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1 LA PROPORTIONNALITÉ AU COLLÈGE Académie de Besançon.

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1 1 LA PROPORTIONNALITÉ AU COLLÈGE Académie de Besançon

2 2 Dans trois cadres le cadre des grandeurs (cycle 3, 6 e, 5 e ) le cadre numérique (5 e, 4 e, 3 e ) le cadre graphique (4 e, 3 e )

3 3 Selon quatre contextes décision sociale (caractère arbitraire du choix du modèle proportionnel) expérimentation (vérification ou conjecture du modèle proportionnel) preuve formelle (démonstration de la proportionnalité) introduction dune nouvelle notion (agrandissement-réduction, probabilités)

4 4 Quatre problématiques possibles reconnaître une situation de proportionnalité, ou non proportionnalité, à partir dune série de données rechercher une (des) donnée(s) manquante(s) dans une situation de proportionnalité comparer des proportions (exemple : mélanges, solutés) changer de cadre (grandeurs - numérique - graphique)

5 5 Procédures de résolution propriété dadditivité propriété dhomogénéité cas de la "règle de trois" (socle), avec passage à lunité combinaison linéaire (les deux propriétés précédentes) coefficient de proportionnalité égalité de rapports et produit en croixproduit en croix représentation graphique

6 6 Trois objectifs augmenter la capacité à mobiliser une procédure et accroître son efficacité (selon les données numériques )données numériques augmenter la variété des procédures utilisables et inciter les élèves à choisir la (les) procédures la (les) plus appropriée(s) renforcer la compréhension des liens entre ces procédures (pour aboutir à la fonction linéaire)

7 7 Au cycle 3 sur des grandeurs, nombres naturels et décimaux simples additivité, homogénéité, passage par lunité coefficient de proportionnalité "simple" échelles, vitesses moyennes, pourcentages, dans des problèmes, sans technique spécifique mesure : conversion dunités géométrie : agrandissement, réduction de figures

8 8 En sixième additivité, homogénéité, passage par lunité coefficient de proportionnalité, relais avec la fraction comme quotientcoefficient de proportionnalité tableaux, schémas fléchés, possibles mais non systématiséstableaux échelles, vitesses moyennes, sans technique spécifique pourcentages avec technique, mais sans occulter les procédures de proportionnalité liens avec diagrammes en bâtons, circulaires, semi- circulaires, graphiques cartésiens liens avec changement dunités, longueur du cercle liens avec activités mentalesactivités mentales

9 9 En cinquième procédures de 6 e, mais dans le cadre numérique non nécessairement contextualisé mises en forme par tableaux, schémas fléchés, exigibles proportion, échelle, vitesse moyenne, explicitées lien avec cadre graphique (non justifié) fréquence, histogramme relation entre aire (volume) et lune des dimensions dune figure (dun solide)

10 10 En quatrième procédures antérieures (cadre numérique) caractérisation graphique (non justifiée) égalité de quotients et produit en croix (sans systématiser son usage) non additivité des pourcentages changement dunités (vitesse, débit, change) relation d = v t théorème de Thalès ; cosinus ; agrandissement, réduction dune figure

11 11 En troisième procédures antérieures toujours disponibles modélisation par une fonction linéaire synthèse des propriétés antérieures au moyen de la fonction linéaire langage et notation fonctionnels caractérisation graphique (justifiable par Thalès) ; interprétation graphique du coefficient de proportionnalité théorème de Thalès ; sinus, tangente ; agrandissement/ réduction de figures, solides (longueurs, aires, volumes) changement dunités (grandeurs produits/quotients)

12 12 Un point fort La progressivité des apprentissages Exemple : la vitesse Aux procédures expertes Des procédures personnelles Cycle 36e 5e4e3e

13 13 Dautres documents à votre disposition sur le site Eduscol : –liaison école-collège –du numérique au littéral –organisation et gestion de données –les nombres au collège Ces éléments sappuient sur le document daccompagnement "Proportionnalité"

14 14 Dautres références : brochure APMEP n° 159, intitulée : réflexions sur les programmes de mathématiques du collège et de lécole élémentaire (octobre 2003) bulletin vert n° 407 : groupe de Réflexion et de Proposition sur les Programmes de mathématiques au collège (décembre1996) revue Repères n° 59 (avril 2005)

15 15 Influence du support ? Théo réalise un triangle ABC en doublant les longueurs des côtés du triangle ABC ci-dessous : ABBCAC Indique dans le tableau ci-dessous les mesures des côtés et des angles du triangle ABC.

16 16 Influence du support ? ABBCAC On donne dans le premier tableau les mesures des côtés et des angles dun triangle ABC. Paul dessine le triangle ABC en doublant les longueurs des côtés du triangle ABC. Indique dans le tableau ci-dessous les mesures des côtés et des angles du triangle ABC. ABBCACÂĈ 3,5 cm4 cm6 cm40°106°34°

17 17 Situations identiques ? Situation 1 En terrain plat, en 1 heure, Théo parcourt 30 km avec son scooter. Combien mettrait-il de temps, en minutes, pour parcourir : 4 km ? 7 km ? 11 km ? 17,6 km ? Situation 2 En terrain plat, en 1 heure, Théo parcourt 28 km avec son scooter. Combien mettrait-il de temps, en minutes, pour parcourir : 4 km ? 7 km ? 11 km ? 17,6 km ? La proportionnalité est implicite ; elle est considérée comme "naturelle".

18 18 Situations identiques ? Situation 3 Nombre de personnes Prix à payer Nombre de personnes Prix à payer Situation 4

19 19 Analyse de deux techniques opératoires : Énoncé : Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ? Source : académie de Nancy

20 20 La "règle de trois" Énoncé : Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ? 7,50 : 3 = 2,50 donc une rose coûte 2,50 euros 7 × 2,50 = 17,50 donc 7 roses coûtent 17,50 euros Cette méthode qui nécessite "le passage par lunité" développe lexplication, la séquentialité (suite dactions ordonnée), la temporalité (succession de 2 étapes). Elle a du sens pour les élèves mais demande une grande mobilité mentale.

21 21 Le "produit en croix" (7,50 × 7) : 3 = 17,50 donc 7 roses coûtent 17,50 euros Énoncé : Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ? Nombre de roses 37 Prix (en euros) 7,50? Méthode développant application, globalité et spatialité, mais pouvant être réalisée uniquement comme "recette". Cependant certains élèves sont capables dexpliquer quils calculent dans un premier temps le prix de 21 roses (7,50 × 7) pour en déduire le prix de 7 roses en divisant par 3.

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