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Les quadrilatères plans. Une classification objective.

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1 Les quadrilatères plans. Une classification objective

2 Francis Buekenhout, Charlotte Bouckaert, Claude Culus, Monique Fréderickx, Annie Goovaerts, Jacqueline Sengier.

3 Plan A.Introduction B.Critères de classification. C.Démarche suivie. D.Classification E.Synthèse.

4 A. Introduction Harpons du paléolithique ancien et moyen

5 pointe de flèche –40000

6 Autres exemples datant de la préhistoire. pointe de flèche pédonculée à ailerons (Mancey) – L. 2,5 cm pointe de flèche néolithique

7 Exemples contemporains Des deltaplanes

8 Dans la nature Un bec doiseauDétail:

9 Papillons

10 B. Critères de classification. Un quadrilatère est nommé à partir De son groupe dautomorphismes, un sous-groupe du groupe diédrique D 8. De lintersection de ses diagonales (segments diagonaux). lintersection de ses côtés (non consécutifs).

11 C. Démarche suivie. 1.Partir du groupe D 8 des automorphismes du carré et classer ses sous-groupes dun point de vue combinatoire. 2.Faire correspondre une famille de quadrilatères à chaque sous-groupe obtenu. 3.Comparer les quadrilatères dune famille par les critères dintersection des diagonales et des côtés. 4.Classer et étiqueter les quadrilatères obtenus à partir de lensemble de ces critères.

12 Le groupe diédrique,D 8 Nous nous intéressons au groupe des automorphismes du carré. Il sagit du groupe D 8

13 Voici lillustration à laide de CABRI de quelques composées de 2 éléments du groupe D 8. D8compos.fig (Pour ouvrir le lien: cliquer bouton droit et « ouvrir le lien ».) Actions du sous-groupe Z 4 sur le carré. Z4 carré.fig

14 Les 8 éléments du groupe D 8 Isométrie du carré (1234) Identité: i 2 symétries orthogonales daxe une médiane: Sm1 ou Sm2 2 symétries orthogonales daxe une diagonale: Sd1 ou Sd2 La symétrie p.r. au centre du carré Une rotation de ¼ autour du centre du carré ou une rotation de ¾ autour du centre du carré Élément combinatoire correspondant (1)(2)(3)(4) (12) (34) ou (14) (23) (13) (2) (4) ou (24) (1) (3) (13) (24) (1432) ou (1234)

15 C. Classification des sous-groupes de D 8 D8 Z2XZ2 {i,(12)(34),(14)(23),(13)(24)} Deux Z2 {i,(12)(34)} ou {i,(14)(23)} Z2 {i,(13)(24)} i Z2XZ2 {i,(1)(24)(3), (13)(2)(4),(13) (24)} Deux Z2 {i,(1)(24)(3)} ou {i,(13)(2)(4)} Z 4 {i,(1234),(1432),(13)(24)}

16 Le sous-groupe Z 1 : {i}. i autorise nimporte quel quadrilatère. Identité.figIdentité.fig

17 Le critère des diagonales permet de distinguer des quadrilatères convexes et des non convexes.

18 Le critère des côtés permet de distinguer des quadrilatères papillons et des non papillons

19 Papillons

20 Nous appelons bec tout quadrilatère qui nest ni convexe ni papillon Remarque: il est impossible quun quadrilatère soit à la fois convexe et papillon

21 Dans la nature Un bec doiseauDétail:

22 Les 2 sous-groupes Z 2 : {i,(1) (3) (24)} ou {i,(2) (4) (13)} Contraintes imposées aux quadrilatères conservés par (1) (2) (3) (4) et par (1) (3) (24) Pour chaque position quelconque de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions: |14| =|12| et |34| = |32| donc 4 est à lintersection de deux cercles, il ne peut occuper quune position car 2 occupe lautre. sym diagonale Q.fig

23 Exemples des quadrilatères obtenus Delta-plane Cerf-volant

24 Exemples contemporains Des deltaplanes

25 Autres exemples datant de la préhistoire. pointe de flèche pédonculée à ailerons (Mancey) – L. 2,5 cm pointe de flèche néolithique

26 Les 2 sous-groupes Z 2 {i,(12)(34)} ou {i,(14)(23)} Contraintes imposées aux quadrilatères conservés par (1) (2) (3) (4) et par (12) (34). Pour chaque position quelconque de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions: |14| =|23| et |24| = |13| donc 4 est à lintersection de deux cercles, il peut occuper 2 positions. sym médiane Q.fig

27 Exemples des quadrilatères obtenus Trapèze isocèle Papillon parallélogramme (14) (23) et i Papillon trapèze isocèle à côtés parallèles

28 Le sous-groupe Z 2 {i,(13)(24)} Contraintes imposées au quadrilatère par (13)(24): Pour chaque position de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions: |14| =|32| et |34| = |12| donc 4 est à lintersection de deux cercles, il ne peut occuper quune position car 2 occupe lautre. sym centrale Q.fig

29 Exemples des quadrilatères obtenus Papillon trapèze isocèle à diagonales parallèles. Parallélogramme

30 Le sous-groupe Z 2 XZ 2 ou 2 2 {i,(1)(24)(3), (13)(2)(4),(13) (24)} Le sous-groupe est engendré par (1)(24)(3) et (13)(2)(4) Contraintes imposées au quadrilatère par |12| = |23| = |34| = |41| sym 2 diagonales Q.fig

31 Exemple des quadrilatères obtenus Losange

32 Le sous-groupe Z 2 XZ 2 ou 2 2 {i,(12)(34),(14)(23),(13)(24)} Ce sous-groupe est engendré par (12)(34) et (14)(23) Contraintes imposées au quadrilatère par (12)(34) et (14)(23): Pour chaque position de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions: |14| =|32| et |34| = |12|. De plus |24|=|13| donc 4 est à lintersection de trois cercles. sym 2 médianes Q.fig

33 Exemples des quadrilatères obtenus Papillon rectangle Rectangle

34 Le sous-groupe Z 4 {i,(1234),(1432),(13)(24)} Contraintes imposées au quadrilatère. 4 angles superposables donc droits et 4 côtés superposables donc isométriques. sous grp Z4.fig

35 Exemple des quadrilatères obtenus Carré

36 a) par des symboles D. Synthèse. Les pages précédentes dûment démontrées nous permettent de conclure que le groupe diédrique D 8 peut se représenter : Z 2 XZ 2 1 Z 4 deux Z 2 Z 2 deux Z 2 D 8

37 Trapèze isocèle Papillon trapèze isocèle à côtés parallèles Papillon parallélogramme carré losange Cerf-volant Delta-plane Quadrilatère convexe quelconque Papillon quelconque Quadrilatère bec Rectangle Papillon rectangle Parallélogramme Papillon trapèze isocèle à diagonales parallèles b) par des mots Remarquons quun quadrilatère de type A est déclaré cas particulier d'un quadrilatère de type B si le groupe des automorphismes du type B est sous-groupe de celui de A. Par exemple, un rectangle est un trapèze isocèle mais nest pas un delta-plane.

38 c) par des dessins :

39 (1,2,3,4) ; (1,4,3,2) ; (1,2)(3,4) ; (1,4)(2,3) ; (1,3)(2,4) ; (1)(2,4)(3) ; (2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4) (1,2,3,4) ; (1,4,3,2) ; (1,3)(2,4) ;(1)(2)(3)(4) (1,2)(3,4) ; (1,4)(2,3) ; (1,3)(2,4); (1)(2)(3)(4) (1,3)(2,4) ; (1)(2,4)(3) ; (2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4) (1,2)(3,4) ; (1)(2)(3)(4) (1,4)(2,3) ; (1)(2)(3)(4) (1,3)(2,4), (1)(2)(3)(4) (2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4) (1)(2)(3)(4) (1)(2,4)(3) ; (1)(2)(3)(4) d) par des automorphismes

40 e) Synthèse par des photos

41 Les 14 types de quadrilatères. 3 quadrilatères quelconques conservés par lidentité: convexes, papillon ou bec. 3 quadrilatères autorisant la permutation de 2 paires de sommets consécutifs: trapèze isocèle, papillon trapèze isocèle à côtés parallèles ou papillon parallélogramme. 2 quadrilatères autorisant la permutation de 2 paires de sommets opposés: parallélogramme ou papillon trapèze isocèle à diagonales parallèles. 2 quadrilatères fixant 2 sommets opposés et permutant les deux autres: cerf-volant ou delta-plane. 2 quadrilatères autorisant la permutation de 2 fois 2 paires de sommets consécutifs: rectangle ou papillon rectangle. 1 quadrilatère autorisant la permutation de 2 fois 2 paires de sommets opposés: losange. 1 quadrilatère autorisant la permutation cyclique des 4 sommets: le carré.

42 Pavage du plan On peut paver le plan avec un quadrilatère convexe quelconque. un quadrilatère bec quelconque. pavages.fig

43 Bibliographie -[1] Francis Buekenhout, Charlotte Bouckaert, Claude Culus, Monique Fréderickx. La fleur chinoise : un avatar du cube Dossier du CeDoP – -[2] Olivier Keller Aux origines de la géométrie – Le Paléolithique – Le monde des chasseurs-cueilleurs. Vuibert – [3] Francis Buekenhout, Jean Doyen. Espaces euclidiens. Presses Universitaires de Bruxelles – [4] Francis Buekenhout, Jean Doyen. Ensembles structurés et groupes de symétries. Université Libre de Bruxelles [5]Francis Buekenhout, Charlotte Bouckaert, Claude Culus, Monique Fréderickx, Annie Goovaerts, Jacqueline Sengier Les quadrilatères gauches – Dossier du CeDoP –http://www.ulb.ac.be/docs/cedop/index_12.html (En préparation). - [6]Annie Goovaerts. Classification des quadrilatères à partir de leurs axes de symétrie Dossier du CeDoP :

44 Les détails de notre recherche peuvent être consultés sur le site de lUREM: Merci de votre attention.


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