray : « Electronique des signaux analogiques », Dunod W.M. Siebert : « Circuits, signals and systems », Mc Graw Hill J.F. Gazin : « Filtres actifs », Manuel dapplications CIL P. Bildstein : « Filtres à capacités commutées », Techniques de lingénieur Martin Hasler & Jacques Neirynck : IV - Réseaux de Kirchoff VIII - Electronique : circuits XIX - Filtres électriques EPFL Traité délectricité éditions (aussi Dunod)

2 Filtrage - Modulation 2 FILTRAGE I - Définition dun filtre Les filtres sont destinés à sélectionner certaines bandes de fréquence dun signal. Ils modifient lamplitude et/ou la phase des composantes spectrales du signal. Ce sont généralement des circuits linéaires, dans la mesure où ils nintroduisent aucune nouvelle fréquence. Les filtres sont très utilisés dans de nombreux domaines des techniques électroniques. Citons par exemple : Radiocommunications ou télécommunications : pour délimiter le plus parfaitement possible certaines bandes de fréquences et rejeter certaines autres. Ils servent également en détection Traitement du signal : utilisation en analyse du signal (en particulier pour extraire du bruit) Electronique analogique : circuits oscillants stables et très sélectifs Asservissement électronique : systèmes bouclés à bande étroite

3 Filtrage - Modulation 3 FILTRAGE Les filtres électroniques sont des circuits qui peuvent atteindre une grande complexité. Réalisés en technologie analogique, ils nécessitent, en général, lemploi de composants de valeur très précise et très stable en fonction de la température et du temps. Une précision meilleure que 1% et une stabilité meilleure que /K sont souvent requises. Même avec de telles performances, un réglage final est souvent nécessaire pour satisfaire les exigences du gabarit (cahier des charges - spécifications). De telles contraintes apparaissent a priori incompatibles avec une réalisation en circuits intégrés, privant ce type de circuits des abaissements de coût dans les réalisations de très grandes séries. Fin des années 70, la numérisation des réseaux téléphoniques rendit urgente cette intégration sous peine de rendre prohibitif le coût dun poste téléphonique numérique dabonné. Une intense compétition sengagea dès lors pour parvenir à résoudre ce problème.

4 Filtrage - Modulation 4 FILTRAGE Trois solutions furent explorés : Filtres numériques : très performants, nécessitent des circuits complexes, donc «relativement» chers. les filtres numériques les filtres intégrés à transfert de charge les filtres à capacités commutées Filtres à transfert de charges : très prometteurs à lorigine, se sont montrés en définitive peu aptes à fournir des filtres très sélectifs. Filtres à capacités commutés : a priori les moins bien placés tant les difficultés pratiques à résoudre semblaient au premier abord nombreuses et insurmontables. Mais … cette fameuse loi de Moore!

5 Filtrage - Modulation 5 FILTRAGE II - Généralités Relation de Bayard-Bode Une fonction réelle causale est entièrement déterminée par sa partie paire (ou impaire) : Si f est causale alors f(x)=0 pour x<0 pour x>O et f(x)=2f P (x)=2f I (x) F est donc déterminée par Re[F(j )] ou Im[F(j )]

6 Filtrage - Modulation 6 FILTRAGE f(x) F (j ) = R( ) + jI( ) Avec et En inverse, on obtient : On montre que : Relation de Bayard-Bode (R et I sont les transformées de Hilbert) Même type de relation entre le module et la phase pour un système à phase minimale.

7 Filtrage - Modulation 7 FILTRAGE Un filtre est donc totalement caractérisé par son gabarit (module)! Problème : Synthèse dun filtre En fonction dune réponse fréquentielle souhaitée (gabarit), comment construire le circuit électronique qui réalise cette fonction? 1- Circuits LC passifs Encombrants et coûteux, mais peu sensibles aux variations des valeurs des composants 2- Utilisation déléments actifs Permet déliminer les selfs, mais très sensibles aux variations des valeurs des composants - Simulation de L : INIC, gyrateurs, Autres : Filtres céramiques, SAW, Filtres à capacités commutées, filtres numériques,...

8 Filtrage - Modulation 8 FILTRAGE Définition générale : Filtre est défini par sa fonction de transfert En terme de tension entrée-sortie, on parle de gain (G=Vs/Ve) ou daffaiblissement (ou datténuation) (A=Ve/Vs) En dB : A( ) = - G( ) = -20 log|H(j )| En général : H(j ) est une fraction rationnelle = rapport de deux polynômes à coefficients réels : pôles et zéros de H(j ) sont réels ou par paires conjuguées pôles à gauche de laxe imaginaire (axe j exclu) pour stabilité degré du numérateur degré du dénominateur (filtres physiques) relation de Bayard-Bode valable (causal et réel) En raison de ces propriétés, il nest pas possible de passer dune façon discontinue de la bande passante à la bande coupée. Il y a aura une transition

9 Filtrage - Modulation 9 FILTRAGE III - Filtre idéal La réalisation dun filtre nécessite la connaissance du spectre de fréquences constituant le signal utile. Le filtre idéal serait alors celui qui transmettrait toutes ces composantes sans atténuation ni déphasage, tout en éliminant les autres. Un tel filtre transmettrait le signal utile sans déformation ni retard, tout en éliminant complètement les signaux indésirables. Pour chaque filtre à réaliser, il convient de définir certains domaines de fréquences transmises sans atténuation appelées « bandes passantes » et dautres pour lesquelles latténuation serait infinie (ou tout au moins très élevée), appelées « bandes coupées ». On distingue ainsi 4 types de filtre de base : - Passe bas - Passe haut - Passe bande- Coupe bande

10 Filtrage - Modulation 10 FILTRAGE A(dB) f fCfC 0 dB A(dB) f fCfC 0 dB Filtre Passe bas Filtre Passe haut Filtre Passe bande A(dB) f 0 dB fCfC - fCfC + Filtre Coupe bande A(dB) f 0 dB fCfC - fCfC +

11 Filtrage - Modulation 11 FILTRAGE Attention : Forme plus générale = modifier le contenu fréquentiel dun signal, pas uniquement en terme de suppression-conservation! Remarque sur le passe bas idéal : A(dB) f fCfC 0 dB Rappel : Phase minimale = phase nulle x(t-t 0 ) X(j )e -j t 0 =| X(j ) |e j( ( )- t 0 ) Phase : ( )- t 0 Variation linéaire de phase Remarque : retard de groupe : H(j ) C C 1

12 Filtrage - Modulation 12 FILTRAGE Retard physique variation linéaire de phase : Arg[H(j )] Réponse impulsionnelle du filtre passe bas idéal : t h(t) i(t) t 1 1/2 1,09 H(j ) C C 1

13 Filtrage - Modulation 13 FILTRAGE Problème : Réponse impulsionnelle, h(t), non causale, durée infinie Transition brusque bande coupée - bande passante Irréalisable analogiquement! Un des buts du filtrage est dapproximer au mieux le filtre idéal Les oscillations parasites peuvent être gênantes Les besoins réels ne sont pas toujours aussi draconiens

14 Filtrage - Modulation 14 FILTRAGE IV - Filtre réel En pratique, il est donc seulement possible dapprocher plus ou moins bien le filtre idéal. Les circuits réalisables présentent les imperfections suivantes : Latténuation en bande passante nest pas nulle, elle sera seulement inférieure à une valeur limite notée A Max Latténuation en bande coupée présente une valeur finie, elle sera supérieure à une valeur limite notée A Min La transition entre la bande passante et la bande coupée ne se fait pas de façon discontinue mais de manière progressive dans une bande de transition dont les fréquences frontières seront, pour un filtre passe bas : - f a « première » fréquence coupée (atténuée) - f p « dernière » fréquence passante

15 Filtrage - Modulation 15 FILTRAGE Gabarit dun filtre Plus un filtre réel se rapproche dun filtre idéal, plus les bandes de transitions sont étroites, A Max est faible et A Min est élevée. Mais plus il devient complexe et donc coûteux! La recherche dun compromis entre des performances satisfaisantes et un coût acceptable conduit à définir un gabarit à lintérieur duquel la courbe daffaiblissement (atténuation) doit se situer pour résoudre le problème donné. Par exemple, un gabarit de filtre passe bas ou passe haut, sera entièrement défini à partir des 4 grandeurs : A Min, A Max, f a et f p. On notera quil est intéressant dintroduire une autre grandeur, appelée sélectivité et notée K, qui se déduit des grandeurs précédentes et qui exprime la raideur de la transition : Pour un filtre passe bas :

16 Filtrage - Modulation 16 FILTRAGE Filtre Passe bas Filtre Passe haut Filtre Passe bande Filtre Coupe bande A(dB) f fafa 0 dB fpfp A Min A Max f fpfp 0 dB fafa A Min A Max A(dB) f f0f0 0 dB A Min A Max fafa - fpfp - fafa + fpfp + f f0f0 0 dB A Min A Max fpfp - fafa - fpfp + fafa +

17 Filtrage - Modulation 17 FILTRAGE Sélectivité Pour un filtre passe bas : Pour un filtre passe haut : Plus le filtre réel se rapproche du filtre idéal, plus k est voisin de 1 Pour un filtre passe bande : Pour un filtre coupe bande : Largeur de bande relative : B est faible (B < 0,1) Filtre à bande étroite B > 0,5 Filtre à large bande

18 Filtrage - Modulation 18 FILTRAGE Remarque : dans le cas des filtres passe bande et coupe bande, on se restreint généralement à létude des filtres symétriques, cest à dire quils vérifient la relation suivante : Temps de propagation de groupe dun filtre Filtre Atténuation des différentes composantes spectrales du signal Mais également un déphasage à chacune de ces composantes Déphasage pouvant être variable en fonction de la fréquence Ce déphasage inégal quil fait subir aux différentes composantes spectrales comprises dans la bande passante peut entraîner une déformation gênante du signal utile.

19 Filtrage - Modulation 19 FILTRAGE Pour quun réseau électrique transmette un signal sans déformation il suffit quil lui fasse subir un retard constant 0 Pour une composante de pulsation w de ce signal, ce retard se traduit par un déphasage : = Condition suffisante pour un filtre passe bande : Phase linéaire : = +K De manière générale, pour quun filtre transmette un signal sans déformation il suffit que dans toute la bande passante : : temps de propagation de groupe La régularité du temps de propagation de groupe dans la bande passante reflète laptitude dun filtre à transmettre les signaux transitoires sans les déformer (filtres non dispersifs). Dans la pratique, on choisit la caractéristique (entre atténuation et temps de propagation) à respecter en fonction du problème posé!

20 Filtrage - Modulation 20 FILTRAGE V - Filtre prototype La connaissance du problème à résoudre permet de définir la gabarit à lintérieur duquel doit sinscrire la courbe de réponse du filtre à construire. On doit maintenant introduire 2 importantes simplification qui permettent de ramener la réalisation de nimporte quel filtre à la réalisation : - dun filtre passe bas - de fréquence de coupure unité appelé «filtre prototype» filtre passe bas normalisé Ces simplifications sont : - Normalisation des fréquences et des impédances - Transposition en fréquence Réponse en fréquence : H(p) : 1er degré (réseaux du premier ordre) 2ème degré (fonction biquadratique) Composition de formes précédentes

21 Filtrage - Modulation 21 FILTRAGE Normalisation en fréquence Cela consiste à choisir une fréquence particulière : f u Pour les filtres passe bas et passe haut : f u = f p Pour les filtres passe bande et coupe bande : f u = f 0 = Fréquence normalisée : Pulsation normalisée : Variable de Laplace normalisée : Fonction de transfert biquadratique normalisée : Définition : d=1/Q=2zQ : facteur de qualité z (ou ) : facteur damortissement

22 Filtrage - Modulation 22 FILTRAGE Fonction de transfert biquadratique normalisée : Différentes configurations possibles : abc Nature du filtre Passe bas Passe haut Passe bande Coupe bande (passe bas et passe haut) Exemple : Passe bas

23 Filtrage - Modulation 23 FILTRAGE HMHM M 1 Log( ) |H|dB maximum H M pour = M maximum existe si Remarque si Q >> 1 M # 1 >> 1 Asymptote à -40 dB/dec M = 0 courbe plate : Réponse de Butterworth

24 Filtrage - Modulation 24 FILTRAGE Normalisation des unités dimpédance On prend comme unité dimpédance une valeur particulière de R 0 ou de C 0 compatible avec le mode de réalisation du filtre et avec des valeurs réalistes des composants compte tenu de la fréquence de normalisation. Par exemple, dans le cas dun filtre passe haut du premier ordre : C R VeVe VSVS On choisira dans ce cas particulier :La fonction de transfert devient alors : On fixe alors une valeur R 0 de R et on en déduit 1 1 VeVe VSVS

25 Filtrage - Modulation 25 FILTRAGE Transposition en fréquence Le but de cette opération est de ramener létude de tous les types de filtre à l étude dun filtre passe bas normalisé. Transformation de base : Passe bas Passe haut : Passe bas Passe bande : Passe bas Coupe bande : Ces transformations peuvent sappliquer soit aux gabarits, soit aux fonctions de transfert, soit aux éléments du réseau du filtre. Les résistances et les coefficients damplification sont inchangés, une capacité se transformera en une inductance (ou inductance en série, ou parallèle avec une capacité!) transformation du gabarit et de la fonction de transfert.

26 Filtrage - Modulation 26 FILTRAGE Transposition Passe bas Passe haut Le gabarit du filtre passe bas se transforme en un gabarit passe haut, mais les trois grandeurs caractéristiques sont inchangés : K, A Min et A Max. F F a =1/K F p =1 A Min A Max F 1 K A Min A Max

27 Filtrage - Modulation 27 FILTRAGE Transposition Passe bas Passe bande Comment une valeur de la pulsation du gabarit du filtre passe bande est obtenue à partir dune valeur de la pulsation du gabarit du filtre passe bas : =0 = 1 racine positive! donc =1 La fréquence nulle du passe bas est la fréquence centrale du passe bande quelconque et 1

28 Filtrage - Modulation 28 FILTRAGE A chaque fréquence du filtre passe bas correspond deux fréquences du passe bande dont le produit vaut 1 géométriquement symétriques par rapport à la fréquence centrale normalisée du passe bande où f 0 =1. F 1/K 1 A Min A Max F 1 A Min A Max FpFp + FaFa + 1/F p + 1/F a + : Même sélectivité!

29 Filtrage - Modulation 29 FILTRAGE Transposition Passe bas Coupe bande Cette transformation est tout à fait analogue à la précédente. F 1/K 1 A Min A Max F f0f0 A Min A Max FaFa + FpFp +

30 Filtrage - Modulation 30 FILTRAGE VI - Fonctions dapproximation Nous avons montré que la réalisation de tout filtre se ramène à un filtre passe bas normalisé. Le problème est donc de trouver, pour un gabarit donné, une fonction de transfert satisfaisante, cest à dire de construire un réseau dont la courbe de réponse sinscrit à lintérieur du gabarit! On cherche une fonction mathématique, A( ) où est la pulsation normalisée, exprimant laffaiblissement du filtre à réaliser. A( ) est la fonction dapproximation. Cependant pour que la solution aboutisse à un réseau physiquement réalisable, A( ) doit satisfaire un certain nombre de contraintes. Contraintes imposées par la structure du filtre La fonction de transfert dun filtre sexprime sous la forme : Stabilité du filtre Les racines de E(p) sont dans D -

31 Filtrage - Modulation 31 FILTRAGE Stabilité du filtre Les racines de E(p) (pôles de H(p) sont à partie réelle négatives (dans D - ) (Polynômes de HURWITZ) Filtre physique degré de S(p) degré de E(p) On peut montrer que : Dans ce produit, les termes impairs séliminent! On pose A i =a i 2 et B i =b i 2. En conclusion, [A( )] 2 est : Fraction rationnelle Fonction du carré de la fréquence Degré 2n en si H(j ) est de degré n en j

32 Filtrage - Modulation 32 FILTRAGE Contraintes imposées par le gabarit Pour que le graphe de la fonction A( ) sinscrive à lintérieur du gabarit passe bas, lamplitude de A( ) doit répondre aux caractéristiques suivantes : Pour les fréquences ff a (F>1/K), A( ) doit être très élevée, ce qui veut dire que latténuation doit être très importante en bande coupée Pour des valeurs de f comprises entre f p et f a, A( ) doit augmenter rapidement depuis 1 jusquà une valeur élevée Dans tous les cas, A( ) 1 K( 2 ) est la fonction caractéristique du filtre, elle varie autour de 0 en bande passante

33 Filtrage - Modulation 33 FILTRAGE Propriétés des fonctions caractéristiques En bande passante, latténuation, exprimée en dB, doit être inférieure à A max : En bande coupée, latténuation, exprimée en dB, doit être supérieure à A min : En conclusion, la fonction caractéristique dun filtre passe bas doit satisfaire les propriétés suivantes : Fonction paire de la fréquence (cest à dire fonction de 2 ) Fraction rationnelle en 2 (dont le dénominateur est un carré) Avoir une faible valeur en bande passante < 2 Avoir une valeur élevée en bande coupée > L 2

34 Filtrage - Modulation 34 FILTRAGE Approximation de Butterworth Les filtres de Butterworth ont la propriété davoir la courbe de réponse la plus plate possible à lorigine : n : ordre du filtre Pour un filtre passe bas idéal, on a les caractéristiques suivantes : |H(j )| C 1 Arg[H(j )] C Latténuation est nulle (en dB) en bande passante, infinie en bande coupée, la phase est linéaire en bande passante, aléatoire en bande coupée.

35 Filtrage - Modulation 35 FILTRAGE La fonction de transfert H i (j ) est donc de la forme : Comment faire pour approcher au mieux cette fonction de transfert? On désire que la courbe de réponse réelle soit la plus plate possible au voisinage de =0 et F i (0)=1. On résoudra le problème dapproximation en choisissant les coefficients de G( 2 ) tels que : G(0)=1 et les n premières dérivées de G( 2 ) par rapport à 2 soient nulles. On a vu que :

36 Filtrage - Modulation 36 FILTRAGE La dérivée de G( 2 ) par rapport à 2 : Choix possible : A 1 =B 1 =0 De même pour la dérivée seconde : On peut également choisir : A 2 =B 2 =0 On peut réitérer jusquà lordre n (n premières dérivées nulles ) : - A i =B i =0 in Choix possible : A 0 =B 0 =1

37 Filtrage - Modulation 37 FILTRAGE Finalement : Le coefficient B n est déterminé par la valeur de latténuation souhaitée à =1( = c ) : On en déduit : Finalement : Les polynômes de Butterworth permettent dapproximer un filtre passe bas idéal, si lon admet un affaiblissement de 3dB à la fréquence de coupure, c = p = u et A max =3dB.

38 Filtrage - Modulation 38 FILTRAGE Résumé : Butterworth Propriétés : - module=1 (0dB) pour =0 - module=1/ 2 (-3dB) pour =1 - monotone décroissante 20n dB/dec - plate au voisinage de =0 - n Passe Bas idéal (meilleure approximation)

39 Filtrage - Modulation 39 FILTRAGE Butterworth : Réponse réelle On pose j =s : variable de Laplace réduite Pôles : XX n=1 X n=2 X X X XX n=3 X X XX

40 Filtrage - Modulation 40 FILTRAGE Les pôles de H(s)H(-s) apparaissent en paire symétrique par rapport à laxe vertical répartir les pôles entre H(s) et H(-s) H(s) doit être stable (et causal) les pôles de H(s) sont à gauche (D - ) X X X

41 Filtrage - Modulation 41 FILTRAGE X X X Remarque : Les pôles sont réels négatifs ou en paires conjuguées et racines n ième de lunité.

42 Filtrage - Modulation 42 FILTRAGE Choix de lordre du filtre de Butterworth : 1 0,1 0, On désire réaliser le filtre ayant le gabarit ci-contre : Avec 2 =2 1 = rd/s F 1 A Min =20dB A Max =0,44dB 1 2 3dB

43 Filtrage - Modulation 43 FILTRAGE

44 Filtrage - Modulation 44 FILTRAGE Approximation de Tchebychev Les filtres de Butterworth sont optimaux dans le sens où leur réponse est la plus plate possible à lorigine : Les filtres de Tchebychev sont optimisés de manière à ce que latténuation en bande passante oscille le plus grand nombre de fois possible entre 0 et A Max Limperfection que constitue latténuation résiduelle en bande passante est ainsi répartie sur toute cette bande! T n ( ) : Polynôme de Tchebychev dordre n

45 Filtrage - Modulation 45 FILTRAGE Polynômes de Tchebychev Soit h(x) lécart en amplitude entre une fonction f(x) et une fonction f i (x)=1 Comment choisir f(x) pour que |h(x)| L pour -1 x 1 ? Prenons pour h(x) un polynôme de degré n, de sorte que pour -1 x 1, h(x) atteigne (n-1) fois la valeur extrémale ±L (h(x) atteint (n+1) fois la valeur extrémale ±L si on compte les extrémités de lintervalle) L 2 -h 2 (x) aura des zéros pour tous les extremums à lintérieur de lintervalle (-1,1) et ces zéros seront doubles puisque la fonction et sa dérivée sannulent De plus, les points x= ±1 sont également des zéros de L 2 -h 2 (x) :

46 Filtrage - Modulation 46 FILTRAGE Finalement on obtient : Cette fonction correspond à un polynôme car il est possible dexprimer cos n sous la forme dun polynôme en cos Les polynômes h(x) répondant à la question sont ainsi les polynômes de Tchebychev : h(x) -1 1 x L -L Si on désigne par n le nombre, h(x) oscillera n fois entre les valeurs ±L pour -1 x 1 Soit : Les polynômes de Tchebychev sont :

47 Filtrage - Modulation 47 FILTRAGE T n (x) vérifie la formule de récurrence : Soit : Application aux filtres ER (Equal Ripple) : Ainsi latténuation variera entre 1 et 1+ 2 lorsque 0 1 Lorsque 0 1 T n ( ) varie entre -1 et 1, donc T n 2 ( ) varie entre 0 et 1

48 Filtrage - Modulation 48 FILTRAGE Soit A Max latténuation maximale en bande passante (exprimée en dB) A( ) A Max avec A Max =10log(1+ 2 ) Ainsi les fonctions dapproximation dépendent du paramètre, elles sont tabulées pour différentes valeurs de correspondant à des affaiblissements A Max de 0,1 ; 0,5 ; 1,0 ; … dB en bande passante : A Max = 0,1 dB =0,15262 A Max = 0,5 dB =0,34931 A Max = 1,0 dB =0,50884 Courbes de Tchebychev en bande passante A Max =1dB

49 Filtrage - Modulation 49 FILTRAGE Détermination des fonctions de transfert des filtres de Tchebychev Elles sobtiennent comme précédemment en recherchant les racines de A( ), cest à dire les racines de lexpression 1+ 2 T n 2 ( ) : Si P k (P=j ) sont les racines recherchées, on a : En posant

50 Filtrage - Modulation 50 FILTRAGE On en déduit : Il convient den déduire lexpression des pôles : On peut alors montrer que k et k vérifient : Cest léquation dune ellipse!

51 Filtrage - Modulation 51 FILTRAGE Remarques sur les filtres de Tchebychev Tchebychev : Tchebychev dordre 3 (Taux dondulation 3dB) : Pour avoir une fréquence de normalisation à -3dB, prenons =1. Butterworth dordre 3 : Les filtres de Tchebychev présentent un grand intérêt pratique car de tous les filtres polynomiaux, ce sont ceux qui présentent la coupure la plus raide. Toutefois, ils nont pas une très bonne régularité du temps de propagation de groupe en bande passante et leur comportement en transitoire nest pas aussi bon que celui des filtres de Butterworth.

52 Filtrage - Modulation 52 FILTRAGE Autres types de filtres polynomiaux Filtres de Legendre (Papoulis) : L n polynôme de Legendre dordre n Les filtres de Legendre correspondent à une tentative permettant de concilier laspect non ondulé en bande passante des filtres de Butterworth, et la rapidité datténuation en bande coupée des filtres de Tchebychev. Ainsi, ces filtres présentent comme les filtres de Butterworth une courbe datténuation croissante monotone, mais au lieu dêtre la plus plate possible à lorigine, elle a une pente la plus forte possible à la fréquence de coupure. Les fonctions de transfert des filtres de Legendre sobtiennent selon la méthode utilisée pour Butterworth et Tchebychev.

53 Filtrage - Modulation 53 FILTRAGE Autres types de filtres polynomiaux Filtres de Bessel (Thomson) : Ce sont des filtres polynomiaux ceux pour lesquels le critère doptimisation est la régularité du temps de propagation de groupe en bande passante. La fonction de transfert dun filtre ayant un temps de propagation de groupe de =1s sécrit : En posant : On obtient : Le dénominateur, ainsi obtenu, est un polynôme de Bessel dordre n

54 Filtrage - Modulation 54 FILTRAGE Ces polynômes ont été calculés en prenant =1s, donc pour les courbes de réponse en amplitude, latténuation à =1 sera quelconque. En fait, les fonctions de transfert sont tabulées en prenant une atténuation de 3 dB à =1. Par exemple, pour n=5, est constant jusquà 1,5 fois la fréquence de coupure à 3dB. Mais à cette fréquence latténuation nest que de 7,5 dB

55 Filtrage - Modulation 55 FILTRAGE Filtres non polynomiaux Filtres elliptiques : Filtres de Cauer Les filtres polynomiaux, étudies précédemment, ont tous une fonction caractéristique qui est un polynôme en 2 (Dénominateur D( 2 )=1). Par conséquent, pour une valeur finie de la fréquence, latténuation présente une valeur finie. Si on utilise une fonction caractéristique pour laquelle le dénominateur est un polynôme en 2, on introduit des fréquences datténuation infinie ou zéros de transmission (racines de D( 2 )=0). Lintroduction de ces zéros de transmission présente les avantages suivants : Supprimer les fréquences particulièrement indésirables, comme par exemple la porteuse dans un filtre de démodulation. Rendre la coupure dun filtre beaucoup plus raide en plaçant un zéro de transmission immédiatement après la fréquence de coupure, sans augmenter lordre du filtre.

56 Filtrage - Modulation 56 Les principaux filtres, ayant des zéros de transmission, sont les filtres de Cauer, dont les principales caractéristiques sont les suivantes : Ils possèdent la plus grand nombre possible de zéros de transmission pour un ordre n donné (n/2 zéros si n est pair, (n-2)/1 si n est impair). Ils ont une atténuation uniformément répartie aussi bien en bande passante quen bande coupée, de sorte que leur comportement se rapproche de celui dun filtre de Tchebychev FILTRAGE 0 A Max A Min a 2 p |A|dB 01 1 = 02 2 = 0k k =C ste

57 Filtrage - Modulation 57 FILTRAGE Filtres de Cauer : Rappel : 01 1 = 02 2 = … = 0k k =C ste Les fréquences i sont les racines de léquation D( 2 )=0 Les fréquences 0i sont les racines de léquation N( 2 )=0 Toutes ces racines sont des racines doubles : Ces relations montrent que la connaissance des 0i et i définit entièrement la fonction caractéristique, donc le filtre de Cauer.

58 Filtrage - Modulation 58 FILTRAGE Fonctions de transfert des filtres de Cauer : est déterminé pour que latténuation soit égale à A Max pour =1et la normalisation du passe bas est effectuée par rapport à la fréquence f p limite de la bande passante à un taux dondulation donné (comme Tchebychev) : Contrairement aux filtres polynomiaux, il est difficile de donner des tables de fonctions de transfert car elles dépendent de 3 paramètres : n, A Max et K, ou n, A Max et A Min (K : sélectivité). Il existe donc une infinité de filtres de Cauer dordre n ayant une ondulation en bande passante

59 Filtrage - Modulation 59 FILTRAGE VI - Circuits fondamentaux pour la synthèse de filtres actifs Lorsque lon utilise des montages à base damplificateurs opérationnels, au vue des valeurs des composants discrets, on peut considérer ces A.Op. comme parfaits (Z e, Z s 0 et A V ) Synthèse directe dun filtre actif à partir dun A.Op. AvAv + - VSVS VeVe [Y 1 ] [Y 2 ] Structure à contre réaction simple : C.R. en courant On peut montrer que : Le problème devient alors, comment calculer des quadripôles ayant les valeurs de Y 21 permettant dobtenir la fonction de transfert désirée?

60 Filtrage - Modulation 60 FILTRAGE Synthèse directe dun filtre actif à partir dun A.Op. Structure à contre réaction multiple ou Structure de Rauch : Remarque : Produit dimpédances (admittances) au numérateur et au dénominateur, il sera possible de réaliser des fonctions de transfert au second ordre. Le numérateur ne présente pas de somme, il sera donc impossible de réaliser une fonction « réjecteur de fréquences ». AvAv + - VSVS VeVe Y1Y1 Y3Y3 Y2Y2 Y5Y5 Y4Y4

61 Filtrage - Modulation 61 FILTRAGE Synthèse directe dun filtre actif à partir dun A.Op. Structure de Sallen & Key : Remarque : Produit dimpédances (admittances) au numérateur et au dénominateur, il sera possible de réaliser des fonctions de transfert au second ordre. Le numérateur ne présente pas de somme, il sera donc impossible de réaliser une fonction « réjecteur de fréquences ». Cest la structure de base des filtres polynomiaux. Sa fonction de transfert est donnée par : K VSVS VeVe Z1Z1 Z3Z3 Z4Z4 Z2Z2

62 Filtrage - Modulation 62 FILTRAGE Remarque : Amplificateur K (source commandée) K VSVS VeVe Z1Z1 Z3Z3 Z4Z4 Z2Z2 Cas où K=1 : VSVS VeVe R1R1 R2R2 + VSVS VeVe +

63 Filtrage - Modulation 63 FILTRAGE Convertisseur dimpédance négative : NIC Cest une forme de transformateur idéal : NIC ZLZL -kZ L NIC ZLZL Les caractéristiques du convertisseur dimpédance négative sont définies par la matrice de transfert : NIC ZLZL VeVe ieie VsVs isis V e =AV s -Bi s or V s =-Z L i s V e =-(AZ L +B)i s De même i e =-(CZ L +D)i s

64 Filtrage - Modulation 64 FILTRAGE On peut envisager toutes les formes de convertisseur dimpédance négative suivant les valeurs respectives de A et D. On sintéressera aux 2 types de convertisseurs suivants : Dans ce cas : i e =i s et V e V s (d où la conversion de tension) : Pour satisfaire cette équation (avec k>0), il suffit de prendre B=C=0 et A=-kD Convertisseur dimpédance négative en courant : INIC Convertisseur dimpédance négative en tension : VNIC Dans ce cas : i e i s et V e =V s :

65 Filtrage - Modulation 65 FILTRAGE Le schéma suivant réalise un montage INIC : VeVe R2R2 R1R1 ieie VsVs isis V0V0 VeVe R2R2 R1R1 ieie VsVs isis V0V0 RLRL Impédance négative :

66 Filtrage - Modulation 66 FILTRAGE Stabilité dun montage INIC : VeVe R2R2 R1R1 ieie VsVs isis V0V0 RLRL RGRG Instable si 1+GH<0 (pôle dans D + )

67 Filtrage - Modulation 67 FILTRAGE Stabilité dun montage INIC : Remarque R2R2 R1R1 V0V0 RGRG RLRL Stable si contre réaction sur lentrée > contre réaction sur lentrée plus

68 Filtrage - Modulation 68 FILTRAGE Synthèse directe dun filtre actif à partir dun INIC Méthode de Linvill : Cette méthode utilise un INIC placé entre 2 quadripôles caractérisés par leurs matrices impédances : Le second quadripôle étant à vide, son impédance dentrée vaut Z 11b (V=- Z 11b i) Par conséquent, limpédance dentrée du montage INIC vaut -kZ 11b VeVe [Z a ] ieie V i -kZ 11b [Z b ] VeVe VsVs isis [Z a ] ieie INIC k V i i V

69 Filtrage - Modulation 69 FILTRAGE Le second quadripôle étant à vide : V=- Z 11b i et V s =- Z 21b i La fonction de transfert de transimpédance est donc : Méthode de YANAGISAWA : VeVe [Y b ] [Y a ] INIC k VsVs VeVe [Y a ] ieie INIC k V i i V Cette méthode utilise la structure ci-dessous : Si on ne tient pas compte du quadripôle Y b on obtient :

70 Filtrage - Modulation 70 FILTRAGE VeVe [Y a ] ieie INIC k V i i V On peut donc écrire : Si on ne tient pas compte du quadripôle Y b on obtient : On en déduit la matrice admittance équivalente : La fonction de transfert du système complet sécrit donc : Cette relation est plus simple que celle obtenue pour la structure de Linvill

71 Filtrage - Modulation 71 FILTRAGE Structure de Yanagisawa simplifié : VeVe INIC k VsVs Y 2b Y 2a Y 1a Y 1b On obtient : ­ Y 21a =-Y 1a ­ Y 22a =Y 1a +Y 2a ­ Y 21b =-Y 1b ­ Y 22b =Y 1b +Y 2b La fonction de transfert sécrit alors :

72 Filtrage - Modulation 72 FILTRAGE Gyrateurs Cest un élément actif non réciproque qui a la propriété de présenter une impédance dentrée proportionnelle à linverse de limpédance de charge ZLZL VeVe ieie VsVs isis RgRg ZLZL VsVs VeVe RgRg La matrice de transfert sécrit : Oret On en déduit la relation suivante :

73 Filtrage - Modulation 73 FILTRAGE Le courant dun port est proportionnel à la tension de lautre port Cette relation est vraie : On en déduit : A=0, D=0 et B=CR g 2 On obtient ainsi : Réalisation dun gyrateur : VeVe INIC k VsVs ZLZL RgRg RgRg -R g ieie isis Limpédance de charge de lINIC : Doù :

74 Filtrage - Modulation 74 FILTRAGE Réalisation dun gyrateur, pour réaliser la résistance -R g, on utilise un INIC avec k=1 (R 1 =R 2 ) : RgRg RgRg RgRg R R R R VeVe VsVs Pour réaliser un gyrateur, on peut également utiliser le montage suivant : RgRg -R g -(R g //Z L ) Impédance dentrée :

75 Filtrage - Modulation 75 FILTRAGE Réalisation du gyrateur : RgRg -R g -(R g //Z L ) RgRg ZLZL R R VeVe VsVs R R RgRg RgRg

76 Filtrage - Modulation 76 FILTRAGE Synthèse directe dun filtre actif à partir dun gyrateur Les méthodes proposées sappuient sur un circuit constitué dun gyrateur placé entre 2 quadripôles RC, le premier est caractérisé par ses paramètres admittance, le second par ses paramètres impédance : Pour calculer la fonction de transfert : Le second quadripôle est en circuit ouvert, son impédance dentrée est donc Z 11b. Cette impédance correspond à la charge du gyrateur, par conséquent limpédance de charge du premier quadripôle est donc R g 2 / Z 11b. On peut donc écrire : isis [Y a ] ieie V V RgRg VeVe VsVs i [Z b ] i

77 Filtrage - Modulation 77 FILTRAGE Dautre part la matrice impédance du gyrateur, déduite de sa matrice de transfert nous donne : isis [Y a ] ieie V V RgRg VeVe VsVs i [Z b ] i Or -i=Y 21a V e + Y 22a V Le second quadripôle étant à vide, on peut écrire : V=-Z 11b i Soit :

78 Filtrage - Modulation 78 FILTRAGE isis [Y a ] ieie V V RgRg VeVe VsVs i [Z b ] i Le second quadripôle étant à vide, on peut écrire : Z 11b V e =Z 21b V Soit : Finalement, la fonction de transfert du système complet sécrit :

79 Filtrage - Modulation 79 FILTRAGE VII - Synthèse en cascade dun filtre actif Le principe de la méthode consiste à réaliser un certain nombre de filtres actifs élémentaires très simples dont la mise en cascade permettra dobtenir nimporte quel filtre. Décomposition de la fonction de transfert Passe Bas Si on considère la fonction de transfert des filtres passe bas polynomiaux, le numérateur est égal à 1. De plus, les racines du dénominateur de la fonction de transfert (pôles) se situent sur une courbe continue dans D - : demi cercle unité pour Butterworth, demi-ellipse pour Tchebychev. Ces racines sont toutes imaginaires conjuguées (si n est pair, si n est impair il existe une racine réelle négative -p 0 ) On peut donc regrouper les racines complexes conjuguées pour donner un un polynôme du second ordre : p 1 =- 1 +j 1 et p 1 * =- 1 -j 1

80 Filtrage - Modulation 80 FILTRAGE Lexpression de la fonction de transfert dun filtre polynomial peut donc se mettre sous la forme : On peut donc regrouper les racines complexes conjuguées : p 1 et p 1 * Cette fonction de transfert nécessite donc la mise en cascade de 2 types de filtres élémentaires

81 Filtrage - Modulation 81 FILTRAGE Un ou plusieurs filtres du second ordre : Mise en cascade de deux types de filtres élémentaires : Comme il sagit de filtres passe bas H(j )=1 pour =0, on écrira donc les fonctions de transfert élémentaires sous la forme : Un filtre du premier ordre, si n est impair :

82 Filtrage - Modulation 82 FILTRAGE Signification physique de la décomposition des fonctions de transfert Prenons comme exemple la réalisation dun filtre passe bas de Tchebychev dordre 7, avec un taux dondulation de 1 dB dans la bande passante et une fréquence de coupure f 0 =1kHz Prenons comme cellule de base la structure de Sallen et Key : 1 VSVS VeVe R0R0 R0R0 q1C0q1C0 m1C0m1C0 La fonction de transfert de cette cellule sécrit : La pulsation caractéristique de cette cellule est :

83 Filtrage - Modulation 83 FILTRAGE La fonction de transfert normalisée de cette cellule : La pulsation de normalisation du filtre de Tchebychev dordre 7 (pour l ensemble des cellules) : Normalisation en fréquence : La pulsation caractéristique de la première cellule devient :

84 Filtrage - Modulation 84 FILTRAGE La fonction de transfert de la première cellule devient : Par identification, on obtient : Rappel : Les abaques donnent pour la première cellule : Il faut traduire par :

85 Filtrage - Modulation 85 FILTRAGE On en déduit : m 1 = 0,803 et q 1 = 5,403 s 1 = 0,480 (f 1 = 480 Hz) et 1 = 0,3855 Première cellule : a 1 = 4,3393 et b 1 = 1,6061 Dun point de vue pratique, il est important de vérifier chaque cellule avant de les cascader. Il est important de placer les cellules dans lordre croissant du coefficient de surtension. Ces filtres étant très sensibles aux dispersions sur les valeurs des composants, il est plus aisé de calibrer chaque cellule : V m, F m et fi (caractéristiques fondamentales) 1 ère cellule : 4,4493s 2 +1,6061s+1 V m1 =1,40 2 ème cellule : 1,5303s 2 +0,3919s+1 V m2 =3,19

86 Filtrage - Modulation 86 FILTRAGE Réalisation de la première cellule : 1 ère cellule : 4,4493s 2 +1,6061s+1 m 1 = 0,803 et q 1 = 5,403 Pour calculer les différents éléments, on fixe R 0 (1k R 0 100k ) Prenons R 0 = 10k. On en déduit : 1 VSVS VeVe R0R0 R0R0 q1C0q1C0 m1C0m1C0

87 Filtrage - Modulation 87 FILTRAGE Tchebychev dordre 7 dondulation 1 dB : 1 ère cellule : 4,4493s 2 +1,6061s+1 2 ème cellule : 1,5303s 2 +0,3919s+1 3 ème cellule : 1,0073s 2 +0,0920s+1 4 ème cellule : 4,868s+1 On en déduit : 1 ère cellule : m 1 =0,803q 1 =5,403 2 ème cellule : m 2 =0,196q 2 =7,808 3 ème cellule : m 3 =0,046q 3 =21,878 4 ème cellule : m 4 =0,046 1 = 0, = 0, = 0,046 f 1 = 480 Hz f 2 = 808 Hz f 3 = 996 Hz V m1 = 1,40 V m2 = 3,19 V m3 = 10,91

88 Filtrage - Modulation 88 FILTRAGE Réalisation de la dernière cellule : 4 ème cellule : 4,868s+1 m 4 = 0, 046 VSVS VeVe R0R0 m4C0m4C0 On en déduit que m 4 = a 4 et Finalement f 4 = s 4 f 0 = 673 Hz

89 Filtrage - Modulation 89 FILTRAGE Réalisation dun filtre de Tchebychev dordre 7 dondulation 1 dB, f 0 =1kHz : VSVS VeVe k 12,78nF 86,02nF k 2,48nF 124,3nF k 0,73nF 348,3nF 10k 77,5nF -1dB log f Allure de la réponse

90 Filtrage - Modulation 90 FILTRAGE VIII - Sensibilité des filtres actifs Les circuits élémentaires du second ordre réalisés à partir de différents éléments actifs : A.OP., convertisseurs dimpédance, gyrateurs, permettent de réaliser des filtres dordre élevé par mise en cascade. La question se pose de savoir quel type de circuit conviendra le mieux à réaliser Stabilité des caractéristiques dun filtre actif Hormis les questions de coût, les critères de choix porteront essentiellement sur les facilités de réglage du filtre et sur la stabilité de ses performances lorsque lun ou lautre des éléments qui le constituent varie. En effet, en raison de limportance des coefficients de surtension mis en jeu, une légère variation de lun des composants peut entraîner une variation considérable de la courbe de réponse. Les études de stabilité portent sur les points suivants : - Effet de lA.OP. : stabilité par rapport à ses caractéristiques

91 Filtrage - Modulation 91 FILTRAGE Stabilité des caractéristiques dun filtre actif Les études de stabilité portent sur les points suivants : - Effet de lélément actif : stabilité par rapport aux caractéristiques de lA.OP. et stabilité par rapport aux composants passifs associés à lA.OP. pour réaliser lélément actif - Effet des éléments passifs : stabilité par rapport aux composants passifs associés à lélément actif pour réaliser le filtre Grandeurs caractéristiques des filtres du second ordre : La courbe de réponse dun filtre passe bas du second ordre est représentée sur la figure ci-contre. Une variation de lun des composants peut entraîner une légère variation de la fréquence de résonance (peu dinfluence), mais une grande variation sur de la valeur de surtension. VmVm V m fmfm f m

92 Filtrage - Modulation 92 FILTRAGE La variation de lamplitude maximale sera dautant plus importante que le coefficient de surtension sera élevé (Q=1/2 ) En conclusion, la sensibilité dun filtre élémentaire dordre 2 à une variation dun élément est dautant plus importante que son coefficient de surtension est élevé. Définition de la sensibilité : La fonction de transfert dun filtre passe bas normalisée sécrit : Sil y a surtension (fréquence de résonance) :

93 Filtrage - Modulation 93 FILTRAGE Dès que Q dépasse quelques unités, on aura : V m #Q et m # 0 On aura une bonne estimation de la sensibilité dun tel filtre en fonction de la variation de lun de ses composants X en mesurant quelle variation de Q est provoquée par une variation de X. Doù la définition de la sensibilité : : Sensibilité du coefficient de surtension à la variation dun élément X (grandeur indépendante des unités) : Sensibilité de 0 ( m dès que Q dépasse qq. unités) à la variation dun élément X

94 Filtrage - Modulation 94 FILTRAGE Sensibilité des filtres du second ordre aux variations des éléments actifs Les grandeurs caractéristiques de lélément actif susceptible de varier sont : - le gain K des sources commandées - le gain K des convertisseurs dimpédance négative - la résistance de gyration R g pour les gyrateurs - le gain A des A.OP. En pratique, il peut naître une variation damplitude et de phase, en particulier si la température varie. Nous ne nous intéresserons quaux variations damplitude qui donnent une bonne idée de la sensibilité du montage. Toutefois il est difficile de comparer par exemple S K Q et S Rg Q. Cependant, tous les éléments actifs étant constitués à laide dA.Op. il est possible détablir une comparaison valable en calculant les sensibilités par rapport à une variation du gain en boucle ouverte A du ou des A.OP.

95 Filtrage - Modulation 95 FILTRAGE Si lélément actif est réalisé par des A.Op. associés à des éléments passifs, une variation de ces derniers se traduira par une variation de lélément actif. Par exemple pour un INIC où k=R 2 /R 1, si R 1 et/ou R 2 varient alors k varie! Il convient alors de considérer 2 sensibilités par rapport aux variations de lélément actif. Calcul de la sensibilité dun filtre à source commandée à gain positif K VSVS VeVe R R C1C1 C2C2 La fonction de transfert dun tel filtre sécrit : On définit :

96 Filtrage - Modulation 96 FILTRAGE Soit : Dans le cas dun ampli de gain unité : On définit : Cette valeur peut paraître énorme, mais il faut tenir compte du gain de boucle ouverte, A, de l A.Op. et étudier : Dans le cas dun montage suiveur :

97 Filtrage - Modulation 97 FILTRAGE Pour utiliser ce montage, il convient de vérifier : A>>2Q 2 De même : On obtient : Si K 1, montage non inverseur avec R 1 et R 2 : Il faut alors calculer : On en déduit : Par exemple si Q=50 avec K=2 alors Si R 1 varie de 0,01% alors l amplitude de résonance, Q, variera de 25%!

98 Filtrage - Modulation 98 FILTRAGE Si on tient compte du gain A de lA.Op., on obtient : Filtre utilisant un A.Op. A + - VSVS VeVe RR R C1C1 C2C2 La fonction de transfert dun tel filtre sécrit : Avec :

99 Filtrage - Modulation 99 FILTRAGE Or A est très élevé (gain en boucle ouverte dun A.Op.) : De même : On définit : Soit :

100 Filtrage - Modulation 100 FILTRAGE On obtient : On définit de même : Filtre utilisant un INIC VeVe INIC k VsVs R1R1 R2R2 C1C1 C2C2 La fonction de transfert dun tel filtre sécrit : Avec :

101 Filtrage - Modulation 101 FILTRAGE On définit : En prenant k=1 et R 1 =R 2 =R : La résolution de ce système nous donne : VeVe R2R2 R1R1 ieie VsVs isis RLRL A On réalise le montage INIC de la façon suivante :

102 Filtrage - Modulation 102 FILTRAGE Dans ce cas la valeur rigoureuse du gain dimpédance négative est : Prenons pour fixer les ordres de grandeur R 1 =R 2 =R= R L : Toutefois, il convient de tenir compte de la sensibilité due aux dispersions sur les résistances R 1 et R 2 : Finalement, on obtient : Soit :

103 Filtrage - Modulation 103 FILTRAGE Sensibilité des filtres du second ordre aux variations des éléments passifs Le calcul des sensibilités S A Q et S A 0 montre quil est toujours possible de réaliser ces grandeurs à volonté par un choix judicieux des schémas et du gain en boucle ouverte A de lA.Op. Il nen sera pas de même pour les sensibilités S Z Q et S Z 0. En pratique, il ne faudra utiliser que des montages pour lesquels ces grandeurs sont raisonnablement faibles! En particulier, les condensateurs sont des éléments passifs plus coûteux et moins stables que les résistances. Une faible sensibilité à une variation de lun dentre eux sera une qualité appréciable. Attention, pour évaluer ces sensibilités, il faut prendre la précaution deffectuer les calculs avant de simplifier les termes qui s éliminent par différence!

104 Filtrage - Modulation 104 FILTRAGE Par exemple, prenons le cas du filtre à INIC suivant : VeVe INIC k VsVs R1R1 R2R2 C1C1 C2C2 La fonction de transfert dun tel filtre sécrit : Cest la somme dune fonction passe bas et dune fonction passe bande. Pour obtenir la fonction passe bas, on devra éliminer le passe bande. Les caractéristiques du passe bas sont : On obtient :

105 Filtrage - Modulation 105 FILTRAGE Si maintenant on fait R 1 =kR 2 afin dobtenir le filtre passe bas : Cette valeur peut devenir énorme dès que Q dépasse quelques unités et il est très différent du résultat quon aurait obtenu en faisant le calcul sur la fonction simplifiée en posant R 1 =kR 2 au départ! Soit : Filtre à très faible sensibilité : cas dun passe bande : K2K2 VSVS VeVe R1R1 C1C1 C2C2 K1K1 R2R2 La fonction de transfert dun tel filtre sécrit :

106 Filtrage - Modulation 106 FILTRAGE Dans ces conditions : Si on pose R 1 =R 2 =R et C 1 =C 2 =C : Si K 1 =-K 2 =K et pour les grandes valeurs de Q : Finalement :

107 Filtrage - Modulation 107 FILTRAGE On obtient : Soit : Finalement : De plus : De même, la sensibilité du montage par rapport aux variations des résistances qui constituent la source commande (montage inverseur et montage non inverseur) :

108 Filtrage - Modulation 108 FILTRAGE Conclusion sur la sensibilité des filtres actifs Sensibilité Nature de lélément actif Amplificateur Opérationnel 0 0 Source commandée de gain >0 0 Amplificateur de gain unité NIC 00 0 Source commandée de gain <0 0 Circuit faible sensibilité double source commandée 0 0

109 Filtrage - Modulation 109 FILTRAGE Des résultats rassemblés dans le tableau précédent, on peut tirer un certain nombre de conclusion : Les filtres utilisant des INIC ont une sensibilité prohibitive ~Q 2 aux variations des éléments passifs, ainsi quaux variations des résistances associées à lA.Op. pour réaliser le INIC Les filtres à source commandée de gain positif (>>1) ont une sensibilité prohibitive aux variations des résistances associées à lA.Op. pour réaliser les éléments actifs : ~QK (Q(1-K) C 1 /C 2 ) Leur emploi, dans les 2 cas précédents, est à éviter lorsque Q dépasse quelques unités! Les filtres utilisant une source commandée à gain unité ont une sensibilité aux variations des éléments actifs qui est faible (A>>Q 2 ). On pourra aller aller jusquà des valeurs de Q dépassant 100, suivant le domaine de fréquence et l A.Op. utilisé!

110 Filtrage - Modulation 110 FILTRAGE La sensibilité par rapport aux variations des éléments passifs, réalisant le filtre, sont comparables à celles des filtres passifs : Considérons le filtre RLC passe bas suivant : Les filtres utilisant une source commandée à gain négatif ont une sensibilité très faible par rapport aux variations des éléments aussi bien actifs que passifs (A>>Q 2 ) surtout en BF. Toutefois, ils ont un médiocre rapport signal/Bruit! VeVe VsVs

111 Filtrage - Modulation 111 FILTRAGE Autres critères de choix Amplificateur Opérationnel Source commandée de gain >0 Amplificateur de gain unité NIC Source commandée de gain <0 Sensibilité aux variations des éléments actifs faible très forte faible très faible Gyrateur très forte faible Sensibilité aux variations des éléments passifs faible très forte faible Nombre dA.Op Possibilité de mise en cascade oui non Facilité de réglage moyenne bonne moyenne médiocre Stabilité électrique très bonne bonne très bonne mauvaise

112 Filtrage - Modulation 112 FILTRAGE Pour les filtres polynomiaux et Cauer (zéros de transmission) Raideur de la coupure (n) Régularité du temps de groupe Déformations du régime transitoire Coefficients de surtension Nombre de composants (K) Bessel très médiocre excellente très faible très élevé Difficultés de réglage (sensibilité) très faibles faibles Butterworth médiocre bonne faible élevé faibles Legendre moyenne faible moyen moyens faibles Tchebychev bonne médiocre forte faible moyens Cauer très bonne très médiocre très forte faible élevés

113 Filtrage - Modulation 113 FILTRAGE IX - Filtres à capacités commutées Il est très difficile dimplanter sur un circuit intégré des résistances de forte valeur, une des solutions consiste à remplacer ces résistances par des circuits à capacités commutées : R C Etude préalable : Transfert de charge entre C 1 et C 2 C1C1 C2C2 Linterrupteur est initialement ouvert, et les capacités C 1 et C 2 sont respectivement chargées sous les tensions E 1 et E 2. On suppose que E 1 >E 2 Linterrupteur fermé à une résistance : R on

114 Filtrage - Modulation 114 FILTRAGE On note V 1, la tension aux bornes de la capacité C 1 et V 2, la tension aux bornes de la capacité C 2 : Soit : t UOUO E1E1 E2E2 V 1 (t) V 2 (t) C 1 se décharge dans C 2 (constante de temps : R on "C 1 //C 2 "). Conservation de charge : C 1 E 1 +C 2 E 2 =( C 1 +C 2 )U 0 Etude du circuit à capacités commutées Pour calculer la résistance équivalente du circuit à capacités commutées, considérons le montage suivant et montrons quil se comporte comme un circuit RC passe bas. C1C1 C2C2 E

115 Filtrage - Modulation 115 FILTRAGE Cherchons à déterminer la constante de temps =R app C 2 de ce circuit : Le circuit est alimenté par un générateur de tension continue E. A t=0, on a V 1 (0)=V 2 (0)=0. Les deux interrupteurs sont commandés par le même signal dhorloge, de période T c et de rapport cyclique 1/2, mais sur les phases, et, opposées. Un interrupteur fermé est équivalent à une résistance R on, un interrupteur ouvert est considéré comme parfait. On suppose que les constantes de temps R on C<

116 Filtrage - Modulation 116 FILTRAGE U 0 =0 et Remarque :

117 Filtrage - Modulation 117 FILTRAGE Remarque, on veut un passe bas : t E T c /2 TcTc 3T c /2 2T c 5T c /2 3T c 7T c /24T c V 1 (t) V 2 (t) C 1 << C 2 Soit : C1C1 C2C2 E

118 Filtrage - Modulation 118 FILTRAGE On veut : Soit : Or C 1 << C 2 On en déduit : Finalement, on obtient :

119 Filtrage - Modulation 119 FILTRAGE

120 Filtrage - Modulation 120 FILTRAGE Considérons le filtre suivants : Etude dun filtre passe bas à capacités commutées Les données constructeur nous donnent :

121 Filtrage - Modulation 121 FILTRAGE Ce filtre peut-être ramené au filtre suivant : _ + _ + VeVe VSVS R1R1 R2R2 -R 3 R4R4 CACA CBCB VIVI On peut donc écrire : De même : Soit :

122 Filtrage - Modulation 122 FILTRAGE On en déduit : Doù :


Télécharger ppt "Filtrage - Modulation 1 FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtres actifs », Ed. Radio J. Auvray."

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