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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027. Les erreurs sur les calculs par ordinateur u Représentation des nombres réels u Types derreurs u Epsilon de.

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2 Les erreurs sur les calculs par ordinateur u Représentation des nombres réels u Types derreurs u Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs dune représentation u Propagation des erreurs u Approximation de fonctions par série de Taylor u Travail pratique no. 1

3 Représentation des nombres réels u Représentation des réels courts (32 bits) selon la norme de lIEEE S Caractéristique Mantisse

4 Représentation des nombres réels u Représentation des réels longs (64 bits) selon la norme de lIEEE S Caractéristique Mantisse

5 Représentation des nombres réels u Un réel court en virgule flottante (S,C,M) a sa valeur décimale N donnée par S: bit de signe C: caractéristique M: mantisse

6 Représentation des nombres réels u Représentation sous forme dun réel court du nombre 87,125 u Après normalisation

7 Représentation des nombres réels u Représentation sous forme dun réel court du nombre 87,125 Mantisse avec le 1 implicite Exposant Mantisse entreposée Caractéristique

8 Représentation des nombres réels u Représentation sous forme dun réel court du nombre 87,

9 Types derreurs u Erreur absolue et erreur relative –Supposons que nous approximons un nombre x par x –Les erreurs absolue et relative sont données par

10 Types derreurs u Erreur absolue et erreur relative –Supposons que nous approximons par = –Si la valeur de = , les erreurs absolue et relative sont données par Lapproximation est précise à 4 décimales près Avec 5 chiffres significatifs

11 Types derreurs u Erreur darrondi –Ce type derreur survient lorsque nous emmagasi- nons des nombres dans un espace physique (mé- moire) de dimension finie –Ce type derreur fait donc référence à la représenta- tion des nombres dans lordinateur

12 Types derreurs u Erreur darrondi –Considérons laddition de 2 réels chacun avec 15 bits significatifs

13 Types derreurs u Erreur darrondi –Alignement de b

14 Types derreurs u Erreur darrondi –Arrondissement du résultat

15 Types derreurs u Erreur de troncature –Ce type derreur survient quand par exemple nous utilisons un nombre de termes finis pour faire lapproximation dune série infinie (ex: série de Taylor) –Lutilisation d un algorithme avec un nombre ditérations discrets peut aussi causer ce type derreur

16 Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs dune représentation u Lorsque nous effectuons laddition de 2 nombres réels le plus petit des 2 est décalé ce qui occasionne une perte de précision u Dans des cas extrêmes il peut arriver que le plus petit nombre nai aucune signifiance dans le calcul, ayant été décalé complètement vers la droite u Le nombre de décalages maximum que peut subir un nombre avant quil nai plus de signifiance corres- pond au nombre de chiffres significatifs de la repré- sentation

17 Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs dune représentation u Le plus petit nombre signifiant dune représenta- tion est appelé epsilon de la machine u Ce nombre représente la plus petite valeur de x pour laquelle 1+x>1

18 Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs dune représentation u Algorithme qui trouve le epsilon de la machine et le nombre de chiffres significatifs (cas binaire) eps=1 n=0 TTQ 1+eps>1 FAIRE eps = eps/2 n++ FIN TTQ eps = eps * 2 n = n-1 imprimer eps et n

19 Propagation des erreurs u Lorsque une opération telle que laddition est répétée il peut survenir un phénomène de propaga- tion des erreurs darrondis u Alors la sommation suivante peut dans certain cas ne pas donner 1

20 Propagation des erreurs u De plus, lordre des sommations a aussi une influence sur la propagation des erreurs u Par conséquent les 2 sommations suivantes devraient donner la même valeur mais ce nest pas le cas quand N est le moindrement grand

21 Propagation des erreurs u Algorithme de sommation successive saut = 1/N somme = 0 POUR i = 1 à N FAIRE somme = somme + saut FIN POUR imprimer somme et erreur (1-somme)

22 Propagation des erreurs u Algorithme de sommation ascendant somme = 0 POUR i = 1 à N par saut de 1 FAIRE somme = somme + 1/i n FIN POUR imprimer somme

23 Propagation des erreurs u Algorithme de sommation descendant somme = 0 POUR i = N à 1 par saut de -1 FAIRE somme = somme + 1/i n FIN POUR imprimer somme

24 Approximation de fonction par série de Taylor u Le développement en série de Taylor premet de faire lapproximation de fonctions suffisamment différentiables u Nous pouvons évaluer la valeur dune fonction dans le voisinage dun point de référence par

25 Approximation de fonction par série de Taylor u Lerreur de troncature découlant du développe- ment en série de Taylor avec n termes dérivés est donnée avec sa borne supérieure par

26 Approximation de fonction par série de Taylor u Pour la fonction cosinus avec a = 0 et un intervalle des valeurs de h [0, /2] et n=4

27 Approximation de fonction par série de Taylor u Pour la fonction cosinus, lerreur de troncature est bornée par le premier terme de la série omis, cette erreur de troncature est bornée par (n=4)


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