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Analyse Numérique Problèmes Pratiques Dérivation Intégration.

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1 Analyse Numérique Problèmes Pratiques Dérivation Intégration

2 Ph. LerayAnalyse Numérique1 Introduction f connue ysur un certain nb de points you analytiquement besoin de connaître f' ysur ces points ysans faire le calcul analytique. zbesoin de calculer l'intégrale ysans calculer la primitive y(quadrature)

3 Ph. LerayAnalyse Numérique2 Dérivation numérique 1/5 zMéthode "naïve" : en théorie, la formule est vraie pour h 0 en pratique, attention au choix de h ! xh trop grand : calcul trop approximatif xh trop petit : problèmes d'arrondis

4 Ph. LerayAnalyse Numérique3 Dérivation numérique 2/5 zMéthode des différences centrales : yTaylor : x On connaît f sur un ensemble de points { x i,y i } xh = x i+1 - x i xf(x+h) xf(x-h)

5 Ph. LerayAnalyse Numérique4 Dérivation numérique 3/5 zMéthode des différences centrales (suite) : yf(x+h) - f(x-h) en négligeant les termes en h 3 : meilleure approximation que la méthode "naïve" ( h 3 / h 2 )

6 Ph. LerayAnalyse Numérique5 Dérivation numérique 4/5 zMéthode des différences centrales (suite) : ycalcul des dérivées d'ordre supérieur : f"(x i ) ?

7 Ph. LerayAnalyse Numérique6 Dérivation numérique 5/5 zMéthode des différences centrales (fin) : ycalcul des dérivées d'ordre supérieur : en négligeant les termes en h 4 : yet pour les autres dérivées ?

8 Ph. LerayAnalyse Numérique7 Intégration numérique 1/ zPlusieurs méthodes : a et b finis On connaît f sur un ensemble de points { x i,y i } polynôme d'interpolation sur n+1 points Newton-Cotes On connaît f sur autant de points que l'on veut polynôme d'interpolation + choix de n+1 points Gauss-Legendre a ou b infini xGauss-Laguerre,...

9 Ph. LerayAnalyse Numérique8 Intégration numérique 2/ zMéthodes polynomiales On connaît la fonction sur n+1 points y2 solutions : calculer le polynôme d'interpolation de degré n : P n (x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n è problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points (avec p+1 faible) calculer les polynômes d'interpolation de degré p sommer les intégrales de chaque sous-intervalle

10 Ph. LerayAnalyse Numérique9 Intégration numérique 3/ Méthode des trapèzes : p+1=2 points ypolynôme d'interpolation=droite yA = soit h = x i+1 - x i A

11 Ph. LerayAnalyse Numérique10 Intégration numérique 4/ Méthode de Simpson: p+1=3 points ypolynôme d'interpolation de degré 2 i va de 0 à n-2 avec un pas de A

12 Ph. LerayAnalyse Numérique11 Intégration numérique 5/ Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points polynôme d'interpolation de degré p: P p (x) comment trouver les i ? A

13 Ph. LerayAnalyse Numérique12 Intégration numérique 6/ Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points calcul des i = décomposition de l'intégrale dans la base { 1, t, … t p } A

14 Ph. LerayAnalyse Numérique13 Intégration numérique 7/ zExercice : yUtiliser la méthode de Newton-Cotes pour : xretrouver la méthode des trapèzes xretrouver la méthode de Simpson xtrouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4)

15 Ph. LerayAnalyse Numérique14 Intégration numérique 8/ zQuelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ? yPour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) : erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x 0 )(x-x 1 )…(x-x p ) ] xerreur de quadrature : M majorant de |f (p+1) |

16 Ph. LerayAnalyse Numérique15 Intégration numérique 9/ zErreur de quadrature pour : yles trapèzes ySimpson

17 Ph. LerayAnalyse Numérique16 Intégration numérique 10/ zMéthodes polynomiales récursives : yex pour la méthode des trapèzes xdécoupage récursif de la surface en trapèzes I(0)I(1)

18 Ph. LerayAnalyse Numérique17 Intégration numérique 11/ zBornes infinies ? yMéthode de Gauss-Laguerre

19 Ph. LerayAnalyse Numérique18 Intégration numérique 12/ zIntégrales multiples ? yEx avec la méthode de Simpson en dimension 2 : z ij = f(x i, y j ) h = x i+1 - x i k = y i+1 - y i

20 Ph. LerayAnalyse Numérique19 Sujet de TD

21 Ph. LerayAnalyse Numérique20 Conclusion


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