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428-348 av. J.-C. Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Platon.

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1 av. J.-C. Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Platon

2 Platon est né en 428 av. J.-C. à Athènes. Notes biographiques Il est mort au même endroit en 348 av. J.-C.

3 Platon est né à lépoque de la mort de Périclès. Disciple de Socrate, il se retira à Mégare lorsque celui-ci fut condamné à boire la ciguë (vers 399). Notes biographiques Le désir de sinstruire le pousse à voyager et vers ~390, il se rend en Égypte, puis à Cyrène, où il reçoit lenseignement du mathématicien Théodore, dont il devait faire un des interlocuteurs du Théétète. De Cyrène, il passe en Italie, où il se lie damitié avec les Pythagoriciens Philolaos, Archytas et Timée. À leur contact, il approfondit ses connaissances en arithmétique, en astronomie et en musique. Après son séjour en Italie, il se rend en Sicile, visite Catane et lEtna puis retourne à Athènes, vraisemblablement en ~388, et fonde une école de philosophie, lAcadémie, à limage des sociétés pythagoriciennes.

4 Voyages de ~390 à ~388 Italie, Tarente Sicile, Catane, Etna Égypte Cyrène Retour à Athènes

5 Platon doit aux pythagoriciens lidée de léternité de lâme, qui devait devenir la pierre angulaire de sa philosophie. Cette idée lui fournit la solution du problème de la connaissance. La connaissance Pour Platon, lâme est immortelle et elle a la possibilité de contempler le monde des Idées entre chaque réincarnation. La connaissance est obtenue en retrouvant le souvenir de ces Idées, cest la réminiscence. Lextrait suivant du Timée illustre sa solution. Mais, si nous proposons des explications qui ne sont pas des images plus infidèles quune autre, il faut nous en contenter, en nous souvenant que moi qui parle et vous qui êtes mes juges sommes dhumaine nature, de sorte que, si, en ces matières, on nous propose un mythe vraisemblable, il ne sied pas de chercher plus loin.

6 Socrate lui répond : Parfait Timée, il faut absolument souscrire aux conditions que tu viens de poser. La connaissance En donnant son assentiment, Socrate accepte le postulat de Platon à leffet que la connaissance est simplement une réminiscence. Cela signifie quil accepte également les conclusions qui en découleront. Un postulat est un principe dun système déductif qui ne peut être utilisé dans un raisonnement sans lassentiment de linterlocuteur. Pour Platon, il nest nul besoin dautres preuves que la vraisemblance de lexplication puisque cest par la rémi- niscence que lon parvient aux Idées. Lexplication quil va donner de la création de lUnivers est obtenue de cette façon.

7 Ménon de Platon Dans le Ménon, Platon utilise un problème comme exemple pour illustrer sa théorie de la réminiscence. Ce problème est le suivant : Construire un carré dont laire est le double de celle dun carré donné. Dans son dialogue, Platon met en scène Socrate et un esclave et, pour faciliter la réflexion, il considère un carré de deux unités de côté. Socrate encourage lesclave à proposer des solutions et à les critiquer. La première solution envisagée est celle de reproduire le carré sur ses côtés. Par ses questions, Socrate amène lesclave à rejeter cette solution.

8 Ménon de Platon Lesclave propose alors de construire un carré dont le côté est une fois et demie celle du carré donné. Les questions de Socrate amènent le rejet de cette solution et une troisième est proposée qui se révèle être la bonne. Ce problème est à notre portée, ce qui nest pas le cas de lunivers. Le but de Platon dans ce dialogue est de nous convaincre de sa théorie de la Réminiscence. Pour lui, lÂme a contemplé le monde des Idées entre deux réincarnations et cest ce souvenir du monde des Idées que lesclave retrouve en découvrant la solution. en nous souvenant que moi qui parle et vous qui êtes mes juges sommes dhumaine nature, de sorte que, si, en ces matières, on nous propose un mythe vraisemblable, il ne sied pas de chercher plus loin.

9 La création Ainsi donc, conformément à une explication qui nest que vraisemblable, il faut dire que notre monde, qui est un vivant doué dune âme pourvue dun intellect a, en vérité, été engendré par suite de la décision réfléchie dun dieu. Pour Platon, lUnivers est un organisme vivant doté dune âme et dune intelligence. Cette conception de lUnivers ne sera remplacée quau XVII e siècle avec le développement de la mécanique et la fabrication des premières horloges mécaniques. Cest évidemment corporel que doit être le monde engendré, cest-à-dire visible et tangible. Or, sans feu rien ne saurait devenir visible; et rien ne saurait devenir tangible sans quelque chose qui soit solide; or rien ne saurait être solide sans terre. De là vient que cest avec du feu et avec de la terre que le dieu, lorsquil commença de le constituer, fabriqua le corps du monde.

10 La création Dans cet extrait, Platon explique pourquoi la terre et le feu, deux des éléments dEmpédocle dAgrigente, ont été utilisés pour construite lUnivers. Mais il nest pas suffisant davoir des éléments pour construire, il faut lier les éléments entre eux. Cest ce quexplique Platon dans le paragraphe suivant : Mais deux éléments ne peuvent seuls former une composition qui soit belle, sans lintervention dun troisième; il faut en effet, entre les deux un lien qui les réunisse. Or, de tous les liens, le plus beau, cest celui qui impose à lui-même et aux éléments quil relie lunité la plus complète, ce que, par nature, la proportion réalise de la façon la plus parfaite. Chaque fois que de trois nombres quelconques, que ces nombres soient entiers ou en puissance, celui du milieu est tel que ce que le premier est par rapport à lui, lui-même lest par rapport au dernier;

11 La création Les Pythagoriciens ont consacré beaucoup de leur temps à létude des proportions. Pour eux, les rapports entre les nombres décrivent la façon dont lUnivers est construit. Dans une proportion, les moyens (médiétés) sont un lien entre les extrêmes. Platon a recours à cette notion de médiété (nous dirions aujourdhui moyens proportionnels et moyenne pro- portionnelle) pour expliquer le rapport liant les éléments feu et terre. Ce rapport justifie lexistence des deux autres éléments dEmpédocle : leau et lair. et inversement quand ce que le dernier est par rapport à celui du milieu, celui du milieu lest par rapport au premier, celui du milieu devenant alors premier et dernier, le dernier et le premier devenant à leur tour moyens, il en résulte nécessairement que tous se trouvent être dans une relation didentité, et que, parce quils se trouvent dans cette relation didentité les uns par rapport aux autres, ils forment tous une unité.

12 La création Cela dit, si le corps de lunivers avait dû être une surface, dépourvue de toute profondeur, une seule médiété eut suffi à établir un lien entre les autres termes qui laccompagnent et lui-même. Il convenait que ce monde fut un solide et, en ce qui concerne les solides, ce nest jamais une seule médiété, mais toujours deux qui établissent une proportion. Voilà bien pourquoi le dieu, ayant placé au milieu entre le feu et la terre, leau et lair, et ayant introduit entre eux, autant que cétait possible, le même rapport, qui fasse ce que le feu est à lair, lair le soit à leau, et que ce que lair est à leau, leau le soit à la terre, a constitué à laide de ces liens un monde visible et tangible. Laccord quil manifeste, il le tient de la proportion géométrique; et les rapports instaurés par cette proportion lui apportent lamitié, de sorte que, rendu identique à lui-même, il ne peut être dissous par personne dautre que par celui qui a établi ces liens.

13 Médiété, nombres plans Selon Platon, le monde est constitué de quatre éléments. Pourquoi quatre? Il y a dabord lélément terre, car lunivers est tangible puis lélément feu car lunivers est visible. Pour réunir ces deux éléments, il en faut au moins un autre qui définira le rapport entre les deux premiers. Sil y avait seulement trois éléments, lUnivers serait un plan et non un solide. Pourquoi? Parce que pour construire une proportion avec des nombres plans, il suffit de trois termes, qui constituent alors la proportion suivante : Dans cette proportion, le terme ab est la médiété ou moyenne proportionnelle. Pour Platon, elle lie les deux autres termes.

14 Médiété, nombres plans Ces trois termes sont reliés par le développement binomial suivant : Dans la construction géométrique basée sur ces trois éléments, il y aura donc une unité de a 2, deux de ab et une de b 2. Cette construction est donnée ci-contre: On constate donc quune construction géométrique ne comportant que deux éléments et une médiété est plane. Cependant, lunivers nest pas plan, il est solide (tri- dimensionnel). Il ne peut donc être constitué de seulement trois éléments. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

15 Médiété, nombres solides Deux moyennes géométriques sont nécessaires pour relier deux nombres solides (tridi- mensionnels. comme on le constate en simplifiant les rapports de la proportion. Ainsi, pour construire un Univers solide (tridi- mensionnel), il faut quatre composantes qui sont : a 3, a 2 b, ab 2, b 3. Ainsi, entre les nombres soli- des a 3 et b 3, on doit avoir les médiétés a 2 b et ab 2, en effet :

16 Médiété, nombres solides Ces quatre termes sont reliés par le développement binomial suivant : LUnivers doit donc être constitué de quatre éléments, soit: terre, eau, air et feu, dont le rapport est : (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Dans la construction géométrique basée sur ces quatre éléments, il y aura donc une unité de a 3, trois de a 2 b, trois de ab 2 et une de b 3. Cette construction est donnée ci-contre:

17 Forme de lunivers LUnivers est donc constitué de quatre éléments, mais quelle est sa forme ? Quelle est sa figure ? Comme figure, il lui donna celle qui lui convenait et qui lui était apparentée. Au vivant qui doit envelopper tous les vivants, la figure qui pourrait convenir, cétait celle où sinscrivent toutes les autres figures. Aussi est-ce la figure dune sphère dont le centre est équidistant de tous les points de la périphérie, une figure circulaire, quil lui donna comme sil travaillait sur un tour –figure qui entre toutes est la plus parfaite et la plus semblable à elle-même– convaincu quil y a mille fois plus de beauté dans le semblable que dans le dissemblable.

18 Forme de lunivers Platon a de nouveau recours à la géométrie pour décrire la forme de lUnivers. Cest la sphère, figure parfaite qui a servi pour concevoir le plan de lUnivers. Tel fut au total le plan du dieu [...]. En conformité avec ce plan, il fit un corps lisse et uniforme, en tout point équidistant de son centre, un corps complet, un corps parfait constitué de corps parfaits. [...] Il a ainsi constitué un ciel circulaire entraîné bien entendu dans un mouvement circulaire, un ciel unique, seul de son espèce, solidaire, mais capable en raison de son excellence de vivre en union avec lui-même, sans avoir besoin de quoi que ce soit dautre, se suffisant à lui-même comme connaissance et comme ami.

19 Triangles Platon sintéresse également aux solides que lon peut construire à partir de triangles élémentaires. On commencera par la première espèce, celle qui est la plus petite par sa composition; elle a pour élément le triangle dont lhypo- ténuse a une longueur double du plus petit côté. Ce triangle rectangle est également connu pour avoir un angle aigu qui est le double de lautre. En écriture moderne,un angle de 30° et lautre de 60°.

20 Triangles Si on juxtapose deux triangles de cette sorte par leur hypoténuse, Platon veut, à laide des triangles, montrer comment a été engendrée la structure des atomes de feu, dair, deau et de terre. et si on répète lopération trois fois en faisant se rejoindre les hypoténuses et les petits côtés en un même point comme en un centre, on engendre un triangle équilatéral unique à partir de triangles élémentaires au nombre de six.

21 Tétraèdre Quatre de ces triangles équilatéraux forment, à raison de trois angles plans, un seul angle solide celui qui vient juste après le plus obtus des angles. Platon veut, à laide des triangles, montrer comment a été engendrée la structure des atomes de feu, dair, deau et de terre. Et lorsque quatre de ces angles sont formés, se trouve constituée la première espèce de solide qui divise un tout sphérique en parties égales et semblables.

22 Octaèdre La seconde espèce est constituée à partir des mêmes triangles, qui sunissent par groupes de huit triangles équilatéraux pour former un seul angle solide à partir de quatre angles plans. Et quand se constituent six angles de ce genre, le second corps se trouve à son tour réalisé.

23 Icosaèdre La troisième espèce est formée par lagrégation de cent vingt triangles élémentaires, de douze angles solides, chacun de ces angles étant délimité par cinq triangles plans équilatéraux, et elle a vingt faces qui sont autant de triangles équilatéraux. Le premier des triangles élémentaires fut laissé de côté quant il eut engendré ces solides.

24 Pavage du plan Le triangle équilatéral permet dengendrer seulement trois solides réguliers. Le premier, en regroupant trois triangles par sommet, est le tétraèdre. Le deuxième, en regroupant quatre triangles par sommet, est loctaèdre. Le troisième, en regroupant cinq triangles par sommet, est licosaèdre. En regroupant six triangles par sommet, on obtient un hexagone qui, reproduit, donne un pavage du plan.

25 Triangle isocèle rectangle Pour sa part, le triangle isocèle engendre la nature du quatrième corps, qui est constitué de quatre triangles isocèles, quon réunit en un centre par leurs angles droits et qui forment un seul quadrilatère équilatéral;

26 Hexaèdre Lorsque six surfaces de ce genre se sont agrégées, elles ont donné naissance à huit angles solides dont chacun est constitué de trois angles plats, qui sont des angles droits. La figure du corps ainsi constituée fut celle du cube, qui a six faces planes, rectangulaires, équilatérales. En regroupant quatre carrés en un même point, on nobtient pas un solide mais un début de pavage du plan par des carrés.

27 Dodécaèdre Le dodécaèdre est formé de douze faces pentagonales regroupées par trois en chacun des sommets. Il restait une seule construction, la cinquième; le dieu sen servit pour lunivers, lorsquil y peignit des figures animales.

28 Les cinq corps réguliers Les cinq solides décrits par Platon sont appelés corps réguliers de Platon. Ce sont les seuls corps dont toutes les faces sont identiques. Il existe cependant des corps semi- réguliers. Il nest pas possible de regrouper plus de trois pentagones en un même sommet. De plus, les pentagones peuvent former des pavages semi-réguliers, mais ne peuvent former de pavages réguliers.

29 Forme des éléments Et ces genres, dont nous venons de décrire la naissance, distribuons-les entre le feu, la terre, leau et lair. À la terre donc, attribuons la forme du cube. Car, de ces quatre éléments, la terre est celui qui est le plus difficile à mouvoir, et le plus plastique des corps; et nécessairement cest celui qui a les bases les plus stables, qui possède le plus ces qualités. Or, entre les triangles dont nous avons supposé lexistence à lorigine, la base qui est formée de côtés égaux est par nature plus stable que celle qui est formée de côtés inégaux; et en même temps, en ce qui concerne la surface équilatère constituée à partir de chacun deux, le carré constitue nécessairement une base plus stable que le triangle équilatéral, dans ses parties et comme tout.

30 Forme des éléments Par suite, en attribuant cette surface à la terre, nous sauvegardons la vraisemblance de notre explication, tout de même quen attribuant tour à tour à leau, la forme la moins mobile de celles qui restent, au feu, la forme la plus mobile, et à lair celle qui est intermédiaire; quen attribuant au feu le corps le plus petit, à leau, le corps le plus grand, et à lair, celui du milieu; et quen attribuant au feu ce qui est le plus aigu, à lair ce qui vient au second rang, et à leau, ce qui vient au troisième rang.

31 Forme des éléments Et bien entendu, parmi tous ces corps, celui qui a les faces les plus petites est forcément le plus mobile, puisquil est de partout le plus coupant et le plus aigu de tous; cest encore le plus léger, puisquil est composé du moins grand nombre des mêmes parties. Et le second corps doit tenir le second rang pour ce qui est des mêmes propriétés; et le troisième, le troisième rang. Admettons donc que, conformément à la droite raison et conformément à lexplication vraisemblable que nous proposons, la figure solide de la pyramide est lélément de base et le germe du feu; le second solide dans lordre des naissances, disons que cest celui de lair; et que le troisième, cest celui de leau.

32 Équations de la transmutation Cette association des corps réguliers aux atomes des quatre éléments a donné les premières équations de transmutation des éléments.

33 Cosmologie de Platon Platon croyait en lexistence dun monde parfait de nature géométrique et a proposé le système géocentrique classique. Pour lui, le Cosmos, qui est une œuvre divine, ne peut avoir quune forme parfaite, il est donc sphérique. La Terre est également une sphère immobile au centre lUnivers. La sphère de lUnivers est animée dun mouvement de rotation dest en ouest autour dun axe qui passe par le centre de la Terre. Les étoiles décrivent des cercles autour de laxe de cette sphère qui est appelée sphère des fixes parce que les positions relatives des étoiles semblent fixes. Elles ne semblent pas se déplacer les unes par rapport aux autres. Le Soleil, la Lune et les cinq planètes connues sont entraînées dans la rotation de lUnivers, mais chacun de ces corps célestes possède également un mouvement circulaire indépendant qui lui est propre.

34 Modèle de lunivers de Platon Ces mouvements circulaires seffectuent dans un plan incliné par rapport au plan de léquateur terrestre à des vitesses qui sont indépen- dantes de celle de la rotation de lUnivers. Les corps célestes se déplacent à des vitesses inégales. Cest la Lune qui a la plus grande vitesse et par ordre décroissant, le Soleil, Vénus, Mercure, Mars, Jupiter et Saturne. Ces différences de vitesse permettent dexpliquer les conjonctions des planètes.

35 Conclusion Pour Platon, lâme est immortelle. Elle a existé avant nous et passera dans dautres corps après nous. Lâme a contemplé le monde des Idées entre deux réincarnations et la connaissance est acquise par la Réminiscence, processus par lequel lâme retrouve le souvenir des Idées. Avec une telle croyance, nul besoin dexpérimenter. La connaissance sacquiert exclusivement par le raisonnement. De plus, si on trouve une explication plausible, cest certainement la bonne explication puisquelle est acquise par la Réminiscence, cest lIdée qui est retrouvée par lÂme.

36 Conclusion Lutilisation que fait Platon de la géométrie nest pas sans nous surprendre. Cependant, sa pensée a le mérite davoir suscité, tant chez ses disciples que dans la pensée occidentale, un grand intérêt pour les mathématiques. Le recours à labstraction pour parvenir aux Idées constitue une composante indissociable de la recherche moderne. Parmi les disciples de Platon qui se sont illustrés par leurs travaux en mathématiques, on peut citer Eudoxe, Menechme et son frère Dinostrate. Platon

37 Bibliographie Ball, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc., 1960, 522 p. Bernal, J.D. A History of Classical Physics, From Antiquity to the Quantum, New York, Barnes & Nobles Books, 1997, 317 p. Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p. Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., vol., 587 p. Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p. Gribbin, John, A Brief History of Science, New York, Barnes & Nobles Books, 1998, 224 p. Silver, Brian L. The Ascent of Science, New York, Oxford University Press, 1998, 534 p. Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol p. Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p. Timée, Traduction de Luc Brisson, Flammarion, Paris,


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