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Equation du second degré. Sommaire Exemple Définition Résolution graphique –Cas1Cas1 –Cas2Cas2 –Cas3Cas3 –Exo 4Exo 4 –Ex: Entreprise ReguenetEx Résolution.

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1 Equation du second degré

2 Sommaire Exemple Définition Résolution graphique –Cas1Cas1 –Cas2Cas2 –Cas3Cas3 –Exo 4Exo 4 –Ex: Entreprise ReguenetEx Résolution algébrique dune équation du second degréRésolution algébrique dune équation du second degré

3 Sommaire Exemples Remarque 1 Remarque 2 Factorisation Exemple Inéquation du second I. Signe du trinômeSigne du trinôme Exemples II. Solution dune inéquation du second degréSolution dune inéquation du second degré

4 Définition : Une équation du second degré a pour forme générale : Les solutions (si elles existent) d'une telle équation sont les abscisses des points d'intersection : · de la parabole d'équation P déquation y = a x 2 + b x + c · et laxe (ox) déquation y = 0

5 Résolution graphique dune équation du second degré

6 Cas 1 : (figure I)figure I La parabole ( P ) coupe laxe des abscisses (ox) en deux points A et B. Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d'intersection de (ox) et (P). Exemple Résoudre graphiquement x 2 + x 6 = 0.

7 Pour cela : 1. On trace la parabole (P) d'équation y = x 2 + x On lit sur laxe (ox) d'équation y = 0 3. Les points d'intersection A et B ont pour coordonnées respectives (- 3; 0) et (2; 0). Les abscisses x A = 3 et x B = 2 sont solutions de l'équation x 2 + x 6 = 0. Vérification : · ( 3) 2 + ( 3) – 6 = 0, · – 6 = 0.

8 Cas 2 : (figure II)figure II Laxe (ox) est tangente à la parabole (P) au point I. La solution est l'abscisse du point de tangence de la droite à la parabole. Exemple Résoudre graphiquement léquation:

9 Pour cela: On t race la parabole (P) d'équation y = x x + 4 Le point d'intersection I a pour coordonnées : (2 ; 0) Son abscisse x = 2 est solution de l'équation :

10 Cas 3 : (figure III)figure III Laxe (ox) ne coupe pas la parabole (P). L'équation n'a pas de solution dans ce cas. Exemple Résoudre graphiquement léquation x 2 x 2 = 0. Pour cela : · On trace la parabole (P) d'équation y = - x 2 x 2. · Il n'y a pas de point commun. Il n'existe donc pas de réel x pour lequel x 2 x 2 = 0.

11 A B

12 I

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14 IV. Equation: 2 x 2 + x – 6 = 0Equation Les coordonnées du point dintersection sont: (- 2; 0) et (1,5; 0) Les solutions sont: x = - 2 et x = 1,5

15 Solutions: x = - 2 et x = 1,5

16 Exemples

17 Coût de production : 1. a. Tableau de valeurs: b. Voir graphique.Voir graphique 2. a. Tableau de valeurs :

18 b. Une centaine dobjets est vendue à 10 k, donc n centaines seront vendues à R = 10 n c. Voir graphiqueVoir graphique 3. a. B(n) = R(n) – C(n) = 10 n – (n² + 9) = - n² + 10 n – 9 b. Pour avoir des bénéfices, h(x) doit être positive, donc lentreprise doit vendre entre 100 et 1000, exclus, objets. Par lecture graphique, le bénéfice est maximum pour 500 objets c. Voir graphiqueVoir graphique d. Pour 500 objets le bénéfice est maximal

19 D: R(n) = 10 n P: C(n) = n 2 + 9

20

21 RENTABILITÉ DUNE PRODUCTION 1. Tableau de valeurs : x x² - 40 x · Représentation graphique de la fonction C(voir graphique).voir graphique

22 2. Tableau de valeurs. x P(x) = 10 x Voir graphique.graphique. · Le prix de vente est égal au coût dachat pour q = 5 et q = 20. La production est rentable pour

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24 Exercice: Entreprise de M. Ringuenet

25 PREMIERE PARTIE : 1. Tableau : 2. a) C A = 0,3 n pour tout n compris entre 0 et 50 ( 10 n 50 ) b) C A = 0,7 n + 80 pour tout n compris entre 50 et 120 ( 50 n 120 ) 3. Courbe de la fonction fCourbe de la fonction f

26 DEUXIEME PARTIE : 1. Tableau de valeurs. 2. Voir graphique.Voir graphique TROISIEME PARTIE : 1. Par lecture graphique, f(x) = g(x) lorsque x = 100x = Dans lintervalle [50 ; 120], f(x) = 0,7 x + 80 et = 0,006 x

27 donc dans lintervalle [50 ; 120], f(x) = g(x) Et après simplification, on trouve

28 3. Par lecture graphique, f(x) < g(x) lorsquegraphique 4. Daprès létude précédente, et puisque la destination des colis est à plus de 100 km, M. Ringuenet devra choisir la société A qui semble plus intéressante à partir de 100 km.

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30 Résolution algébrique dune équation du second degré

31 Méthode du discriminant Pour résoudre léquation a x 2 + b x + c = 0(avec a non nul), On calcule le nombre Ce nombre est appelé discriminant de léquation. Trois cas sont possibles: Si < 0, léquation na pas de solution Si = 0, léquation a une solution unique:

32 Si > 0, léquation a deux solutions distinctes:

33 Exemples: Résoudre I. 2 x 2 – 5 x – 3 = 0 a = 2;b =c =- 5; - 3 Je calcule le discriminant: donc léquation a deux solutions

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36 II. 4 x 2 – 4 x + 1 = 0 a = 4;b =c =- 4; 1 = (- 4) 2 – 4×4×1 = 0 = 0, donc léquation a une seule solution

37 III. – 3 x x – 5 = 0 a = - 3;b =c =5; - 5 donc léquation na pas de solution

38 Remarque 1 Dans les cas où léquation à résoudre peut se mettre immédiatement sous forme de produit de facteurs, On nutilise pas la méthode du discriminant; Il est plus rapide dans ce cas de factoriser léquation. Exemple: Résoudre dans 3 x 2 – 9 x = 0 3 x ( x – 3) = 0 3 x = 0 et x = 0 ou x – 3 = 0 et x = 3 Doù les solutions x 1 = 0 et x 2 = 3

39 Organigramme de résolution Pour résoudre une telle équation, on utilise lorganigramme suivant:

40 a x² + b x + c = 0 Calcul du discriminant Δ = b ² - 4 a c Δ = 0 Une seule solution b x 1 = x 2 = - 2 a Deux solutions Δ > 0 Aucune solution Dans lensemble des nombres réels Δ < 0

41 Remarque 2: Les solutions de léquation a x ² + b x + c = 0 sont aussi appelées les racines du polynôme a x ² + b x + c

42 Factorisation du polynôme a x ² + b x + c a. Si Δ > 0, le polynôme a x ² + b x + c a deux racines x 1 et x 2 et il se factorise comme suit: a x² + b x + c = a ( x – x 1 )(x – x 2 )

43 Factorisation du polynôme b. Si Δ = 0, a x² + b x + c admet une seule racine x 0 telle que: a x ² + b x + c = a ( x – x 0 )² c. Si Δ < 0, a x ² + b x + c na pas de racine; il ne peut être factorisé

44 Exemple Factoriser le polynôme 3 x² + 7 x – 20 Δ = 7² - 4×3×(-20) = 289 > 0 Donc ce polynôme admet 2 racines:

45 Résolution dune inéquation du second degré

46 I - Signe du trinôme a x 2 + b x + c avec a 0

47 Exemples : a. Cas où > 0 : Recherche graphique du signe de f(x) = x 2 – 4 x + 3 : a = 1 ; b = - 4 ; c = 3 On calcule Δ = b² - 4 a c = 16 – 12 = 4 > 0 ; donc f(x) admet 2 racines : x 1 = 3 ; x 2 = 1

48

49 Par lecture graphique Par lecture graphique on a : Pour x 3, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Pour 1 < x < 3, f(x) = x² - 4 x + 3 < 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant(a = 1 > 0) :

50 Recherche graphique du signe de f(x) = - 2 x 2 – x + 6 : a =- 2;b =- 1 ;c = 6 = b 2 – 4 a c = 49 > 0; donc le trinôme f(x) = - 2 x 2 – x + 6 admet 2 racines x 1 = 1,5 et x 2 = - 2

51

52 Par lecture graphique :lecture graphique Pour x 1,5; f(x) = - 2 x² - x + 6 < 0 Pour – 2 < x < 1,5; f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant(a = - 2 < 0 ):

53 Daprès les deux études précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du coefficient a On constate donc que lorsque le discriminant > 0, on a le schéma suivant : xx1x1 x2x2 Signe de a x² + b x + c00 Signe de a Signe de - a

54 b. Cas où = 0 : Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que: et se factorise comme suit : a x² + b x + c = a (x – x 0 ) 2

55 Tableau de signes : + x x0x0 Signe de a Signe de (x – x 0 ) 2 + Signe de a x² + b x + c = a (x – x 0 ) 2 Signe de a

56 c. Cas où < 0 : La factorisation du trinôme a x ² + b x + c est impossible. Le trinôme a x ² + b x + c, dans ce cas, est toujours du signe de a.

57 II. Solution dune inéquation du second degré :

58 Résoudre une telle inéquation revient à étudier le signe du trinôme a x ² + b x + c(a non nul). Trois cas sont possibles : 1. Si > 0 ; a x ² + b x + c = a (x – x 1 )(x – x 2 ) etSi > 0 a) a (x – x 1 )(x – x 2 ) est du signe de a à lextérieur de x 1 et x 2 b) a (x – x 1 )(x – x 2 ) est du signe contraire de a à lintérieur de x 1 et x 2

59 2. Si = 0 ; a x² + b x + c = a (x – x 0 ) 2 est toujours du signe de aSi = 0 3. Si < 0 ; le trinôme a x ² + b x + c est toujours du signe de a.


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