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INITIATION AU CALCUL LITTERAL. CAS 1: ADDITION SOUSTRACTION Laddition et… la soustraction sont des opérations naturelles.

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1 INITIATION AU CALCUL LITTERAL

2 CAS 1: ADDITION SOUSTRACTION Laddition et… la soustraction sont des opérations naturelles.

3 + = R e m a r q u o n s q u e n o u s n a v o n s p a s é c r i t m a i s R e m a r q u o n s é g a l e m e n t q u e s i g n i f i e x ( 2 f o i s 1 c a d e a u )

4 + = L e d e s s i n d e s b o î t e s e s t l o n g e t f a s t i d i e u x. I l s e r a i t p r é f é r a b l e d e d e s s i n e r d e s s y m b o l e s s i m p l e s. O u m i e u x … D e s l e t t r e s, l e d e s s i n e s t f a c i l e e t c o n n u d e t o u s. R e m p l a ç o n s l a b o î t e p a r u n e l e t t r e, p a r e x e m p l e b. b + b = 2 b

5 + = b + b = 2 b R a p p e l o n s q u e b s i g n i f i e 1 b. D e p l u s 2 b s i g n i f i e 2 x b E n m a t h é m a t i q u e s, l e s l e t t r e s n e r e p r é s e n t e r o n t p a s d e s o b j e t s, m a i s d e s n o m b r e s ( l a d e r n i è r e r e m a r q u e e s t d o n c i m p o r t a n t e )

6 + = 3 b + 5 b = 8 b 3 a + 5 a = 8 a 3 x + 5 x = 8 x L a l e t t r e x s e r a c e r t a i n e m e n t l a l e t t r e l a p l u s u t i l i s é e e n M a t h é m a t i q u e s. A t t e n t i o n d e n e p a s l a c o n f o n d r e a v e c l e s y m b o l e d e m u l t i p l i c a t i o n !

7 - = 7 b - 4 b = 3 b Calculer : 3a + 2a + 7a = 5p + 3p – 6p = 3,2x – 1,2x + 2,4x = 4y + 5y – 2y – 6y = 6x + 2x - 3x – 5x = 12a 2p 4,4x 1y ( ou y ) 0x = 0

8 k x ( a + b ) = k x a + k x b développement k x a + k x b = k x ( a + b ) = ( a + b ) x k factorisation Le symbole x est ici le symbole de multiplication Reprenons un des exemples étudiés précédemment. 3 b + 5 b = ? N o u s s a v o n s q u e 3 b s i g n i f i e 3 x b D e m ê m e, 5 b d e v r a i t s é c r i r e 5 x b 3 b + 5 b = 3 x b + 5 x b C e t t e é c r i t u r e c o m p o r t e d e u x t e r m e s *. D a n s c h a q u e t e r m e, i l y a u n f a c t e u r * c o m m u n. b. E n f a c t o r i s a n t n o u s a v o n s : 3 b + 5 b = 3 x b + 5 x b = ( ) x b Soit, en effectuant dans les parenthèses : 3 b + 5 b = 8 x b Et nous écrirons : 3 b + 5 b = 8 b

9 + = « O n n e p e u t p a s m é l a n g e r d e s t o r c h o n s e t d e s s e r v i e t t e s. » S i n o u s a j o u t o n s d e u x p o m m e s e t t r o i s b a n a n e s, n o u s o b t e n o n s … 2 p o m m e s + t r o i s b a n a n e s ! ! ! N o u s p o u v o n s a j o u t e r ( o u s o u s t r a i r e ) d e s p o m m e s a v e c d e s p o m m e s, m a i s p a s d e s p o m m e s a v e c d e s b a n a n e s ! 2 a + 3 b = 2 a + 3 b Nous ne pouvons additionner ( ou soustraire ) que des éléments « rigoureusement identiques »

10 Calculer : 2a + 3b + 7a + 5b =9a+ 8b 7a + 2b + 2c - 3b - a =6a – b + 2c D a n s q u e l o r d r e é c r i r e l e r é s u l t a t ? A u c u n e i m p o r t a n c e. P o u r l i n s t a n t, e t s i l o n v e u t c h o i s i r u n o r d r e, é c r i v o n s l e r é s u l t a t d a n s l o r d r e a l p h a b é t i q u e. 3x + 5y - x + 2y – 4y = D a n s c e t t e é c r i t u r e, l e s y m b o l e x r e p r é s e n t e u n e l e t t r e. S i x é t a i t l e s y m b o l e d e m u l t i p l i c a t i o n, l é c r i t u r e 3 x + n a u r a i t a u c u n s e n s ! 2x + 3y 3,2x + 4y – 1,8x + 0,2x – 4y =1,6x + 0y= 1,6x 5x + 3y – y – 5x – 2y =0x + 0y= 0

11 Intérêt de cette simplification : Considérons lexpression A suivante : A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b a et b représentent, en Mathématiques, des nombres. Calculer cette expression si a = 2,3 et b = 7,2 Nous devons remplacer, dans lexpression A, la lettre a par 2,3 et la lettre b par 7,2. Attention, rappelons que 5a signifie 5 x a ( le symbole de multiplication x doit ici être réécrit). Remplacer 5a par 52,3 na aucune signification. Lécriture 5a doit donc sécrire 5 x 2,3 A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b A = 5x2,3 + 8x7,2 – 2x7,2 – 4x2,3 – 6x7,2 La multiplication étant prioritaire sur laddition et la soustraction, nous avons : A = 11,5 + 57,6 – 14,4 – 9,2 – 43,2 Dans une suite dadditions et de soustractions, les calculs doivent être effectués dans lordre. Nous avons donc : A = 69,1 – 14,4 – 9,2 – 43,2 A = 54,7 – 9,2 – 43,2 A = 45,5 – 43,2 A = 2,3 Ouf !

12 Intérêt de cette simplification : A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b Reprenons cette expression et simplifions la. Nous avons : Calculer lexpression A pour a = 2,3 et b = 7,2 A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b A = 1a + 0b = a Cette expression est donc égale à a ( et ne dépend pas de la valeur de b ! ). En remplaçant a par 2,3 et b par … ( aucune importance, lexpression ne comporte plus la lettre b ), nous avons : A = 2,3 Beaucoup plus facile !

13 CAS 2: MULTIPLICATION La multiplication ( la division sera étudiée plus tard ) nest pas une opération naturelle.

14 Multiplier des pommes par des bananes na aucun sens dans notre vie quotidienne ! x = Pourtant, en Mathématiques, nous pouvons multiplier des lettres !!! Le produit de a et de b donne un nouvel objet qui sappelle axb ( que nous écrirons ab ) Notons que lobjet ab sécrit également ba ( axb=bxa )

15 2a x 3b = Le symbole x est ici le symbole de multiplication 2 x a x 3 x b 2a x 3b = 2 x 3 x a x b= 6 x a x b= 6ab 2a x b x 4c =2 x a x b x 4 x c= 8 abc 3a x 4a =3 x a x 4 x a= 12 x a x a= 12 aa L o r s q u e, d a n s u n p r o d u i t, l e s l e t t r e s s o n t i d e n t i q u e s, n o u s u t i l i s e r o n s u n e n o u v e l l e n o t a t i o n ! a x a ( o u a a ) s e n o t e a ² a x a x a ( o u a a a ) s e n o t e a 3 e t c ; A t t e n t i o n à n e p a s c o n f o n d r e 2 a e t a ² 2 a c o r r e s p o n d à a + a t a n d i s q u e a ² c o r r e s p o n d à a x a P a r e x e m p l e : 2 x 5 = 1 0 e t 5 ² = 5 x 5 = 2 5 = 12 a²

16 2y x y = A SUIVRE


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