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Lambda-Calcul Sémantique de Montague. Plan Introduction au lambda-calcul 1- Lambda Calcul non typé 2- Lambda Calcul simplement typé 3- Propriétés du lambda-calcul.

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1 Lambda-Calcul Sémantique de Montague

2 Plan Introduction au lambda-calcul 1- Lambda Calcul non typé 2- Lambda Calcul simplement typé 3- Propriétés du lambda-calcul Sémantique de Montague. Calcul de la sémantique en Coq (ICHARATE).

3 Lambda-Calcul Inventé par Church en Outil convenable pour exprimer les fonctions mathématiques Application en informatique: -LISP : basé sur le lambda-calcul non typé - ML : basé sur le lambda-calcul typé. -conception de preuves de correction de programmes etc…

4 Lambda-calcul non typé Définition inductive des -termes: - Toute variable de Var est un -terme. - Si t est un -terme et x une variable alors x.t est un -terme. (abstraction) - Si u et v sont deux -termes alors (u v) est aussi un -terme. (application)

5 Opérations de base -conversion: x.X y.[y/x]X (à condition que le renommage préserve le caractère libre/lié de chaque variable). Exemples : x. x+1 y.y+1 x. y. x+y y. y. y+y -réduction: ( x.u y) u[y/x] (toute variable libre de y reste ainsi après la réduction). Exemples: ( x. x+1 2 ) 2+1 ( x. y. x+y y) y. y+y

6 Paradoxe de Russel ( x. (x x) x. (x x)) Logique incohérente! (Plus concrètement : Si dans un village, un barbier déclare raser la barbe de tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, le barbier se rase-t-il lui même ? ) Solution : théorie des types et lambda calcul typé. Hiérarchie des types: aucune fonction ne peut s'appliquer à elle même.

7 -calcul simplement typé BaseType: ensemble de types de base Si t BaseType alors t Type Si t1, t2 Type alors t1 t2 Type. Définition inductive des -termes : -Si v Var ayant un type t Type alors v est un -terme. -Si l1 et l2 sont deux -termes de types respectifs t1 t2et t1 alors (l1 l2) est un -terme de type t2. -Si v Var ayant un type t1 Type et l est un -terme de type t2 alors v.l est un terme de type t1 t2

8 Propriétés importantes Théorème de Church-Rosser: (confluence) u * v et u * w l | v * l et w * l Corollaire: unicité de la forme normale Normalisation Forte: Pas de suite infinie de réductions Rq: dans le lambda-calcul non typé, la propriété de normalisation forte nest pas vérifiée Ex: ( x. y ( z (z z) z (z z)))

9 Sémantique de Montague Principe de compositionnalité de Frege - Le sens dune expression composée est une fonction des sens des éléments partiels qui la composent. Principe dextensionnalité : - Substitution: u=v [v/u]

10 Sémantique de Montague Types Sémantiques : SemType Deux types de base - e: type des individus - t: type des valeurs de vérités Types composés à partir de * (produit cartésien) et (application fonctionnelle). Fonction de mapping: Map:SyntType SemType MapBase:Atomes SemType Map(A/ i B)=Map(B\ i A)=Map(B) Map(A) Map(A i B) = Map(A)*Map(B) Map(jA)=Map( j A)=Map(A)

11 Sémantique de Montague -termes: T={(term, type)} - v Var t SemType; (v, t) T. - (l1, t1 t2) T (l2,t1) T ;((l1 l2), t2) T - v Var t1 SemType ;si v est de type t1 alors (l,t2) T; ( v.l t1 t2) T. - (l1,t1) T (l2,t2) T; ((l1;l2), t1*t2) - (l1,t1*t2) T ;( 1 l1, t1) T - (l1,t1*t2) T ;( 2 l1, t2) T - (l1,t1) T ;( l1,t1) T (resp ( l1, t1) ( l1, t1) ( l1, t1))

12 Sémantique de Montague Lexique : W SynType* T Condition: w, Lex(w)=(synT, lTerm) où : lTerm=(t1, l1) avec t1=Map(synT) Exemples: Marie: (sn, (e; M)) girl: n, (e t; G) That:((n \ n)/(s / sn), ((e t) (e t) e ; x y z (y z) (x z))) Likes: ((sn \ s)/sn, (e e t ; L)

13 Sémantique de Montague

14 Exemple1 Le cœur a ses raisons que toute raison ignore (Blaise Pascal). Un mode de composition : a. [( 1, a ( 2, a a ))] C Lexique: [(( 1, a 2 ), a a )] C raison(s) que toute ignore n (n\ a n)/ a (s/ a aa np) (s/ a (np\ a s)/ a n (np\ a s)/ a np e t (e t) (e t ) (e t) e e t e t (e t R QPx.(Q x) (P x) QP x:e I (Q x) (P x)

15 Hyp2: a np|- h2: a np toute |- z:(s/ a (np\ a s)/ a n raison |- u:n ignore|-v: (np\ a s)/ a np a |- h2:np (toute, raison)|-(z u): s/ a (np\ a s) (ignore, a )|- (v h2):np\ a s ((toute, raison), (ignore, a ))|- ((z u) (v h2)): s Hyp1: a a np |- h1: a a np (((toute, raison), ignore), a )|-((z u) (v h2)): s (((toute, raison), ignore), Hyp1: a a np) |- ((z u) (v h1)): s que |-y: (n\ a n)/ a (s/ a aa np) ( (toute, raison), ignore) |- h1. ((z u) (v h1)): s/ a a a np raisons |-x : n (que, ( (toute, raison), ignore))) |-(y h1. ((z u) (v h1))): n\ a n ( raisons, (que, ( (toute, raison), ignore)))|- ((y h1. ((z u) (v h1))) x)n

16 Exemple2 Money is a good servant and a bad master. Mode de composition : n Lexique: Money, servant, master : n good, bad : n/ n n a: ((s/ n np)\ n s)/ n n : PQ: x:e (P x) (Q x) is: (np\ n s)/ n (s/ n np)\ n s: x y(x z (y=z)) And : (X\X)/X (X= (s/ n np)\ n s), P Q p: (P p) (Q p)

17 Exemple2(suite) Arbre dérivation composé de règle délimination uniquement: application. a bad master: ( PQ. x:e (P x) (Q x))(B Ma) Q. x:e ((B Ma) x) (Q x)) a good servant and a bad master: P Q p.(P p) (Q p) ( Q. x:e ((B Ma) x) (Q x)) ( Q. x:e ((G S) x) (Q x)) p. x:e ((B Ma) x) (p x) x:e ((G S) x) (p x) Money is a good servant and a bad master : x:e. Mo=x ((B Ma) x) x:e. Mo=x ((G S) x)

18 Logique intentionnelle Opérateurs dintentionnalité: contraindre le principe dextensionnalité. Exemples de constructions qui créent des contextes opaques : 1- Discours indirect: Marie a dit que Maurice aime Sophie. Maurice est lélève le plus stupide de la classe. Marie a dit que lélève le plus stupide de la classe aime Sophie ??! 2-Temporalité: GW Bush est le président des USA. En 1963, le président des USA a été assassiné à Dallas. En 1963, GW Bush a été assassiné à Dallas ??!

19 Logique intentionnelle Modalités : Neuf est nécessairement supérieur à 7. Neuf est le nombre de planètes. Le nombre de planètes est nécessairement supérieur à 7 ??! (9 > 7) Le nombre de planètes = 9 (le nombre de planètes >7) Nouveau principe de substitution: x = y [y/x]

20 Logique intentionnelle réduction: ( x. y) [y/x] Conditions: pas de capture de variable y est intentionnellement close. Si on considère que les constantes ne sont pas intentionnellement clos: pas de propriété du diamond!! ( x ( y ( y= f(x)) x) c) ( y ( y= f(c)) c) ( x ( x= f(x)) c)

21 Formalisation en Coq Lambda termes typés avec indices de Bruijn Variables liées représentées par des entiers. Avantage : éviter les captures de variables Exemple: x y ((likes x) y) e e t e t app t app 0:e e t likes 1:e

22 Formalisation en Coq Opérations de base sur le lambda-calcul - substitution dune variable libre par un lambda-terme - abstraction dune variable Définition récursive de labstraction: e t app e t t t app 0:e e t app e t likes H1:e t app 0:e e t likes H1:e 1:e

23 Théorèmes prouvés Deux prédicats: wellFormed et wellTyped., - u: A => (wellTyped u) -Attention à la définition de wellTyped: Constructeur pour labstraction: l, (wellTyped l) ->(hasSameType t 0 l)-> getType l=t -> (wellTyped ( t t l)). Propriétés diverses: ress, - u: A; occurs ress -> freeVar ress u.

24 Calcul de la sémantique Analyse syntaxique avec ressources. Sémantique dérivationnelle: fonction récursive qui récupére larbre de dérivation et calcul le lambda- terme associé (en fonction des ressources). Sémantique lexicale: substitution de chaque étiquette par sa valeur (sa sémantique donnée par le lexique) Pour linstant : lambda-terme non réduit!

25 A Faire Stratégies de réduction. Théorèmes avancés: Church-Rosser etc…


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