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Cinématique du solide F. Socheleau. 1 -Définition du solide indéformable. Soit R un repère de référence dorigine O. Soit ( S ) un solide Soit S un repère.

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1 Cinématique du solide F. Socheleau

2 1 -Définition du solide indéformable. Soit R un repère de référence dorigine O. Soit ( S ) un solide Soit S un repère lié au solide ( S ) Soient A et B deux points quelconque du solide indéformable ( S )

3 2 -Champ des vitesses dun solide Torseur distributeur des vitesses. avec dans le repère S Or par définition : car A est fixe / S et O est fixe / R car B est fixe / S et O est fixe / R

4 2 -Champ des vitesses dun solide Torseur distributeur des vitesses. On reconnait ici la formule dun champ de moment dun torseur entre les points A et B. Moment en A Moment en B Résultante

5 2 -Champ des vitesses dun solide Torseur distributeur des vitesses. On définit donc un torseur distributeur des vitesses : est le moment du torseur distributeur des vitesses du solide S dans son mouvement par rapport au repère R au point A. C'est le VECTEUR VITESSE DU POINT A appartenant au solide ( S ) dans son mouvement par rapport au repère R. est la résultante du torseur distributeur des vitesses du solide S dans son mouvement par rapport au repère R au point A. C'est le VECTEUR ROTATION du solide ( S ) dans son mouvement par rapport au repère R.

6 2 -Champ des vitesses dun solide Théorème de léquiprojectivité des vecteurs vitesses. Soit en multipliant scalairement par Interprétation : La projection orthogonale de sur ( AB ), est égale à la projection orthogonale de sur ( AB ), (même sens et même longueur).

7 3 -Champ des accélérations dun solide. Question : Existe-t-il un torseur des accélérations Avec Relation dun champ de moment de torseur

8 3 -Champ des accélérations dun solide. Question : Existe-t-il un torseur des accélérations On sait :

9 3 -Champ des accélérations dun solide. Cette formule est a appliquer que si le point A nest pas fixe (nappartient pas) par rapport au solide S. Si le point A est fixe (appartient) par rapport au solide S, il faut mieux utiliser la définition : car A est fixe / S

10 5 -Composition des torseurs distributeurs des vitesses. Le repère lié au solide ( S 1 ). Le repère lié au solide ( S 2 ). Le repère lié au solide ( S 3 ). Liaisons Soit le point M appartenant au solide (S 3 ) donc au repère R 3.

11 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses Composition des vecteurs vitesses. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R 1. Liaisons

12 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses Composition des vecteurs vitesses. Vitesse absolue Vitesse dentrainementVitesse relative La vitesse relative se calcule par dérivation vectorielle ou par cinématique du solide car M est fixe / R 3 et O 2 est fixe / R 2 La vitesse dentrainement se calcule uniquement par cinématique du solide M est fixe / R 3 et O 1 est fixe / R 1

13 Interprétation : Mouvement 2/1 Mouvement 3/2 Liaison encastrement Position à linstant : t 0 Position à linstant : t 1 Liaison encastrement Mouvement 2/1 Mouvement 3/2 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses Composition des vecteurs vitesses.

14 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses Composition des vecteurs rotations.

15 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses Composition des torseurs distributeur des vitesses. Or Résultante Moment Généralisation :

16 5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses Composition des torseurs distributeur des vitesses. Conséquence :

17 6 - Composition des vecteurs accélérations. Vitesse absolue Vitesse dentrainementVitesse relative Rappel (§5.1) Liaisons

18 6 - Composition des vecteurs accélérations. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R 1. car M est fixe / R 3 (formule de dérivation vectorielle) car M est fixe / R 3

19 6 - Composition des vecteurs accélérations. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R 1. car O 2 est fixe / R 2 (formule de dérivation vectorielle)

20 6 - Composition des vecteurs accélérations. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R 1. car M est fixe / R 3 et O 2 est fixe / R 2

21 6 - Composition des vecteurs accélérations. Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R 1.

22 6 - Composition des vecteurs accélérations. Accélération absolue Accélération dentrainement Accélération relative Accélération de Coriolis Laccélération relative se calcule par dérivation vectorielle car M est fixe / R 3 Laccélération dentrainement se calcule par le champs des accélérations dun solide : M est fixe / R 3 Laccélération de Coriolis :

23 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. Soit ( S 1 ) un solide. Soit ( S 2 ) un solide en contact avec ( S 1 ). Soit I le point de contact entre ( S 1 ) et ( S 2 ). Remarque : I point de contact nappartient ni a ( S 1 ) et ni a ( S 2 ). I nest pas fixe / à ( S 1 ). I nest pas fixe / à ( S 2 ). Les surfaces extérieures de ( S 1 ) et de ( S 2 ) sont régulières, c'est à dire qu'il existe un plan tangent commun ( ) à ( S 1 ) et ( S 2 ) en I. Soit, le vecteur unitaire normal au plan tangent commun ( ) en I, orienté de ( S 1 ) vers ( S 2 ).

24 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides. Problème : détermination du torseur distributeur des vitesses du solide ( S 2 ) dans son mouvement par rapport au solide ( S 1 ) au point I.

25 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides Vecteur pivotement, vecteur roulement. Vecteur roulement Vecteur pivotement Vecteur de rotation Il est porté selon la normale au plan tangent ( ) orienté de ( S 1 ) vers ( S 2 ). Il est dans le plan tangent ( ).

26 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides Vecteur pivotement, vecteur roulement.

27 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides Vecteur glissement. Cas du glissement Cas de la rupture de contact Composante normale au contact RUPTURE

28 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides Vecteur glissement. Conséquence : Comme I point de contact nappartient ni a ( S 1 ) et ni a ( S 2 ), pour calculer, il ne faudra jamais dériver un quelconque vecteur position, mais utiliser : Si un vecteur vitesse en un point M du mouvement S 2 / S 1 est connu Par loi composition en faisant intervenir un solide ou repère R Le choix de R doit être judicieux pour minimiser les calculs.

29 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides Axe instantané de rotation (A.I.R.). * Si est un glisseur Posons Laxe instantané de rotation est laxe central du torseur M I

30 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides Axoïdes du mouvement. PAR DÉFINITION : Les axoïdes du mouvement de ( S 2 )/( S 1 ) sont les deux surfaces engendrées par l'axe instantané de rotation (AIR : 12 ) au cours du temps, d'une part sur le solide ( S 2 ), d'autre par sur le solide ( S 1 ). Ces axoïdes sont dites "surfaces réglées" car elles sont générées par le déplacement relatif d'une droite : l'AIR. La surface obtenue sur le solide ( S 1 ) est appelée axoïde base (ou base du mouvement de ( S 2 )/( S 1 )). La surface obtenue sur le solide ( S 2 ) est appelée axoïde roulante (ou roulante du mouvement de ( S 2 )/( S 1 )). La roulante roule sur la base au niveau de l'axe instantané de rotation ( 12 ) car l'A.I.R. est l'ensemble des points de vitesse nulle.

31 7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides Axoïdes du mouvement. Exemple : Roulante = cylindre Base = cylindre Assuré par lobstacle des dents


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