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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Continuité

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Continuité

2 Introduction Nous avons déjà indiqué quintuitivement, une fonction continue est une fonction dont le graphique ne présente aucune interruption, aucune coupure, aucun manque. On peut la tracer dune seul trait, sans lever le crayon. Notre objectif est de déterminer une procédure permettant de repérer algébriquement les discontinuités dune fonction sans avoir à en tracer le graphique. En fait, létude algébrique de la continuité dune fonction devrait nous donner de linformation facilitant la construction du graphique de celle-ci. Notre investigation comportera donc deux pôles : les types dinterruption (discontinuité) que lon peut rencontrer en traçant un graphique; les caractéristiques algébriques de chacun de ces types.

3 Discontinuités Considérons le graphique suivant : On constate quen x = –5, il ny a pas dimage alors que la limite à gauche est égale à la limite à droite. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par trou à x = –5. En x = –3, la fonction a une asymptote verticale et la limite à gauche est la même quà droite. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par trou à linfini à x = –3. SS Le point associé au couple (–2; f(–2), nest pas sur la courbe formée par les points dans le voisinage de –2. Dans un tel cas, on dira que la fonction a une discontinuité par déplacement à x = –2. S Trou Trou à linfini Déplacement En x = 1, la limite à gauche est différente de la limite à droite et chacune des ces limites est un nombre réel. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par saut fini à x = 1. S Saut fini Saut infini En x = 3, la limite dun côté est et de lautre, elle est –. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par saut infini à x = 3. S Manque On constate finalement quil ny a pas dimage dans [5; 7]. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par manque sur [5; 7]. S

4 Détection des discontinuités Fonctions définies par une seule expression PROCÉDURE pour déterminer les discontinuités dune fonction définie par une seule expression algébrique 1.Déterminer, selon le cas, les valeurs particulières ou lintervalle des valeurs de la variable indépendante qui nont pas dimage. 2.Utiliser les procédures appropriées pour évaluer la limite lorsque la variable dépendante sapproche des valeurs obtenues. 3.Rédiger la conclusion en indiquant le type de chacune des discontinuités.

5 SS Exemple Déterminer les discontinuités de la fonction définie par Solution, en factorisant. Le dénominateur sannule lorsque (x + 2)(x – 3) = 0, ce qui donne x = –2 et x = 3, par lintégrité des nombres réels. À x = –2, on a une limite de la forme 0/0. En évaluant, on obtient : Déterminons les valeurs qui nont pas dimage : La fonction a des discontinuités à x = – 2 et x = 3. Puisque –2 na pas dimage et que la limite existe lorsque x tend vers –2, la fonction a une discontinuité par trou à –2. À x = 3, on a une limite de la forme k/0. En considérant le comportement à gauche et à droite, on obtient : = – = La fonction a une discontinuité par saut infini à x = 3. S

6 SS Exemple Déterminer les discontinuités de la fonction définie par Solution Par conséquent, la correspondance nest pas définie lorsque la variable indépendante prend des valeurs qui donnent une expression négative sous ce radical. On doit donc avoir : Doù :x > 2 La variable indépendante est présente sous un radical et lextraction dune racine négative nest pas définie dans R. x – 2 > 0 La fonction est définie si et seulement si x > 2. La fonction est donc discon- tinue par manque sur ]–; 2[.

7 Détection des discontinuités Fonctions définies par parties PROCÉDURE pour déterminer les discontinuités dune fonction définie par parties 1.Déterminer, pour chacune des parties, les discontinuités en appliquant la procédure pour une expression algébrique unique en tenant compte de lintervalle sur lequel cette expression est valide. 2.Évaluer la limite à gauche et à droite aux frontières des intervalles adjacents pour déterminer si les parties sont jointes ou non. 3.Rédiger la conclusion en indiquant le type de chacune des discontinuités.

8 SS Exemple Déterminer les discontinuités de la fonction Solution Le dénominateur de cette expression sannule à x = 1 et cette valeur est dans ]–; 3[. La limite est de la forme k/0 et, en considérant le comportement à gauche et à droite, on obtient : Dans lintervalle ]–; 3[, la correspondance est définie par et La fonction a donc une discontinuité par saut infini à x = 1. Dans lintervalle [3; [, la correspondance est définie par y = x + 4. Cette expression algébrique ne présente pas de discontinuité puisquelle ne comporte ni radical ni dénominateur. Il faut maintenant vérifier si les deux segments se joignent. En évaluant la limite à gauche et la limite à droite, on trouve : et On peut donc conclure que la fonction a une discontinuité par saut fini à x = 3. S

9 Essentielle et non essentielle DÉFINITION Discontinuité essentielle Soit f, une fonction ayant une discontinuité en x = c. On dit que la discontinuité est essentielle si nexiste pas. DÉFINITION Discontinuité non essentielle Soit f, une fonction ayant une discontinuité en x = c. On dit que la discontinuité est non essentielle si existe. Les discontinuités non essentielles sont les suivantes : discontinuité par trou et par déplacement. S

10 Continuité DÉFINITION Continuité en un point Une fonction f(x) est dite continue en x = c si et seulement si : existe. La deuxième condition signifie que la limite à gauche est égale à la limite à droite et que cette limite est un nombre réel. 1. f(c) est définie, cest-à-dire c dom f ; 2. = f(c)3. On remarque de plus que la troisième condition englobe les deux autres.

11 Analyse de la continuité On peut avoir à démontrer la continuité en un point ou à faire létude globale de la continuité dune fonction. Pour démontrer que la fonction est continue en un point, on doit montrer que les trois conditions de la définition précédente sont satisfaites. Lanalyse globale de la continuité dune fonction consiste à déterminer pour quelles valeurs celle-ci est discontinue et le type de chacune de ses discontinuités, puis à indiquer sur quels intervalles, ouverts ou fermés, elle est continue. S Pour faciliter cette analyse, nous définirons les notions de continuité sur un intervalle ouvert et sur un intervalle fermé et nous énoncerons quelques théorèmes nous permettant de conclure à la continuité dune fonction sur un intervalle.

12 S Exemple Montrer que la fonction définie par : Solution En évaluant la limite lorsque x sapproche de 5, on obtient : Le dénominateur sannule à x = –2 et à x = 3. Le domaine de la fonction est donc R\{–2, 3}. Par conséquent, 5 dom f et f(5) existe. En fait : On peut conclure que la fonction est continue à x = 5. est continue à x = 5. Donc, la limite existe et de plus, on a :

13 SS Exemple Faire lanalyse globale de la continuité de la fonction définie par : Solution Lorsque x > 2, la fonction est définie par Lorsque x 2, la fonction est définie par La fonction a donc une discontinuité à linfini à x = 4 et une discontinuité par manque sur [4; [. S Cette expression est définie et continue partout pour x 2 puisque le radical est défini pour toute valeur de x plus petite ou égale à 3. Le dénominateur sannule à x = 0 et à x = 4, mais 0 nest pas dans lintervalle ]2; 4[. À x = 4, le dénominateur est seul à sannuler, on a donc une forme k/0. En analysant le comportement à gauche de 4, on obtient : Il reste une dernière valeur à analyser, à x = 2, pour déterminer si les deux segments sont joints on non. En évaluant la limite à gauche et la limite à droite, on obtient : et La limite à gauche est égale à la limite à droite et cette limite est limage par la fonction. Par conséquent, les trois conditions sont satisfaites et la fonction est continue à x = 2 Conclusion La fonction a une discontinuité par à linfini à x = 4 et une discon- tinuité par manque sur [4; [. Elle est continue partout ailleurs.

14 SS Remarques La fonction est continue à 2 puisque la limite à gauche est égale à la limite à droite et que cette limite est limage par la fonction. S Cela signifie que les deux sections de courbes se rejoignent en un point qui est limage de 2 par la fonction. Il faut absolument que toutes ces conditions soient satisfaites pour que la fonction soit continue à x = 2. En apportant des modifications à la définition de la fonction, on peut obtenir divers type de discontinuités. (2; 1) (2; 3) S On a alors une discontinuité par dépla- cement à x = 2. On a alors une discontinuité par saut fini à x = 2. x = 4 (2; 3) x = 4

15 Continuité sur un intervalle DÉFINITION Continuité sur un intervalle ouvert Une fonction f est dite continue sur un intervalle ouvert si elle est continue pour tout x ]c; d[. DÉFINITION Continuité sur un intervalle fermé Une fonction f est dite continue sur un intervalle fermé si elle est continue pour tout x ]c; d[. continuité par la droite; 1. Elle est continue pour tout x ]c; d[; 2. 3.continuité par la gauche. S

16 SS Exemple Montrer que la fonction définie par : Solution La fonction est donc continue dans lintervalle ouvert ]–2; 2[. Le domaine de f est lintervalle [–2; 2]. Par les propriétés des limites, on peut écrire que pour tout c dans lintervalle ouvert ]–2; 2[, on a : La fonction est donc continue par la gauche à x = 2 et par la droite à x = –2. S De plus, Conclusion est continue sur [–2; 2]. et, La fonction est continue sur lintervalle fermé [–2; 2].

17 Théorèmes sur la continuité Théorème Fonctions continues sur leur domaine. Toute fonction polynomiale est continue sur R. S Toute fonction rationnelle f(x) = g(x)/h(x), où g(x) et h(x) sont des polynômes, est continue sur son domaine. Toute fonction irrationnelle est continue sur son domaine. Toute fonction exponentielle est continue sur son domaine. Toute fonction logarithmique est continue sur son domaine. Rappel Le domaine dune fonction est lensemble des valeurs de la variable indépendante qui ont une image par la fonction. Il faut se rappeler que la division par zéro et lextraction de la racine paire dun nombre négatif ne sont pas définies sur R. Dans le cas dune fonction logarithmique, il faut que son argument soit plus grand que 0.

18 SS Exemple Faire lanalyse globale de la continuité de la fonction définie par : Solution Lorsque x > 1, la fonction est définie par une expression irrationnelle. Elle est continue pour tout nombre réel positif, elle est donc continue sur ]1; [. Lorsque x < 1, la fonction est définie par y = x 2 – 1. Cest une fonction polynomiale, elle est continue pour tout nombre réel, elle est donc continue sur ]–; 1[. On constate que la limite à gauche est différente de la limite à droite et chacune de ces limites est différente de limage par la fonction. La valeur x = 1 est suspecte, il peut y avoir une discontinuité en cette valeur. On connaît déjà limage, f(1) = 4 par définition. En évaluant la limite à gauche et la limite à droite, on trouve : et Conclusion La fonction a une discontinuité par saut fini et déplacement dun point à x = 1. Elle est continue partout ailleurs.

19 Continuité et valeurs intermédiaires Théorème de la valeur intermédiaire Soit f, une fonction telle que : S f est continue sur [a; b]; f(a) < L < f(b) [ou f(b) < L < f(a)]; alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que f(c) = L. Le domaine dune fonction est lensemble des valeurs de la variable indépendante qui ont une image par la fonction. Il faut se rappeler que la division par zéro et lextraction de la racine paire dun nombre négatif ne sont pas définies sur R. Dans le cas dune fonction logarithmique, il faut que son argument soit plus grand que 0.

20 Continuité et valeurs intermédiaires S Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, puisque f est continue sur [a; b], chaque nombre compris entre f(a) et f(b) a au moins une préimage dans lintervalle ]a; b[. Si la fonction est discontinue sur [a; b], on ne peut rien conclure. a f(a)f(a) b f(b)f(b) L c a f(a)f(a) b f(b)f(b) L c1c1 c2c2 c3c3 S a f(a)f(a) b f(b)f(b) L a f(a)f(a) b f(b)f(b) L c Dans certains cas, il y a une préimage, dans dautres non.

21 Localisation des zéros Théorème de localisation des zéros Soit f, une fonction telle que : S f est continue sur [a; b]; f(a) et f(b) sont de signes contraires; alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que f(c) = 0.

22 Localisation des zéros S Le théorème de localisation des zéros affirme que si f est continue dans un intervalle et quà lune des frontières limage est positive et quà lautre elle est négative alors le graphique doit couper laxe horizontal au moins une fois dans lintervalle. Le théorème de localisation des zéros est un cas particulier du théorème de la valeur intermédiaire, il traite du cas L = 0. a f(a)f(a) b f(b)f(b)

23 SSS Exemple Soit la fonction définie par f(x) = x 3 – 4x – 2. Localiser les zéros de cette fonction dans lintervalle [–3; 3]. Solution En calculant les images pour chaque valeur entière dans lintervalle, on trouve : La fonction est continue sur [–2; –1], de plus, f(–2) et f(–1) sont de signes contraires. Le théorème de localisation des zéros permet de conclure que la fonction a un zéro dans lintervalle [–2; –1]. En procédant de façon analogue, on détecte un deuxième zéro dans lintervalle [–1; 0] et un troisième dans lintervalle [2; 3]. x–3–2–10123 f(x)–17–21–2–5–213 REMARQUEv On peut cerner les zéros en diminuant la largeur des intervalles. Ainsi, puisque f(2) = –2 et f(3) = 13, le zéro est probablement plus proche de 2 que de 3. On peut faire un test sur lintervalle [2; 2,5]. On peut également trouver léquation de la droite passant par les points (2; –2) et (3; 13). Lintersection de cette droite avec laxes des x est une meilleure approximation du zéro. S

24 Conclusion Grâce à la notion de continuité dune fonction, on est maintenant en mesure de justifier notre procédure pour déterminer le taux de variation ponctuel dune fonction. La recherche du taux de variation ponctuel dune fonction f en un point dabscisse x = c donne toujours une limite de la forme 0/0. Cela correspond à une discontinuité non-essentielle de f en x = c. Puisque cette discontinuité est non-essentielle, il nous est possible de lever lindétermination, algébriquement dans la plupart des cas, numériquement dans les autres. La démarche algébrique pour lever lindétermination consiste à déterminer une fonction g continue en x = c et qui a le même comportement que f partout ailleurs. On peut alors évaluer la limite de f lorsque x sapproche de c en calculant g(c), limage de c par la fonction g. Cette image est le taux de variation ponctuel cherché. S La notion de continuité permet de répondre à la critique des fondements du calcul différentiel selon laquelle il est arbitraire dintroduire une variation h que lon traite comme une grandeur non nulle sachant fort bien que ce qui est visé au terme du processus cest de poser h = 0.

25 Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, Section 4.1, p Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, Section 4.2, p


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