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1 INITIATION AU RAISONNEMENT ALGEBRIQUE AU DEBUT DU COLLEGE.

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1 1 INITIATION AU RAISONNEMENT ALGEBRIQUE AU DEBUT DU COLLEGE

2 2 Citations de la commission Kahane « Le passage du calcul numérique au calcul algébrique constitue une véritable révolution. » « Faire comprendre que le calcul algébrique nest pas aveugle, quon en possède des modes de contrôle. » « Contrôler ce calcul impose de comprendre les règles qui gouvernent la formation et le traitement des expressions algébriques, et se démarquer dune lecture de gauche à droite... »

3 3 « …lorsquon demande à des enseignants quelles sont les fonctions de lalgèbre au collège, la fonction doutil de preuve nest généralement pas identifiée. » « Faire percevoir la puissance que donne le calcul algébrique. » (Résoudre, formuler, généraliser, prouver) « Développer lintelligence de calcul. » (Reconnaissance et choix de formes, calcul mental et réfléchi) Citations de la commission Kahane

4 4 Pistes Ne pas banaliser complètement les tâches de calcul. Aider les élèves à réagir en fonction du sens des expressions (formes factorisées…) Donner des tâches qui relèvent dune certaine complexité technique. Citations de la commission Kahane

5 5 La « révolution » en quelques points

6 6 Différents statuts des lettres Pour désigner un objet.objet Pour désigner une variable.variable Pour désigner une inconnue. Pour désigner une indéterminée.

7 7 Différents statuts du signe égal Annonce dun résultat, déclencheur dopérations. (EXE) Egalité sous conditions : équations. Egalité toujours vraie : identité. Un adressage, une affectation dans le cadre fonctionnel.

8 8 Les autres signes opératoires En arithmétique, les signes opératoires indiquent les procédures. Les résultats sont numériques. En algèbre, les écritures indiquent la procédure et le résultat. Exemple

9 9 Les principaux objectifs du calcul littéral Outil de généralisation et de preuve. Exemple Outil qui permet la justification ou lexplication des règles et des techniques de calcul. Exemple : Application au calcul mental.

10 10 Un apprentissage progressif En préambule, quelques réflexions à partir du texte « Le calcul au collège » Inspection Générale, Juin 2004 Contenus et exemples pour les classes du collège.

11 11 Préambule Un point sur les pratiques lors des activités numériques : Passage dexemples au cas général. La place des techniques. La nature des justifications.

12 12 Du calcul numérique… Le calcul mental (réfléchi). La place des calculatrices. Le délicat équilibre : Réflexion - Technique Préambule

13 13 … au calcul algébrique. Les différents statuts sont abordés successivement. Le sens de légalité est précisé dans chaque cas. Les techniques de calcul peuvent être justifiées. Exemple.Exemple Préambule

14 14 En sixième La définition du quotient : Liens ultérieurs Justification des règles de calcul avec les écritures fractionnaires.

15 15 En sixième Développer les sens de légalité. Exemple Initiation aux écritures littérales : Tâches de substitution. Utilisation dune expression littérale. Formulaire : aires et périmètre du cercle. Mise en jeu implicite de notions fonctionnelles.

16 16 Initiation à la résolution déquations : égalités à trous. Absence de lettre pour marquer linconnue. Procédures en référence au sens et à la définition des opérations. Procédure utilisant un schéma. ExempleExemple En sixième

17 17 Travail sur les changements de cadre. Approche de la notion de fonction. En cinquième

18 18 Introduction de la lettre comme indéterminée : kx(a+b) = kxa + kxb. Exemple Conventions décriture. En cinquième

19 19 Suite de linitiation à la résolution déquations : Lettre pour marquer linconnue. Tests dans des égalités, des inégalités. Résolution basée sur le sens des opérations. Introduction des nombres relatifs. En cinquième

20 20 Voir le document word atelier B2_exemples en 5e En cinquième : quelques exemples

21 21 Fin de la présentation

22 22 Exemple dutilisation dun schéma. Trouver la longueur manquante dans chaque cas : Longueur totale : ? ?

23 23 Exemple pour variable en 6éme Si 1,2 < t < 1,5 quel nombre peut-on mettre à la place de t ? Complète le tableau suivant : a12,547 7xa

24 24 Outil de justification. Extrait du document de lInspection Générale, Le calcul au collège.

25 25 Exemples pour la lettre objet. La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres. La lettre désigne une abréviation dun objet mathématique : A = L X l

26 26 Formule de distributivité Dans le cadre géométrique ou numérique, travailler des égalité du type : 3 x ( x + 5) = 3 x x + 3 x 5 5 x ( x + y) = 5 x x + 5 x y

27 27 Sens de légalité en 6ème Par des activités numériques du type : 23,52 =2x10+3+5x +2x Donner une écriture de montrant : que cest un nombre plus grand que 3 que cest un nombre plus petit que 4 que cest un nombre décimal

28 28 Sens de légalité en 6ème Dans une formule, faire varier une grandeur en fonction dune autre, toute autre variable étant fixée.

29 29 Les écritures en algèbre « x + 7 ». Procédure (addition) et / ou résultat (somme) Cette difficulté est à lorigine de transformations « non cohérentes » en 7 x ou en x + 7 = 0…

30 30 Outil de généralisation Le professeur a écrit au tableau lexercice suivant : Calculer 23 X ;23 X ;23 X ; 23 X X ;23 X ;23 X ; 23 X Un camarade est absent. Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs. La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce quil doit faire. (Manuel Triangle, édition Hatier)

31 31 Outil de preuve Lorsquon additionne trois entiers consécutifs, peut-on affirmer que la somme est toujours un multiple de 3 ? Choisis deux nombres dont la somme est 300 et fais leur produit. Ajoute 7 à chacun deux. De combien augmente le produit ?


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