PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

2 Les erreurs sur les calculs par ordinateur
Représentation des nombres réels Types d’erreurs Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs d’une représentation Propagation des erreurs Approximation de fonctions par série de Taylor Travail pratique no. 1

3 Représentation des nombres réels
Représentation des réels courts (32 bits) selon la norme de l’IEEE S Caractéristique Mantisse

4 Représentation des nombres réels
Représentation des réels longs (64 bits) selon la norme de l’IEEE S Caractéristique Mantisse

5 Représentation des nombres réels
Un réel court en virgule flottante (S,C,M) a sa valeur décimale N donnée par S: bit de signe C: caractéristique M: mantisse

6 Représentation des nombres réels
Représentation sous forme d’un réel court du nombre 87,125 Après normalisation

7 Représentation des nombres réels
Représentation sous forme d’un réel court du nombre 87,125 Mantisse avec le 1 implicite Exposant Mantisse entreposée Caractéristique

8 Représentation des nombres réels
Représentation sous forme d’un réel court du nombre 87,125

9 Types d’erreurs Erreur absolue et erreur relative
Supposons que nous approximons un nombre x par x’ Les erreurs absolue et relative sont données par

10 Types d’erreurs Erreur absolue et erreur relative
Supposons que nous approximons  par ’=3.1416 Si la valeur de = , les erreurs absolue et relative sont données par L’approximation est précise à 4 décimales près Avec 5 chiffres significatifs

11 Types d’erreurs Erreur d’arrondi
Ce type d’erreur survient lorsque nous emmagasi-nons des nombres dans un espace physique (mé-moire) de dimension finie Ce type d’erreur fait donc référence à la représenta-tion des nombres dans l’ordinateur

12 Types d’erreurs Erreur d’arrondi
Considérons l’addition de 2 réels chacun avec 15 bits significatifs

13 Types d’erreurs Erreur d’arrondi Alignement de b

14 Types d’erreurs Erreur d’arrondi Arrondissement du résultat

15 Types d’erreurs Erreur de troncature
Ce type d’erreur survient quand par exemple nous utilisons un nombre de termes finis pour faire l’approximation d’une série infinie (ex: série de Taylor) L’utilisation d ’un algorithme avec un nombre d’itérations discrets peut aussi causer ce type d’erreur

16 Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs d’une représentation
Lorsque nous effectuons l’addition de 2 nombres réels le plus petit des 2 est décalé ce qui occasionne une perte de précision Dans des cas extrêmes il peut arriver que le plus petit nombre n’ai aucune signifiance dans le calcul, ayant été décalé complètement vers la droite Le nombre de décalages maximum que peut subir un nombre avant qu’il n’ai plus de signifiance corres-pond au nombre de chiffres significatifs de la repré-sentation

17 Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs d’une représentation
Le plus petit nombre signifiant d’une représenta-tion est appelé epsilon de la machine Ce nombre représente la plus petite valeur de x pour laquelle 1+x>1

18 Epsilon de la machine et nombre de chiffres significatifs d’une représentation
Algorithme qui trouve le epsilon de la machine et le nombre de chiffres significatifs (cas binaire) eps=1 n=0 TTQ 1+eps>1 FAIRE eps = eps/2 n++ FIN TTQ eps = eps * 2 n = n-1 imprimer eps et n

19 Propagation des erreurs
Lorsque une opération telle que l’addition est répétée il peut survenir un phénomène de propaga-tion des erreurs d’arrondis Alors la sommation suivante peut dans certain cas ne pas donner 1

20 Propagation des erreurs
De plus, l’ordre des sommations a aussi une influence sur la propagation des erreurs Par conséquent les 2 sommations suivantes devraient donner la même valeur mais ce n’est pas le cas quand N est le moindrement grand

21 Propagation des erreurs
Algorithme de sommation successive saut = 1/N somme = 0 POUR i = 1 à N FAIRE somme = somme + saut FIN POUR imprimer somme et erreur (1-somme)

22 Propagation des erreurs
Algorithme de sommation ascendant somme = 0 POUR i = 1 à N par saut de 1 FAIRE somme = somme + 1/in FIN POUR imprimer somme

23 Propagation des erreurs
Algorithme de sommation descendant somme = 0 POUR i = N à 1 par saut de -1 FAIRE somme = somme + 1/in FIN POUR imprimer somme

24 Approximation de fonction par série de Taylor
Le développement en série de Taylor premet de faire l’approximation de fonctions suffisamment différentiables Nous pouvons évaluer la valeur d’une fonction dans le voisinage d’un point de référence par

25 Approximation de fonction par série de Taylor
L’erreur de troncature découlant du développe-ment en série de Taylor avec n termes dérivés est donnée avec sa borne supérieure par

26 Approximation de fonction par série de Taylor
Pour la fonction cosinus avec a = 0 et un intervalle des valeurs de h [0,/2] et n=4

27 Approximation de fonction par série de Taylor
Pour la fonction cosinus, l’erreur de troncature est bornée par le premier terme de la série omis, cette erreur de troncature est bornée par (n=4)