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Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés.

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1 Cours COMPOSANTES DES VECTEURS 1

2 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés. La multiplication par un scalaire et ses propriétés. La définition dun espace vectoriel. Laction des vecteurs sur les points.

3 Aujourdhui nous allons voir 3 Les «atomes» dun espace vectoriel. Une façon décrire les vecteurs qui simplifie les calculs.

4 4 Exemple: 2 3 Quels sont la longueur et langle du vecteur somme de ces deux vecteurs? a angle alterne-interne loi des cosinus loi des sinus

5 5 Hum... pas la joie! Bon... on nimagine même pas faire ça dans lespace! Le cours daujourdhui sert à mettre en place les outils nécessaires pour rendre cette tâche beaucoup plus simple.

6 6 Définition: où leset les. Une combinaison linéaire déléments dun espace vectoriel réel est nimporte quelle expression de la forme:

7 7 Définition: Un ensemble de vecteurs non nuls dun espace vectoriel est dit linéairement indépendant si aucun dentre eux nest combinaison linéaire des autres. Sinon, on dit quils sont linéairement dépendants.

8 8 Exemple: Les trois vecteurs suivants sont linéairement dépendants car

9 9 Vérifier si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant nest pas une mince affaire! Le théorème qui suit permet de faire cette vérification beaucoup plus simplement.

10 10 Théorème: Un ensemble de vecteurs, non nuls, est linéairement indépendant C.-à-d. ( ) La seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.

11 11 Preuve: Si sont linéairement indépendants, supposons quil existe une combinaison linéaire avec au moins un des, prenons Ce qui contredit lhypothèse que les vecteurs étaient linéairement indépendants. Donc, ça cest faux! On veut linverse de ça.

12 12 Preuve: Si sont linéairement indépendants, Ce qui contredit lhypothèse que les vecteurs étaient linéairement indépendants. La seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.

13 13 Si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0, supposons que les vecteurs sont linéairement dépendants. On veut linverse de ça. Il existe donc un vecteur qui est combinaison linéaire des autres. Puisque, au moins un des Ce qui contredit lhypothèse que la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0. Donc ça cest faux! Preuve (suite):

14 14 Si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0, sont linéairement indépendants. Les vecteurs Preuve (suite): Il existe donc un vecteur qui est combinaison linéaire des autres. Puisque, au moins un des Ce qui contredit lhypothèse que la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.

15 15 Sur une droite Tous les vecteurs sont linéairement dépendants dun vecteur ayant la même direction que la droite.

16 16 Dans le plan Au plus, deux vecteurs peuvent être linéairement indépendants. 16

17 17 Dans lespace Au plus, trois vecteurs peuvent être linéairement indépendants.

18 18 Faites les exercices suivants p.25 # 1, 2 et 3

19 19 Définition: Une base dun espace vectoriel est un ensemble de vecteurs non nuls linéairement indépendants tel que tout vecteur peut sécrire comme combinaison linéaire déléments de.

20 20 Remarque: La condition que ces vecteurs soient linéairement indépendants assure que le sous-ensemble est le plus petit possible. Une base dun espace affine est une base de son espace vectoriel sous-jacent. Le but dune base est de pouvoir décrire tous les vecteurs dun espace vectoriel à laide dun petit sous-ensemble de.

21 21 Définition: La dimension dun espace vectoriel est le nombre déléments dune de ses bases. On note la dimension de,. Gros problème! Quest-ce qui nous assure que toutes les bases dun espace vectoriel ont la même taille? Moi!

22 22 Définition: Une base ordonnée dun espace vectoriel est une base de cet espace quon a mis dans un certain ordre.

23 23 Définition: dun espace vectoriel et soit un vecteur de cet espace. On a Soit, une base ordonnée Et on écrit alors Les composantes de selon la base sont

24 24

25 25 Théorème: sont uniques. Soitet, une base ordonnée de. Les composantes de dans la base

26 26 Mais puisque est une base, ces vecteurs sont linéairement indépendants et donc, par le dernier théorème, on a que Supposons quon ait deux écritures pour, doù Donc, les deux écritures étaient les mêmes. Preuve:

27 27 Corollaire: Proposition mathématique ou logique qui se déduit immédiatement dune proposition qui vient dêtre démontrée. Soit et, deux vecteurs écrits dans la même base. Alors pour

28 28 Opérations sur les composantes. une base de,Soit et Multiplication par un scalaire Donc

29 29 Somme de vecteurs Ça lair un peu trop arrangé avec le gars des vues! Donc

30 30 Multiplication par un scalaire Somme de vecteurs

31 31

32 32 Faites les exercices suivants p.26 # 4 à 6

33 33 Aujourdhui, nous avons vu Les ensembles de vecteurs linéairement indépendants. Une base dun espace vectoriel. La dimension dun espace vectoriel. Les composantes dun vecteur par rapport à une base ordonnée.

34 34 Devoir: p. 25, # 1 à 14


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