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Méthode du Simplex (Dantzig) La forme standard – A différencier de : La forme canonique – Inégalités ( ; ) – Recherche de Maximum pour et Minimum pour.

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1 Méthode du Simplex (Dantzig) La forme standard – A différencier de : La forme canonique – Inégalités ( ; ) – Recherche de Maximum pour et Minimum pour La forme mixte – Egalités en plus (=) – Recherche de Maximum et de Minimum – Transformation des formes canoniques et mixte : Tout doit être sous forme dégalités Il y a des règles de transformation

2 Méthode du Simplex (Dantzig) Règles de transformation – Inégalités Exemple : x 1 + x 2 6 Apparition dune variable décart (VE) supposée 0 Mesure pour chaque variable de base (qte de produits) de lécart entre les disponibilités et les consommations prévues (x 1 et x 2 ) dans notre plan (Ouf!) Application à lexemple : x 1 + x 2 + e 3 = 6

3 Méthode du Simplex (Dantzig) Règles de transformation – Inégalités Exemple : x 1 + x 2 6 Apparition dune variable décart (VE) supposée 0 Et dune variable artificielle (VA) de même signe que le second membre (ici + 6) Son rôle : rattraper la condition impossible «e 3 = - 6» puisque e 3 est supposée 0 ! Application à lexemple : x 1 + x 2 - e 3 + e 4 = 6 La solution initiale recherchée comprendra : – 3 variables Hors Base :x 1 =0 ; x 2 =0 ; e 3 =0 – 1 variable dans la Base :e 4 =6

4 Méthode du Simplex (Dantzig) Règles de transformation – Egalités = Exemple : x 1 + x 2 = - 6 Une unique variable artificielle (VA) de même signe que le second membre (ici - 6) Application à lexemple : x 1 + x 2 - e 3 = - 6 La solution initiale recherchée comprendra : – 2 variables HB :x 1 =0 ; x 2 =0 – 1 variable B :e 3 = - 6

5 Méthode du Simplex (Dantzig) Obtention de la fonction économique Γ – Chaque VE => 0.VE (Recherche de Max ou Min) – Chaque VA => ± M. VA +M.VA si recherche dun minimum - M.VA si recherche dun maximum M : très grand positif (Hors Base) – > Donne une VA nulle à la solution finale (non prise en compte) Remarque : – Les VE issues de contraintes = ou sont HB

6 Critères de Dantzig Premier critère : la Ve – Recherche de minimum Variable entrante = HB au plus petit coeff strictement négatif dans Γ Complément : sans coeff <0 mais un nul : elle est Ve – Recherche de maximum Variable entrante = HB au plus grand coeff strictement positif dans Γ Complément : sans coeff >0 mais un nul : elle est Ve – Remarque : à la main, exprimer Γ en fonction des variables HB (coeffs comprenant des M)

7 Critères de Dantzig Deuxième critère : la Vs – Recherche de minimum ou de maximum – R = R/Ve Ve = Var entrante trouvée précédemment R = Valeur du second membre de chaque variable B – Vs = plus petite valeur positive dans R Correspond au coefficient le plus mineur parmi les variables B après intégration de la Ve

8 Critères de Dantzig Complément sur les règles – Si un coeff nul apparait dans R (disparition dune var B) = ε petit >0 Donc R = ε/aijaij : coeff appartenant à la Ve SSI a ij > 0 – Si aucun terme de R nest > 0 mais quil en existe un nul Il est pris en compte Appelé dégénérescence du problème (plusieurs bases admissibles peuvent avoir un même point extrême) – Si tous les coefficients de R sont strictement négatifs Lalgorithme est fini : la zone admissible des solutions (ZAS) nest pas bornée !


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