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Par Clément (9 ans) en vacances sur la Côte dAzur Le 20 juillet 2011 1 Découverte Junior Découverte Junior – Gérard Villemin.

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2 Par Clément (9 ans) en vacances sur la Côte dAzur Le 20 juillet 2011 1 Découverte Junior Découverte Junior – Gérard Villemin

3 Carré des nombres en 10 2 10² = 100 11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225 1 1 3 3 9 9 Carré de lunité 6 6 Deux fois lunité 1 1 1 1 3 3 x Carré de la dizaine Jai un truc pour calculer les carrés très simplement. Ici, je pose 1, puis deux fois lunité, puis le carré de lunité. Cest expliqué sur la figure. Je montre la méthode de calcul car il y a des retenues. 16² => 1 12 36 => 256 17² => 1 14 49 => 289 18² => 1 16 64 => 324 19² => 1 18 81 => 361

4 Carré des nombres en 20 3 20² = 400 21² = 4 4 1 = 441 22² = 4 8 4 = 484 23² = 4 12 9 = 529 24² = 4 16 16 = 576 25² = 4 20 25 = 625 26² = 4 24 36 = 676 27² = 4 28 49 = 729 28² = 4 32 64 = 784 29² = 4 36 81 = 841 2 2 3 3 9 9 Carré de lunité 2 2 Quatre fois lunité 4 4 2 2 3 3 x Carré de la dizaine 1 1 9 9 2 2 5 5 Pour les vingtaines, au centre, je prends quatre fois lunité.

5 Carré des nombres en 30 4 30² = 900 31² = 9 6 1 = 961 32² = 9 12 4 = 1024 33² = 9 18 9 = 1089 34² = 9 24 16 = 1156 35² = 9 30 25 = 1225 36² = 9 36 36 = 1296 37² = 9 42 49 = 1369 38² = 9 48 64 = 1444 39² = 9 54 81 = 1521 Règle générale: Six fois lunité: cest le double des dizaines 3 3 2 2 4 4 Carré de lunité 2 2 Six fois lunité 9 9 3 3 2 2 x Carré de la dizaine 1 1 4 4 2 2 0 0 1 1 Pour les trentaines, au centre, je prends six fois lunité.

6 Carré des nombres en 40 5 40² = 1600 41² = 16 8 4 = 1684 4 4 2 2 4 4 Carré de lunité 6 6 huit fois lunité 6 6 4 4 2 2 x Carré de la dizaine 1 1 4 4 6 6 7 7 1 1 1 1 42² => 16 16 4 => 1764 43² => 16 24 9 => 1849 44² => 16 32 16 => 1936 45² => 16 40 25 => 2025 46² => 16 48 36 => 2116 47² => 16 56 49 => 2209 48² => 16 64 64 => 2304 49² => 16 72 81 => 2401 En fait, pour être complet, il faudrait écrire les nombres avec leurs 0: 41² = 1600 + 80 + 4 = 1684

7 Carré des nombres en 50 6 50² = 2 500 51² = 25 10 1 = 2 601 52² = 2 704 53² = 25 30 9 = 2 809 54² = 25 40 16 = 2 916 55² = 25 50 25 = 3 025 56² = 25 60 36 = 3 136 57² = 25 70 49 = 3 249 58² = 25 80 64 = 3 364 59² = 25 90 81 = 3 481 5 5 2 2 4 4 Carré de lunité 0 0 dix fois lunité 5 5 5 5 2 2 x Carré de la dizaine 2 2 4 4 0 0 7 7 2 2 2 2

8 Carré des nombres de 100 à 109 7 100² = 10 000 101² = 10 201 102² = 10 404 103² = 10 609 104² = 10 816 105² = 11 025 106² = 11 236 107² = 11 449 108² = 11 664 109² = 11 881 4 4 Carré de lunité 0 0 Double des dizaines fois lunité 0 0 x Carré de la dizaine 4 4 4 4 0 0 4 4 0 0 x 1 1 1 1 La règle sapplique toujours, mais lorsque les dizaines sont à plusieurs chiffres, cela devient plus compliqué. 0 0 2 2 0 0 2 2 1 1 1 1 Je me souviens que dans 100, il a 10 dizaines 0 0

9 Pour calculer le carré suivant (1/2) 8 4² = 16 5² = 25 Différence: 25 – 16 = 9 Cest la somme de 4 et 5. Est-ce toujours vrai ? 5² = 25 6² = 36 Différence: 36 – 25 = 11 Cest la somme de 5 et 6. On peut montrer que cette relation est effectivement toujours vraie. 144 + 12 + 13 = 169 Carré 12² + 12 + 13 = 13² Pour trouver le carré suivant, il suffit dajouter la somme des deux nombres: 12² = 144 et lui en ajoutant 12 + 13 = 25, je trouve 169 qui est le carré de 13. Je connais le carré dun nombre; comment calculer le carré du nombre suivant ? Exemples: Le carré de 40 est 1600; celui de 41 est 1600 + 40 + 41 = 1681 Le carré de 100 est 10 000; celui de 1011 est 10 000 + 100 + 101 = 10 201 Cest magique, non?

10 Pour calculer le carré suivant (2/2) 9 Pour bien comprendre, je peux illustrer la méthode comme indiqué sur cette figure Pour trouver le carré suivant, il suffit dajouter la somme des deux nombres: 25 + 5 + 6 = 36, 36 + 6 + 7 = 49 … Différence entre les carrés de deux nombres successifs (n) et (n+1) = somme des deux nombres. (n+1)² – n² = 2n + 1 = (n+1) + n 12² = 144 13² = ? 12 + 13 = 25 25 + 144 = 169 25 + 144 = 169 13² = 169 Pour les experts:

11 Carré des nombres de 110 à 119 10 110² = 12 100 221 111² = 12 321 223 112² = 12 544 225 113² = 12 769 227 114² = 12 996 229 115² = 13 225 231 116² = 13 456 233 117² = 13 689 235 118² = 13 924 237 119² = 14 161 239 Pour mamuser à calculer les carrés, jutilise la méthode des différences Le carré de (n+1) est égal au carré de n et jajoute les deux nombres n et n+1 Je remarque que le nombre dans la colonne de droite augmente de 2 à chaque fois. Ce nombre est la somme de 110 et 111. Je lajoute à 12 100 et jobtiens le carré de 111. 12 100 + 110 + 111 = 12 321

12 Les carrés des nombres de 0 à 99 11 Cette courbe sappelle une parabole Nombre n Son carré n²

13 Tables des carrés des nombres jusquà 129² 12 En rouge, quelques nombres à noter. En particulier 1024 = 32 x 32 = 2 x 2 x … 10 fois le nombre 2 = 2 10 Cest le kilo des ordinateurs, comme dans kilooctets. Pour lire 23², je prends la dizaine sur la colonne de gauche (2-) et lunité sur la ligne en haut (3) et, je trouve 23² = 529.

14 Pour trouver le nombre quand je connais le carré 13 Si on me donne le carré 25, je connais immédiatement le nombre qui donne ce carré. Cest 5, car 5 x 5 = 25. 25 est le carré de 5, et 5 est la racine carrée de 25. Comment calculer la racine carrée dun nombre? Méthode 1: je consulte la table de la diapositive précédente: 1024 est le carré de quel nombre? Je regarde la table: cest 32. 1000 est le carré de quel nombre? Cest un nombre plus grand que 31 (31² = 961) et plus petit que 32 (32² = 1024). La racine carrée de 1000 est un nombre compris entre 31 et 32. Méthode 2: jutilise une calculette et sa fonction racine carrée (): Je tape 1000 et jappuie sur ; la calculette me donne 31,622776. Méthode 3: je calcule par essais successifs: Je calcule 31,5² = 992,25, cest pas assez. Je calcule 31,7² = 1004,89, cest trop. Je calcule 31,6² = 998,56, cest pas assez. Je calcule 31,65² = 1001,72, cest trop. Etc.

15 Calcul mental des carrés: règle générale 14 Pour les experts, je découvre un peu dalgèbre: Exemple 1: 5 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2 = 15 + 10 = 25 Je reproduis la même chose mais avec des lettres: a (b + c) = a x b + a x c = a.b + a.c On met un point pour la multiplication pour ne pas confondre le signe x avec la lettre x. Exemple 2: (5 + 4) (3 + 2) = 5 (3 + 2) + 4 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2 + 4 x 3 + 4 x 2 (a + b)(c + d) = a (c + d) + b (c+d) = a.c + a.d + b.c + b.d On passe enfin au carré avec le prochain exemple Exemple 3: (10 + 2)² = (10 + 2) (10 + 2) = 10 x 10 + 10 x 2 + 2 x 10 + 2 x 2 = 10 x 10 + 4 x 10 + 4 (10 + a)² = (10 + a) (10 + a) = 100 + 10a + 10a + a² = 100 + 20a + a² (10 + a)² = 100 + 20a + a²

16 Calcul mental des carrés: règle générale 15 (10 + a)² = 100 + 20a + a² Ex: 17² = (10 + 7)² = 100 + 20 x 7 + 49 = 100 + 140 + 49 = 289 (20 + a)² = 400 + 40a + a² Ex: 27² = (20 + 7)² = 400 + 40 x 7 + 49 = 400 + 280 + 49 = 729 Carré de lunité Double des dizaines Carré de la dizaine Et voici notre fameuse règle de calcul mental des carrés: Unité Dizaines FIN Découverte Junior Découverte Junior – Gérard Villemin Découverte Junior Découverte Junior – Gérard Villemin


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