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Benoit ROUBERT. Unité de base : Qubit - Electron : spin U/D - Atome avec deux niveaux d énergie: fondamental/excité - Photon : polarisé horizontalement/verticalement.

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1 Benoit ROUBERT

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3 Unité de base : Qubit - Electron : spin U/D - Atome avec deux niveaux d énergie: fondamental/excité - Photon : polarisé horizontalement/verticalement Bit VS Qubit Théorie de linformation quantique 1980 Feynman, Benett, Benioff, Deutsch Théorie de linformation 1940 Shannon, Turing Mécanique quantique Planck, Bohr, Schrödinger, Pauli, … BitQubit Système quantique présentant deux niveaux distincts Linformation quantique

4 Pour de nombreux problèmes : meilleurs efficacité algorithmes quantiques Factorisation dun nombre (Shor) Problème du sous-groupe caché (Simon) Résolution de systèmes déquations linéaires (Loyd) Accélérations potentiellement exponentielles Quelle est la nature des ressources physiques qui permettent cette accélération ? InterférenceIntrication

5 Etudier deux problèmes dintérêt pour linformation quantique - Clonage dun qubit et le rôle joué par linterférence - Amplification de spin - Cloneurs sans interférence : se situent entre les cloneurs parfaitement quantiques/cloneurs classiques - Amplification de spin dans des chaînes de grand nombre de spin Situations semi-classiques Lien entre les deux problèmes Dans les deux cas on sintéresse à reproduire linformation dun qubit initial (sur un seul, ou sur une très grande quantité de qubits). Problématique de la thèse

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7 Impossible de cloner parfaitement : Théorème de non-clonage Nature probabiliste dun état quantique Avant deffectuer une mesure, le système nexiste dans aucun état classique en particulier (interprétation de Copenhague) 1982 : Wootters – Zurek Définition du clonage Classique : copie de létat classique (~ photocopie) Quantique : copie de létat quantique (matrice densité)

8 Fidélité simple Fidélité moyenne : Vecteur initial Matrices densités réduites : : Matrice densité totale dun système à 2 qubits Sphère de Bloch

9 Cloneurs universels / symétriques / optimaux Cloneurs classiques / quantiques [1] : M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki. : Phys. Rev. A, 60, 1888 (1999) [2] : V. Buzek and M. Hillery. : Phys. Rev. A, 54, 1844 (1996) Fidélités moyennes maximales pour des cloneurs symétriques universels Pour les cloneurs classiques : [1] Pour les cloneurs quantiques : [2] Cloneur universel : Cloneur symétrique : Classiques : Ne propagent que les termes diagonaux des matrices densités Quantiques : Propagent les termes diagonaux et les cohérences des matrices densités Cloneur optimal : fidélités maximales autorisées

10 A et B peuvent être échangés Même forme Cloneur symétrique et universel Matrices densités réduites Fidélités Définition Valeur maximale pour un clonage quantique symétrique et universel

11 Propagateur dune matrice densité Traduit le passage Propriétés attendues dune mesure dinterférence -Quelle mesure le degré de cohérence de la propagation -Quelle mesure léquipartition de la propagation -Quelle dépende de la base dans laquelle lon se place Mesure dinterférence [I] [I] : D.Braun, B.Georgeot – Quantitative measure of interference Phys. Rev. A 73, , (2006)

12 Opération de Reshuffling Lien matrice dynamique – Propagateur : Propriétés de Hermitienne : Bloc – positive : Conserve la normalisation de :

13 Forme générale dune matrice dynamique dinterférence nulle Fidélités moyennes Interférence : Fonctions linéaires des éléments

14 Pas accès aux cohérences Seuls les termes diagonaux des matrices densités (probabilités) sont reliés entre eux Définition Fidélités moyennes dun clonage classique Bloc-positivité de Conditions de normalisation

15 , : Fonctions linéaires des éléments matriciels : Matrice hermitienne, bloc-positive : grand nombre déléments indépendants Problème Condition supplémentaire : positive Problème de programmation semi-définie Qui assure quun extremum local est également global Données Problème doptimisation convexe pour un donné Trouver qui optimise pour un donné

16 Frontière noire : Matrice dynamique pour le cloneur symétrique optimal Domaine gris foncé : Point rouge : Cloneurs meilleurs que les cloneurs classiques Cloneur symétrique optimal Domaine convexe grisé : Fidélités moyennes minimales et maximales pour un cloneur sans interférence Ensemble convexe de cloneurs sans interférence possédant une matrice dynamique positive B.Roubert, D.Braun –Phys. Rev. A, 78, (2008) Role of interference in quantum cloning

17 Problème de programmation semi-définie Trouve extrema globaux Nassure pas leur unicité 10 valeurs propres non nulles Ses V.P. forment une matrice réelle orthogonale dans la base computationnelle Propriétés de Forme de dans la base des vecteurs propres de Sous-espace des v.p. non nulles Sous-espace des v.p. nulles

18 Problème : Trouver, restent identiques Conditions normalisation conservées reste positive : Matrice dynamique optimale perturbée

19 Possible de construire à tout un continuum de cloneurs quantiques - asymétriques universels clonant mieux que classiquement - optimaux symétriques universels Cloneurs sans interférence étudiés : cas semi-classiques Linterférence nest pas une ressource indispensable pour cloner mieux que classiquement

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21 Détection Mesure de son état Transfert spatial Problèmes importants pour les systèmes à 1 spin

22 [I] : Rugar et al. - Single spin detection by magnetic resonance force microscopy - Nature, (2004) Plus petits éléments de volume : (spins nucléaires) (spins électroniques) Limite de résolution : 1 µm MFRM Capable de détecter un spin unique Force très faible : newton DETECTIONMESURE Un point quantique Un électron dans deux états possibles Un réservoir de potentiel électrochimique Si électron dans état ES peut par effet tunnel sortir du point quantique Mesure de létat de charge du point quantique : Absence/présence de lélectron IRM [I]

23 [I] : S.Bose - Quantum Communication through an Unmodulated Spin Chain - Phys. Rev. Lett. 91,20 (2003) Principe de lexpérience Conditions de transfert parfait [II] : M.Christandl et al. - Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks - Phys. Rev. Lett. 92, 18 (2004) Laisse évoluer le système librement suffisamment longtemps A un moment t Bob mesure l'état de son spin (intriqué avec la chaîne) Alice souhaite transférer son spin à Bob Chaîne de Heisenberg (J cts) initialisée dans létat down Problème Protocole [I] [II] N

24 Amplification de spin Philosophie Effets de bords Caractère semi-classique

25 Résonance Problème : Détection et mesure de l état dun spin unique = véritable chalenge Solution : Amplifier létat du spin + Mesurer létat macroscopique correspondant Méthode : Systèmes à effet de domino quantique Etat GHZ Exemple pour une chaîne linéaire de N spins Objet de mesureAmplificateur Modèle de Lee-Khitrin [1] : Lee, Khitrin : Stimulated wave of polarization in a 1D dimensional Ising chain : Phys. Rev. A., 71, (2005) Chaîne de spins : temps adimensionné : amplitude du champs irradiant [I]

26 Concernant lamplification de spin : Pas détudes sur limportance des effets de bords Chaînes de spins : présence/absence dun simple couplage Concernant le transfert de spin : Beaucoup détudes sur les effets géométrie/topologie Chaînes ouvertes/fermées Chaînes traversées ou non par des flux magnétiques Structures étoiles 1D/3D Effets de bords importants Approche semi-classique : Justifiée en raison du grand nombre de spins On ne conserve que les chemins classiques qui contribuent de façon privilégiée aux dynamiques observées Comportements macroscopiques très différents La plupart du temps : s'évanouissent dans la limite thermodynamique

27 Modèle physique de Lee-Khitrin Lien transfert/amplification

28 Chaîne d Ising 1D + Interactions entre plus proches voisins uniquement Irradiée à résonnance par un champs faible transverse monochromatique Modèle physique : : Différence dénergie entre le niveau fondamental et excité dun spin isolé : Amplitude du champs irradiant : Constante de couplage entre plus proches voisins Hamiltonien séculaire Dynamique

29 Hamiltonien Dynamique : spins Pour avoir des tailles de bases identiques : spins Dynamique induite par dans la base des

30 Systèmes étudiés Bases importantes

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34 Etats, : Etats miroirs spins down consécutifs dont le dernier en position Etats : Etats

35 Comparaison des systèmes /

36 Polarisations individuelles Polarisations totales moyennes

37 Dispersion dun modèle de liaisons fortes 1D Pour une même taille de base Pour une même taille de chaîne Seule différence notable : dégénérescence des v.p. pour

38 Hamiltonien Dynamique

39 Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) On reconnaît lhamiltonien dun modèle de liaisons fortes pour une chaîne 1D ouverte On reconnait un modèle de liaisons fortes pour une chaîne 1D fermée Valeurs propres – Vecteurs propres

40 A partir v.p. /V.P. analytiques : expression analytique des propagateurs : Propagateur en terme de fonctions de Bessel Approximation du propagateur : temps faibles

41 Approximation semi-classique de la fonction de Bessel Comportement linéaire de la polarisation totale : phase accumulée le long des chemins classiques Au voisinage du point tournant Approximation WKB seffondre Fonction de Airy

42 Comparaison des systèmes /

43 Hamiltonien Dynamique

44 Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) Valeurs propres –vecteurs propres : Obtenus par diagonalisation numérique

45 Polarisations totales moyennes Polarisations individuelles

46 Comparaison des systèmes / /

47 Polarisations totales moyennesFidélités totales de polarisation

48 Dispersion suivant un modèle de liaisons fortes 1D Pentes finies en bornes de spectre Fortes dégénérescence au centre du spectre

49 Dimension des bases Relation de dispersion des spectres Polarisations totales moyennes Fidélités totales de polarisation Différences macroscopiques de comportement entre les différents systèmes Différences entre / et / Présence ou non de couplages supplémentaires donne accès aux bases des états miroirs Différences entre et : et

50 Qui présentent des effets de bords très importants Pour lesquels on peut réaliser une approximation semi-classique Qui proposent une solution au problème détection/mesure spin unique Chaînes de spins = systèmes

51 Deux cas semi-classiques : Clonage sans interférence Amplification de spin dans les chaînes de spins [I] [II] [I] : B.Roubert, D.Braun – PRA 78, (2008) Role of interference in quantum cloning [II] : B.Roubert, P.Braun, D.Braun - PRA 82, (2010) Large effects of boundaries on spin amplification in spin chains Poursuites intéressantes : Peut-on cloner de façon optimale sans interférence pour des cloneurs à M qubits ? Peut-on exploiter les résultats obtenus dans lamplification pour des mesures de précisions ? Que se passe-t-il si lon inclut dans l étude de linterférence le cloneur lui-même ?

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