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Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ch 2 Les indices Un indice est un outil de comparaison, comparaison dans le temps ou dans l'espace.

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1 Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ch 2 Les indices Un indice est un outil de comparaison, comparaison dans le temps ou dans l'espace. 3 types d'indices : les indices élémentaires une seule grandeur (grandeur simple) Ex : Indice du SMIC les indices synthétiques variation d'une grandeur complexe Ex : Indice des salaires IPC Indices boursiers les indices composites évolution de l'ens. d'un domaine éco. Ex : Indice général d'activité d'une branche industrielle Dans ce chapitre : Indices composites laissés de côté Examen des indices synthétiques Avant cela, rappel des propriétés des indices élémentaires. On considérera le cas d'indices temporels. Mais même chose pour les indices spatiaux.

2 Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti I. Les indices élémentaires On considère la grandeur x observée à dates ( 0, 1, …, n ). Il exprime la variation de x entre la date 0 et la date t. Dans cette partie, examen des propriétés des indices élémentaires. I.1. Lidentité Propriété totalement évidente : avec t quelconque. : indice de la grandeur x en t, base 100 en 0

3 Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti I.2. La transitivité ou circularité ou transférabilité Soit une grandeur observée en 3 dates ( 0, 1, 2 ), la transitivité de l'indice se traduit par : Généralisation Soit une grandeur observée aux dates ( 0, …, n ), on a (date de fin – date de départ) - 1

4 Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti 2 remarques Propriété de transitivité indices enchaînables Un indice obtenu par raccordement dindices successifs est appelé indice-chaîne. Chaque indice intermédiaire constitue un maillon. Avantage : permet d'exprimer les indices successifs dans la même base. Ex : Tableau 1.2d du ch. 1 Inconvénient : Les erreurs de calcul sur un maillon se répercutent sur la chaîne.

5 Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Propriété de transitivité Pour n'importe quelles dates t et t', on a Cette équation donne la formule permettant d'opérer un changement de base. Ce quon veut faire : transformer les indices base 100 en 1980 en indices base 100 en 2000 Il suffit de diviser chq indice par l'indice pour 2000 (base 100 en 80) et de multiplier le résultat par 100.

6 Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti I.3. La réversibilité Se déduit des propriétés d'identité et de transitivité. I.4. Propriété de lindice dun produit L'indice élémentaire d'un produit est égal au produit des indices élémentaires. Soient les variables x et y,

7 Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti On parle de réversibilité par rapport aux facteurs (I. Fisher). Propriété très intéressante, notamment quand les variables considérées sont le prix ( p ) et la quantité ( q ). prix x quantité = valeur Indice de valeur = ind. de prix x ind. de quantité On peut ainsi passer d'une évolution en volume à une évolution en valeur - et réciproquement.

8 Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Evolution de la fréquentation = évolution en volume Evolution des recettes = évolution en valeur On peut en déduire lévolution du prix de lentrée. Raisonnons en indices : i.e. augmentation de 1% du prix dentrée entre 05 et 06.

9 Ch 2 Les indices I. Les indices élémentaires Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Q° de révision du ch. précédent : De quel pourcentage la fréquentation a-t-elle varié entre 2003 et 2006 ? Et les recettes ? Réponses : +8,8% pour la fréquentation, +12,3% pour les recettes. De quel pourcentage la fréquentation a-t-elle varié par an, en moyenne, sur la période ? Et les recettes ? Réponses : +2,8% pour la fréquentation, +4% pour les recettes. Sachant que le nb d'entrées s'élevait en 06 à 188,67 millions, combien y a-t-il eu de spectateurs en 02 ? Réponses : 184,4 millions. P our le mode dobtention des résultats, voir la feuille Q° tableau 2.2 du fichier Excel des tableaux du ch. 2 sur lEPI.

10 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti II. Les indices synthétiques Ils sont utilisés pour comparer, dans le temps ou dans l'espace, les valeurs prises par une grandeur complexe. Ex de grandeur complexe : la consommation des ménages Cf. tableau 2.3 Considérons une grandeur complexe X constituée de k grandeurs "simples" : X = {x 1, x 2,…, x k }. On s'intéresse à 2 caractéristiques des x i : o leurs prix {p 1, p 2,…, p k } et o les quantités achetées {q 1, q 2,…, q k } à 2 dates différentes, 0 et n. On notera p i0 le prix de la grandeur i à la date 0, p in : son prix à la date n, q i0 la quantité achetée en 0, q in : la quantité achetée en n

11 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti On cherche à rendre compte de l'évolution de la grandeur complexe X entre 2 dates, de l'évolution de son prix et de celle de sa quantité. On peut raisonner sur la dépense globale. On calculera lindice de valeur en n, base en 0 : Il renseigne sur la ° de la dépense globale entre 0 et n. Mais il ne dit rien sur les causes de cette variation. Variation des prix ? Des quantités ? Des 2 à la fois ? Pour quelles parts ?

12 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Pour différencier effet-prix et effet-quantité, on va considérer comme fixe lune des 2 variables (prix ou quantité). Q° : A quel niveau figer les prix ou les quantités ? A leur niveau en 0 ? à leur niveau en n ? ou à leur niveau à une date intermédiaire ? II.1. Principe de construction des indices synthétiques Si lon sintéresse à la variation des prix de l'ensemble des biens considérés entre 0 et n, on va raisonner à structure de consommation donnée, i.e. on fixe les quantités consommées au niveau atteint à une certaine date t (quantités q 1t, q 2t,… q it,..., q kt ).

13 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Variation des prix entre 0 et n mesurée par l'indice : i.e. l'ind. des prix est obtenu en pondérant le prix de chaque bien par la quantité consommée de ce bien en t. De même, si lon sintéresse à la variation des quantités consommées entre 0 et n, on raisonnera à structure de prix donnée. Variation des quantités entre 0 et n mesurée par l'indice : i.e. l'ind. des quantités est obtenu en pondérant la quantité de chaque bien par son prix mesuré en t.

14 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti C'est par le choix de la date de référence t que se distinguent les 2 indices synthétiques les plus courants, l'indice de Laspeyres et l'indice de Paasche : oLaspeyres Choix de la date de départ (i.e. t = 0 ), oPaasche Choix de la date d'arrivée (i.e. t = n ). II.2. Lindice de Laspeyres Indice rétrospectif II.2.1. Lindice des prix de Laspeyres ce quauraient coûté en n les quantités consommées en 0 ce quont coûté en 0 les qu. consommées en 0

15 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ex Mesurée avec un indice de Laspeyres, lévolution du prix des viennoiseries est de + 17,5% entre 0 et 1 et de + 35% entre 0 et 2, + 15,6% entre 1 et 2. Q° : Quelle formule doit-on utiliser pour calculer L 1/0 (p) et pour obtenir L 2/0 (p) par simple recopie vers le bas ? Rép : =100*(E6*C$5+F6*D$5)/(E$5*C$5+F$5*D$5)

16 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Autre expression de l'indice des prix de Laspeyres : On peut le calculer à partir des indices de prix élémentaires et des coefficients budgétaires. Indice élémentaire du prix du bien i en n base en 0 : Coef. budgétaire du bien i en 0 : Cf. Tableau 2.3

17 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ex

18 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti L'indice des prix de Laspeyres en n, base en 0, se réécrit de la façon suivante : i.e. moyenne arithmétique des indices élémentaires de prix en n, base en 0, pondérée par les coefficients budgétaires à la date 0.

19 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ex Q° : La formule utilisée pour calculer L 1/0 (p) est =G6*E7+H6*F7 Que donne-t-elle si on la recopie vers le bas ? La formule devient =G7*E8+H7*F8 A quoi correspond-elle ? A rien. En particulier, elle ne donne pas L 2/1 (p). Pour calculer cet indice, il faudrait connaître les indices élémentaires de prix en 2 base 100 en 1. On peut les déduire des indices base 100 en 0 : I 2/1 (p) = 100x I 2/0 (p)/ I 1/0 (p) = 120 pour les croissants, 109,1 pour les brioches On a alors L 2/1 (p) = 0,6x ,4x109,1 = 115,6.

20 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti II.2.2. Lindice des quantités de Laspeyres Autre expression de l'indice des quantités de Laspeyres à partir odes indices de quantité élémentaires et odes coefficients budgétaires. i.e. moyenne arithmétique des indices élémentaires de quantité en n, base en 0, pondérée par les coef. budgétaires à la date 0. ce quauraient coûté en 0 les quantités consommées en n ce quont coûté en 0 les qu. consommées en 0

21 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ex Q° : Quelle formule permet de calculer L 1/0 (q) et dobtenir L 2/0 (q) par simple recopie vers le bas a. à partir des données brutes ? b. à partir des ind. élém. et des CB ? Rép a. =100*(E$5*C6+F$5*D6)/(E$5*C$5+F$5*D$5) ou =100*SOMMEPROD(E$5:F$5;C6:D6)/SOMMEPROD(E$5:F$5;C$5:D$5) b. =G$17*C18+H$17*D18 ou =SOMMEPROD(G$17:H$17;C18:D18)

22 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti II.3. Lindice de Paasche Indice prospectif II.3.1. Lindice des prix de Paasche Autre expression de l'indice des prix de Paasche à partir des indices de prix élémentaires et des coef. budgétaires : i.e. moyenne harmonique des indices élémentaires de prix en n, base en 0, pondérée par les coef. budgétaires à la date n. ce quont coûté en n les quantités consommées en n ce quauraient coûté en 0 les qu. consommées en n

23 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti II.3.2. Lindice des quantités de Paasche Autre expression de l'indice des quantités de Paasche à partir des ind. de quantité élémentaires et des coef. budgétaires. i.e. moyenne harmonique des indices élémentaires de quantité en n, base en 0, pondérée par les coef. budgétaires à la date n. ce quont coûté en n les quantités consommées en n ce quauraient coûté en n les qu. consommées en 0

24 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ex : Calcul dindices de Paasche à partir des données brutes

25 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Ex : Calcul dindices de Paasche à partir des indices élémentaires et des coef. budgétaires

26 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti II.4. Comparaison des indices de Laspeyres et de Paasche Le calcul d'une série d'indices de Paasche demande plus de données que celui d'une série d'indices de Laspeyres (dans la même base). oPaasche Les pondérations changent à chaque nouvelle date considérée ( t+1, t+2… ) oLaspeyres Pondérations fixes (pondération par les valeurs à la date de base) Les calculs de Laspeyres et de Paasche aboutissent à des valeurs différentes. 2 explications : oType de moyenne utilisé (Cf. relation dordre entre les moyennes vue au ch. précédent) oSituation de référence choisie Ex. de M.L. Levy ("Les indices", Cahiers Français, mars-avr 1988)

27 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Illustration : La mesure de linflation Si lindice des prix à la consommation est oun indice de Laspeyres, surestimation de linflation (biais de substitution) oun indice de Paasche, sous-estimation. En France, lIPC utilisé pour mesurer linflation est un indice de Laspeyres. Mais les pondérations sont actualisées tous les ans par lINSEE. Enjeu socio-économique de lIPC : il sert à indexer un certain nombre de revenus. Indexer un revenu sur lIPC = revaloriser ce revenu en fonct° de lévol° de lindice de sorte que son pouvoir dachat soit préservé. Pour déterminer lévol° du pouvoir dachat dun revenu (i.e. évol° du revenu réel), on rapporte la ° du revenu nominal à la ° des prix.

28 Ch 2 Les indices II. Les indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Tableau 2.5 De 06 à 07, le Smic horaire brut a augmenté de 2,1%, i.e. a été multiplié par 1,021 alors que lIPC (hors tabac) a augmenté de 1,3%, i.e. a été multiplié par 1,013. Entre 06 et 07, le pouvoir dachat du Smic horaire brut a donc été multiplié par 1,021/1,013 = 1,007, i.e. a augmenté de 0,7%. De 07 à 08, le Smic horaire brut a varié comme lIPC (+3,2%). Le pouvoir dachat du Smic horaire brut na donc pas évolué entre 07 et 08. Rq sur IPC utilisé (ménages urbains, chef ouvrier ou employé)

29 Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti III. Propriétés des indices synthétiques Propriété didentité : oui Mais aucune des 3 autres propriétés vues au I supra. III.1. Les indices de L. et de P. ne sont pas transitifs Considérons le cas dun Laspeyres des prix. Même chose pour les autres indices. Cette non-transitivité (ou non-transférabilité) des indices de L. et de P. pose un pb pour leur raccordement en cas de changement de base.

30 Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Illustration avec lIPC (indice de Laspeyres) Depuis 1970, l'INSEE actualise les pondérations tous les ans. Les indices de prix sont publiés dans une base commune, actuellement la base Comment exprimer les indices successifs dans une même base (base 1998) ? Comme les indices de Laspeyres ne sont pas transférables, L 99/98 x L 00/99 ne donne pas L 00/99 x 100 (par exemple). La solution retenue par l'INSEE est de faire comme si les indices étaient transférables. Les indices publiés par l'INSEE qui sont exprimés dans une base commune sont des indices de Laspeyres chaînés. Ce ne sont pas de vrais indices de Laspeyres, ce sont des chaînes de Laspeyres.

31 Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Par ex., l'indice fourni par l'INSEE pour rendre compte de l'évolution des prix à la C° entre 1998 et 2007 est un indice- chaîne de Laspeyres (ou Laspeyres chaîné, noté LC ) obtenu en multipliant 9 maillons successifs : Inconvénients des indices-chaînes : o Conservent les éventuelles erreurs de calcul faites sur un maillon. o Surtout, leur significat° éco. est floue. Intérêt : o Intègrent les modifications successives => Atténuent le biais de substitut° (cf. supra). o Par construction, les indices-chaînes sont transférables. Même chose pour les indices de Paasche

32 Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti III.2. Les indices de L. et de P. ne sont pas réversibles Ni par rapport aux situations considérées, ni par rapport aux facteurs. III.2.1. Non-réversibilité par rapport aux situat° considérées Mais on constate que le dénominateur est égal à P n/0 (p) / 100. On a donc De même,

33 Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Par suite, si on multiplie un indice de Laspeyres par un indice de Paasche, on obtient un indice réversible par rapport aux situations considérées. Indice de Fisher : moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche : Indice assez complexe à calculer ; peu utilisé.

34 Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti III.2.2. Non-réversibilité par rapport aux facteurs Le Laspeyres d'un produit n'est pas égal au produit de Laspeyres. Idem pour Paasche. Considérons le produit pxq. Produit des Laspeyres des prix et des quantités : Laspeyres du produit : On voit immédiatement que les 2 ne correspondent pas.

35 Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti Mais on montre très facilement que l'indice de valeur peut s'écrire comme le produit croisé d'indices de Laspeyres et de Paasche : 2 décompositions de la variation en valeur, 2 évaluations différentes de l'effet-prix et de l'effet-quantité Ex : Tableau 2.4 L 2/0 (p). P 2/0 (q) / 100 = 135,0 x 166,7 / 100 = 225,0 i.e. laugm° en valeur de 125% se décompose en une augm° des prix de 35% et une augm° des quantités de 66,7%. P 2/0 (p). L 2/0 (q) / 100 = 138,5 x 162,5 / 100 = 225,0 i.e. laugm° en valeur de 125% se décompose en une augm° des prix de 38,5% et une augm° des quantités de 62,5%.

36 Ch 2 Les indices III. Propriétés des indices synthétiques Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti III.3. Les indices de L. et de P. sont agrégeables En tant que moyenne arithmétique dans un cas, harmonique dans l'autre, les indices de Laspeyres et de Paasche possèdent la propriété d'agrégation. Ex Propriété dagrégation Lindice des prix de Laspeyres de lensemble du poste Habillement et chaussures sobtient à partir des ind. de Laspeyres de chaque catégorie. Il est égal à leur moyenne arithmétique pondérée, pondérat° par la part de chq catégorie dans le budget H&C. L sept08 (prix H&C) = 0,808x104,5 + 0,192x110,2 = 105,6

37 Ch 2 Les indices Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti PLAN du chapitre I. Les indices élémentaires I.1.I.1. Lidentité I.2.I.2. La transitivité I.3.I.3. La réversibilité I.4. I.4. Propriété de lindice dun produit II. II. Les indices synthétiques II.1.II.1. Principe de construction des indices synthétiques II.2.II.2. Lindice de Laspeyres II.2.1. II.2.1. Lindice des prix de Laspeyres II.2.2. II.2.2. Lindice des quantités de Laspeyres II.3.II.3. Lindice de Paasche II.3.1. II.3.1. Lindice des prix de Paasche II.3.2. II.3.2. Lindice des quantités de Paasche II.4. II.4. Comparaison des indices de Laspeyres et de Paasche

38 Ch 2 Les indices Statistique & Informatique – L1 Sc Eco – Patricia Vornetti III. III. Les propriétés des indices synthétiques III.1.III.1. Les indices de L. et de P. ne sont pas transitifs III.2.III.2. Les indices de L. et de P. ne sont pas réversibles III.2.1. III.2.1. Non-réversibilité par rapport aux situations considérées III.2.2. III.2.2. Non-réversibilité par rapport aux facteurs III.3.III.3. Les indices de L. et de P. sont agrégeables


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