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Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 1 Chapitre 3 Mécanique des milieux continus.

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1 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 1 Chapitre 3 Mécanique des milieux continus En arrière-plan: sur la poutre dégale résistance. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

2 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 2 Contenu du chapitre 3 (1) 1. Introduction La mécanique des milieux continus (MMC) Secteurs de la MMC 2. Déformation Le tenseur de la déformation Types de déformations simples Les déformations principales 3. Contrainte La contrainte comme effort interne Le tenseur de la contrainte Les contraintes principales 4. Les équations de bilan A la recherche déquations générales Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement… …et de son moment

3 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 3 Contenu du chapitre 3 (2) 5. Comportement des matériaux Nécessité déquations supplémentaires Relation contrainte-déformation Homogénéité et isotropie Types de matériaux solides 6. Élasticité La loi de Hooke généralisée Lénergie de déformation Élasticité anisotrope et isotrope Les équations de Lamé Les critères de résistance La fatigue 7. Bibliographie En librairie… … et sur Internet

4 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 4 Chapitre 3 1. Introduction La mécanique des milieux continus (MMC) Secteurs de la MMC En arrière-plan: sur les dimensions des structures biologiques. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

5 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 5 La mécanique des milieux continus (MMC) (1) Si la mécanique classique générale soccupe, traditionnellement, des corps rigides, la mécanique des milieux continus (MMC) soccupe du comportement des corps continus déformables. On a déjà vu, au chapitre 2 (pages 14-16) les caractéristiques essentielles du modèle de corps continu. Maintenant, il ne faut que souligner la propriété essentielle de ceux quon appelle milieux continus, la déformabilité: sous laction de certaines causes (forces appliquées, variations de température etc.) un milieux continu se déforme, à savoir il change, en générale, de volume et de forme.

6 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 6 La mécanique des milieux continus (MMC) (2) Lobjet de la MMC est justement de donner les lois physiques qui décrivent les transformations des corps déformables, en prenant donc en compte les déformations et en considérant les différents types de comportement dun milieux continu. La différence par rapport à la mécanique des corps rigides est surtout dans une difficulté accrue de la matière, surtout dun point de vue mathématique, nécessaire à prendre en compte la description de la déformabilité. Ceci comporte lintroduction de nouveaux concepts mécaniques et des instruments mathématiques capables de les décrire: les tenseurs (de la déformation, de la contrainte, de lélasticité etc.).

7 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 7 t Fixons dabord un schéma général, auquel on reviendra plusieurs fois, et qui va nous servir, maintenant, pour introduire toutes les quantités qui peuvent apparaître en MMC. Le corps continu: on lindiquera avec, qui est aussi la région de lespace euclidien quil occupe à un instant donné; sa frontière, quon indiquera avec : cest lenveloppe de est formé de points matériels p, dont les déplacements sont indiqués par u; la masse volumique : elle est, en général, fonction de la position p et du temps t: (p,t); les forces volumiques b: ce sont les forces distribuées sur les points de par unité de volume (p. ex. la pesanteur); u La mécanique des milieux continus (MMC) (3) les forces surfaciques t: ce sont les forces de contact par unité de surface (p. ex. la pression), appliquées sur une partie t de ; les déplacements de la frontière: sur une partie u de on peut avoir des déplacements donnés (souvent nuls, p. ex. aux appuis). b up = (p,t)

8 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 8 Secteurs de la MMC La MMC se divise en plusieurs secteurs: étude de la déformation; étude de la contrainte; lois de bilan; rhéologie: étude du comportement des matériaux; mécanique des solides; mécanique des fluides. La mécanique des fluides sera introduite au chapitre 4; dans ce chapitre on abordera les autres parties; pour ce qui concerne la mécanique des solides, on se bornera à une introduction à la théorie de lélasticité. Dans tout ce qui suit, on nintroduira que des grandeurs mécaniques; en particulier, on ne soccupera pas des phénomènes liés aux changements de température.

9 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 9 Chapitre 3 2. Déformation Le tenseur de la déformation Types de déformations simples Les déformations principales En arrière-plan: sur la résistance des poutres. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

10 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 10 Le tenseur de la déformation (1) Le problème qui se pose lorsquon souhaite étudier les transformations dun milieux continu est: comment mesurer les déformations? Ce nest pas une question simple, car les déformations concernent aussi bien les changements de volume (donc des dimensions) que de forme. Ensuite, il faut une mesure efficace, capable de représenter des quantités qui ont une signification géométrique et physique précise et si possible simple. Une observation peut être faite dores et déjà: comme les déformations peuvent changer avec lendroit, la mesure de la déformation doit être une mesure locale, ponctuelle. Plusieurs mesures de la déformations sont possibles (la déformation nest pas une grandeur physique objective, absolue, comme p. ex. la masse ou la longueur; elle est conventionnelle). A laide dun exemple simple nous allons voir la définition la plus classique de la déformation.

11 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 11 Considérons donc une barrette de matériau déformable, soumise à une traction. La barrette se déforme et on peut mesurer sa déformation par le rapport entre la variation de sa longueur et sa longueur initiale: Le tenseur de la déformation (2) Cette quantité est adimensionnelle. Elle donne une mesure de leffet de déformation de la force appliquée. Si la déformation est une dilatation, > 0, si elle est une contraction, < 0. Cette mesure de la déformation est seulement une des mesures possibles; elle est la plus utilisée si les déformations en jeu sont petites (hypothèse des petites perturbations, HPP).

12 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 12 Le tenseur de la déformation (3) LHPP est une hypothèse adoptée en MMC classique. Ceci est justifié par le fait que la plupart des matériaux quon étudie sont tellement rigides que les déformations quils permettent sont, normalement, très petites. Or, la définition vue ci-dessus ne peut pas compléter lanalyse de la déformation. En fait elle est macroscopique (la mesure est faite sur la pièce entière, non localement) et unidirectionnelle (on fait implicitement lhypothèse que la seule déformation en jeu est la dilatation le long de laxe de la barrette). Pour étudier la déformation dun milieu continu quelconque, il faut généraliser cette définition.

13 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 13 Le tenseur de la déformation (4) Cette généralisation doit pouvoir décrire localement et complètement la déformation. En fait, un corps continu peut subir une déformation qui change avec la position et la déformation ne concerne pas que les variations de longueur, mais aussi les autres caractéristiques géométriques, comme par exemple les angles, les volumes etc. La généralisation de la mesure de la déformation se fait par une grandeur mathématique complexe, le tenseur de la déformation, quon indiquera classiquement par. Voyons comment on calcule et quelle est la signification géométrique de ses composantes.

14 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 14 Le tenseur de la déformation (5) En général, lors dune déformation, due p. ex. à lapplication de forces, les points dun corps se déplacent: chaque point p va occuper une nouvelle position, p (très proche à p, par lHPP), en effectuant un déplacement u=u(p). Considérons deux vecteurs matériels infiniment petits, v et w, appliqués en p, qui forment langle. A la suite de la déformation, eux aussi résulteront déformés: en particulier, ils se seront transformés en deux autres vecteurs infiniment petits, v et w, qui forment un angle. Lanalyse de la déformation doit permettre de calculer les variations de longueur des deux segments, la variation dangle et toutes les autres variations géométriques, en particulier celle du volume. p o x3x3 x2x2 x1x1 u(p)u(p) p v w v w

15 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 15 Le tenseur de la déformation (6) Mathématiquement, on définit comme la partie symétrique du gradient de déplacement: La quantité u i,j est la dérivée de la composante u i de u faite par rapport à la coordonnée x j. est donc représenté par une matrice symétrique: 6 composantes de sont nécessaires pour connaître, localement, la déformation! Voyons à présent la façon dont est lié au calcul de la déformation.

16 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 16 Le tenseur de la déformation (7) Calcul de la déformation linéaire: le taux de variation de longueur dun vecteur v en p est donnée par Calcul de la variation angulaire: la variation dangle formé par deux vecteurs v et w est Calcul de la variation de volume: le taux de variation de volume est donné par: Un déformation est donc isochore (sans changement de volume) si le champ de déplacement est solénoïdal (à divergence nulle).

17 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 17 Voyons maintenant la signification des composantes ij de. Dabord, si dans la formule on prends comme vecteur v un des trois vecteurs des axes, e i, on a: Les composantes sur la diagonale de donnent donc le taux de variation de longueur des axes. Ensuite, si dans la formule on prends pour v et w deux vecteurs des axes, on a: Les composantes hors diagonale de donnent donc la variation angulaire des angles formés par les axes. Le tenseur de la déformation (8) ejej eiei e i e j ij

18 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 18 Extension (de valeur en direction e 1 ): cest quand Tel est le cas de la barrette en traction vue auparavant. Le déplacement varie avec x 1 mais la déformation est constante. Dilatation (de valeur ): cest quand: Cest le cas, p.ex., dun ballon quon gonfle ou de la déformation due à une pression extérieure (dans ce cas <0). Types de déformations simples (1) u(p)u(p) u(p)u(p) o e1e1 o

19 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 19 Types de déformations simples (2) Glissement (de valeur par rapport aux directions e 1 et e 2 ): cest quand On peut démontrer, entre autres, que chaque déformation peut être décomposée en une dilatation et une combinaison isochore de trois extensions plus trois glissements. Donc, ces trois simples déformations sont intéressantes aussi comme «briques» fondamentales de toute autre déformation possible. Toutefois, il y a une autre, très intéressante, représentation particulière de la déformation, que nous allons voir. x1x1 x2x2 o u(p)u(p)

20 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 20 Les déformations principales En fait, la matrice qui représente varie avec le repère choisi. Or, on peut démontrer quil existe toujours un repère particulier, le repère principale de la déformation, dans lequel est diagonal. Ceci signifie que dans ce repère les axes ne subissent pas des transformations angulaires: ils restent parallèles à eux-mêmes et orthogonaux entre eux. Dans le repère principal, les composantes diagonales de donnent les dilatations de trois axes principaux: ce sont les déformations principales. On peut démontrer que parmi ces déformations il y a la dilatation locale la plus grande et la plus petite.

21 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 21 Chapitre 3 3. Contrainte La contrainte comme effort interne Le tenseur de la contrainte Les contraintes principales En arrière-plan: sur la résistance à la traction. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

22 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 22 La contrainte comme effort interne (1) Les force qui sont appliquées à un milieux continus le déforment, on la déjà dit, et cette déformation intéresse, en règle générale, tout le corps: elle est locale, cest-à-dire variable avec la position. Mais alors, comment peut se déformer localement un corps, sinon par le fait quil y a des forces internes aux corps même, qui produisent localement la déformation? En effet, les différentes parties dun milieu continu séchangent entre elles de forces, par le simple fait quelles sont en contact. Ces forces, par unité de surface, prennent le nom de contraintes internes, ou de contraintes de Cauchy, du nom du scientifique qui les a étudiées, ou plus simplement de contraintes.

23 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 23 La contrainte comme effort interne (2) Voyons comment Cauchy a interprété le concept de contrainte interne: considérons un corps continu et un point p ; imaginons de sectionner en deux parties, 1 et 2, à travers un plan qui passe par p; soit n le vecteur unitaire par p, orthogonal à et extérieur à 1 ; à travers la section, la partie 2 transmet une force de contact t à 1 : cest la contrainte en p sur ; par le Principe daction et réaction, 2 transmet à 1 la contrainte égale et contraire; n t t tntn p le vecteur t peut être décomposé en deux vecteurs: la contrainte normale, t n, selon la normale n, et la contrainte tangentielle t t, sur le plan.

24 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 24 Le tenseur de la contrainte (1) Cauchy a aussi donné le théorème pour calculer la contrainte t, cest son théorème en or: Donc, selon Cauchy, la contrainte ne dépend que de la normale n, cest-à-dire de lorientation du plan, outre que de la position p. (p) est le tenseur de la contrainte en p; en fait, en général, ce tenseur est local, car normalement létat de contrainte change avec la position. décrit complètement létat de la contrainte en correspondance du point p: Voyons la signification physique des composantes ij de.

25 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 25 Le tenseur de la contrainte (2) Pour cela, considérons un cube de matériau avec les arêtes parallèles aux axes. Alors, si lon considère les trois normales e 1 =(1,0,0), e 2 =(0,1,0) et e 3 =(0,0,1), on voit bien que: les composantes sur la diagonale représentent les contraintes normales sur les trois faces orthogonales aux axes; les composantes hors diagonale représentent les deux composantes tangentielles de la contrainte: le premier indice est celui de laxe auquel la composante tangentielle est parallèle, le deuxième est celui de laxe auquel la face est orthogonale; les trois composantes de sur une même colonne sont les trois composantes du vecteur contrainte sur la face du cube orthogonale à laxe qui a lindice de la colonne (le 2 ème des 2 indices des composantes). x1x1 x3x3 x2x

26 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 26 Les contraintes principales Comme pour la déformation, la matrice qui représente varie avec le repère choisi. Encore comme pour, on peut démontrer quil existe toujours un repère particulier, le repère principale de la contrainte, dans lequel est diagonal. Linterprétation physique est analogue: selon ces trois directions, la matière est simplement soumise à effort normal, pas à effort tangentiel. Dans le repère principal, les composantes diagonales de donnent les contraintes normales selon les trois directions principales: ce sont les contraintes principales. On peut démontrer que parmi ces contraintes il y a la contrainte normale la plus grande et la plus petite.

27 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 27 Chapitre 3 4. Les équations de bilan A la recherche déquations générales Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement… …et de son moment En arrière-plan: sur le levier. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

28 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 28 A la recherche déquations générales Comme pour les corps rigides, il faut trouver pour les milieux déformables des équations générales. Celles-ci doivent décrire les transformation quun corps continu subit dans le temps, une fois connues les causes de ces transformations (dhabitude, les forces appliquées). Or, il y a une technique mathématique standard, mais plutôt compliquée, qui nous permet de trouver ces équations; elle se base sur un bilan: le taux de variation est égal au débit des causes de variation. Pour cette raison, ce équations sappellent équations de bilan ou de conservation. Il faut remarquer que le bilan est toujours écrit pour une partie matérielle du corps continu, cest-à-dire pour une partie constituée, durant toute la transformation, par les mêmes particules matérielles. Les équations fondamentales de bilan sont 3: de la masse, de la quantité du mouvement et de son moment.

29 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 29 Conservation de la masse Ici, la quantité dont on fait le bilan est la masse volumique (ou densité). Cette équation établi que pour une partie matérielle la masse se conserve (car une partie matérielle est formée toujours par les mêmes particules). Si v indique la vitesse, cette équation est: Cette équation sappelle aussi équation de continuité. Elle exprime la variation temporelle de la densité, variation qui est liée à la vitesse des particules du milieu. Pour un mouvement isochore, la densité est constante: Donc, une transformation isochore a non seulement le champ de déplacement solénoïdal (page 16), mais aussi celui de la vitesse.

30 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 30 Conservation de la quantité de mouvement… La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse. Le 2 ème Principe de Newton stipule, pour les systèmes à masse constante comme les parties matérielles, la variation temporelle de la quantité de mouvement en fonction des causes, les forces appliquées. Pour un corps continu, léquation de bilan de la quantité de mouvement donne: Cette équation est léquivalent du 2 ème Principe pour un corps déformable (par unité de volume): parmi les actions, à côté des forces de volume b il faut compter aussi la divergence de (ce vecteur a pour composantes la divergence de chaque ligne de ). En cas déquilibre, la vitesse et nulle et on obtient ainsi les équations déquilibre pour un corps déformable:

31 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 31 …et de son moment La conservation du moment de la quantité de mouvement est léquivalent, pour un corps déformable, de la deuxième équation du PFS. Cette équation de bilan a comme résultat que le tenseur de la contrainte est symétrique: Donc, pour connaître létat de contrainte en un point, il faut connaître 6 quantités indépendantes au lieu de 9. Entre autres, cest cette propriété de symétrie qui garantit lexistence des directions principales de la contrainte (et la même chose on peut la dire pour la déformation).

32 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 32 Chapitre 3 5. Comportement des matériaux Nécessité déquations supplémentaires Relation contrainte-déformation Homogénéité et isotropie Types de matériaux solides En arrière-plan: sur la poutre console. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

33 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 33 Nécessité déquations supplémentaires Les équations de bilan sont au nombre de 4: une équation de continuité (conservation de la masse) et les trois composantes scalaires de léquation de mouvement. Toutefois, les inconnues sont 10: la densité, les 3 composantes v i du vecteur vitesse et les 6 composantes distinctes ij du tenseur de la contrainte. Donc, pour espérer de résoudre le problème, il faut 6 équations supplémentaires. Or, ces 6 équations ne peuvent pas correspondre à un principe général, car tout ce quon pouvait écrire de général on la déjà écrit. En fait, les équations qui manquent doivent introduire le comportement du milieux, spécifier le type de sa réponse aux actions. En effet, les équations générales ne font pas de distinction entre deux milieux différents, mais cest évident quune pièce en caoutchouc répond de façon différente à une force appliquée que la même pièce en acier. Les nouvelles équations sont donc particulières à un matériau et décrivent sa réponse: ce sont les lois de comportement.

34 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 34 Relation contrainte-déformation Une loi de comportement (ou équation constitutive) spécifie le type de réponse dun certain matériau vis-à-vis dune action donnée (ici action est entendue en sens généralisé: force, contrainte, température etc.). Une loi de comportement doit respecter certains requis (comme le principe dobjectivité matérielle, qui stipule que le réponse ne dépend pas de lobservateur). Ce type de loi met en correspondance la contrainte avec la déformation (ou, comme en mécanique des fluides, avec la vitesse de déformation): cest la relation contrainte-déformation: Cette relation donne les six équations manquantes, car elle exprime les six composantes de en fonction des 6 composantes de, lesquelles sont fonctions des composantes du vecteur déplacement: le problème peut donc être résolu.

35 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 35 Homogénéité et anisotropie (1) A part le type de comportement qui caractérise la réponse dun matériau, il existe deux propriété générales dun milieu continu: lhomogénéité et lisotropie. Lhomogénéité est la propriété pour laquelle la loi de comportement dun milieu ne dépend pas de la position. Un corps qui a cette propriété est dit homogène, hétérogène dans le cas opposé. Des exemples de matériaux homogène sont les métaux, les plastiques, les céramiques, le verre, les fluides monophasiques, le chocolat sans noisettes etc. Exemples de matériaux hétérogènes sont le bois, le béton, les composites, les fluides bi-phasiques (le champagne!), le chocolat avec noisettes etc.

36 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 36 Homogénéité et anisotropie (2) Finalement, si un matériau est homogène, une seule loi de comportement suffit à le décrire, alors que sil est hétérogène, il faut plusieurs lois ou plutôt une loi dont les paramètres sont fonctions de la position. Lisotropie est la propriété pour laquelle la réponse dun matériau est insensible à la direction. Un matériau qui a cette propriété sappelle isotrope, anisotrope en cas contraire. Exemples de matériaux isotropes sont les métaux, le béton, les céramiques, le verre, les fluides, les plastiques etc. Exemples de matériaux anisotropes sont le bois, les composites, certaines pierres sédimentaires etc.

37 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 37 Types de matériaux solides (1) Considérons, dans la suite de ce chapitre, seulement des matériaux solides homogènes et isotropes. Dun point de vue expérimental, la caractérisation dun matériau se fait à laide dun essai de laboratoire classique, le test de traction. Ce test est le plus simple quon puisse faire, et donne des indications précieuses. Le test se fait sur une échantillon (éprouvette) de matériau qui a une forme et des dimensions caractéristiques et réglementées (voir la figure).

38 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 38 Types de matériaux solides (2) La partie centrale de léprouvette est instrumentée avec des jauges électriques (capteurs de déformation) alors que des capteurs de force placés sur la machine de traction permettent la mesure de leffort appliqué. Grâce au test de traction, on peut tracer le diagramme fondamental dun matériau, la courbe contrainte- déformation. Cette courbe a en abscisses la déformation et en ordonnées la contrainte correspondante. Voyons un cas typique, celui dun acier de construction.

39 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 39 Types de matériaux solides (3) Le diagramme peut se diviser en plusieurs zones: zone élastique: le comportement est linéaire, jusquà la contrainte él ; si lon décharge léprouvette, on repasse par la droite de chargement; zone plastique: la déformation augmente à contrainte fixe; si lon décharge, on suit une droite parallèle à la droite de chargement et à contrainte nulle on a une déformation résiduelle plastique: lépro- uvette ne retrouve plus ses dimensions dorigine; zone décrouissage et rupture: la contrainte recommence à croître, mais pas de façon linéaire, jusquà la striction et rupture totale de léprouvette. rupt él res res-rupt tot-rupt plast

40 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 40 Types de matériaux solides (4) Le test de traction permet de dire de quel type de matériau sagit. Lacier de construction est un matériau élasto-plastique avec écrouissage. La première phase, élastique, est présente dans presque tous les matériaux, en mesure plus ou moins grande. La phase plastique, dans laquelle le matériau subit des grandes déformations sous une contrainte constante, nest pas présente dans tous les matériaux; cest une phase extrêmement importante pour les applications et caractérise les matériaux ductiles. Les métaux et bon nombre de plastiques sont des typiques matériaux ductiles. Les matériaux qui nont pas la phase plastique arrivent à rupture à la fin de la phase élastique, avec des déformations dhabitude très petites, presque nulles: ce sont les matériaux fragiles.

41 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 41 Types de matériaux solides (4) Le verre, les céramiques, certains composites, la terre cuite, la fonte sont des typiques matériaux fragiles. La fragilité constitue un problème pour lemploi structural dun matériau, car labsence de phase plastique ne permet pas de constater sil y a un danger: si la force augmente au delà du prévu, dans un matériau ductile la crise est annoncée par des déformations très importantes, alors quon est encore loin de la rupture, tandis que dans un matériau fragile, la rupture nest pas précédée par des signes précurseurs, car on est toujours en phase élastique. Une autre particularité est celle des matériaux non résistant à la traction: ces matériaux ont dhabitude une excellente résistance à la compression, mais presque aucune résistance à la traction, à tel point quon peut la négliger complètement. Lexemple le plus typique est le béton (et en fait, pour lutiliser comme on doit larmer avec lacier qui, lui, résiste très bien à la traction: cest linvention du béton armé!). On reviendra au chapitre 5 sur la statique de ces matériaux.

42 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 42 Chapitre 3 6. Élasticité La loi de Hooke généralisée Lénergie de déformation Élasticité anisotrope et isotrope Les équations de Lamé Les critères de résistance La fatigue En arrière-plan: sur léquilibre des corps. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

43 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 43 La loi de Hooke généralisée (1) Lélasticité est une propriété générale des matériaux solides. Cette propriété fut énoncée par Hooke en 1660: ut tensio sic vis: la déformation est proportionnelle à leffort appliqué. Et cest exactement ça lélasticité: la proportionnalité qui existe entre leffet (la déformation) et la cause (la contrainte). Cette proportionnalité comporte que leffet disparaît si la cause cesse: physiquement, si on décharge, le corps reprend exactement sa forme et ses dimensions dorigine: lélasticité na pas un effet de mémoire.

44 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 44 La loi de Hooke généralisée (2) Lautre propriété de la proportionnalité est la linéarité: le lien entre contrainte et déformation est linéaire. On parle plus précisément, dans ce cas, délasticité linéaire, car ils existent des matériaux pour lesquels le lien nest pas linéaire. Le lien élastique linéaire le plus général est donc du type: Cest la loi de Hooke généralisée, qui caractérise les matériaux élastiques linéaires, au moins pour leur phase élastique, tels la plupart des métaux.

45 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 45 La loi de Hooke généralisée (3) Lopérateur C qui apparaît dans la loi de Hooke généralisée est le tenseur de lélasticité. Il contient toutes les informations, sous forme de composantes, qui permettent de décrire quantitativement le comportement dun matériau élastique linéaire. Or, C est un tenseur du 4 ème ordre, cest-à-dire que ses composantes ont 4 indices et les composantes ij sont données par: P. ex.:

46 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 46 La loi de Hooke généralisée (4) Ayant 4 indices, C a 81 composantes! Ceci serait une grande complications parce que, p. ex., un matériaux dont le comportement dépend de 81 paramètres distinctes aurait besoin de 81 mesures de laboratoires pour être caractérisé (vraiment trop compliqué!). Heureusement, le nombre de composantes distinctes de C est beaucoup plus petit, et cela pour plusieurs raisons. Dabord, les symétries de et de font en sorte que: Ces sont les symétries mineures, qui réduisent les composantes distinctes de 81 à 36.

47 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 47 Lénergie de déformation (1) Lautre réduction est due à lexistence de lénergie de déformation élastique, mise en évidence par Green. Lénergie de déformation élastique par unité de volume est Elle généralise à un corps tridimensionnel lénergie potentielle élastique introduite pour un ressort linéaire au chapitre 2 (page 56). En fait, par la loi de Hooke généralisée il est aussi

48 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 48 Lénergie de déformation (2) En fait, toutes les preuves de laboratoire faites sur tous les matériaux élastiques existant, même les cristaux à la structure la plus complexe, ont montré lexistence de cette énergie interne. Or, on peut démontré que lexistence de lénergie interne comporte dautres symétries sur les indices des composantes de C : Ce sont les symétries majeures, qui réduisent le nombre des composantes indépendantes de 36 à 21. La réduction est donc importante, mais en réalité on a dautres réductions possibles.

49 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 49 Élasticité anisotrope et isotrope (1) En fait, les deux réductions vues ci-dessus sont totalement générales, concernent tous les matériaux. Mais on peut réduire encore le nombre de constantes indépendantes si lon considère les éventuelles symétries matérielles du matériaux. Un matériau avec 21 constantes élastiques distinctes est dit totalement anisotrope. Or, on na jamais trouvé un tel type de matériau, car en Nature la matière sorganise normalement selon certaines symétries. Lexemple le plus classique ce sont les cristaux, qui ont une structure régulière basée sur certaines symétries matérielles, dépendant de la distribution des molécules sur le réticule cristallin.

50 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 50 Élasticité anisotrope et isotrope (2) La présence de ces symétries matérielles réduit ultérieurement le nombre de composantes indépendantes de C, mais cela dépend évidemment du matériau même: les réductions ultérieures ne sont pas générales, mais fonction du matériau. La catégorie la plus importante de symétrie matérielle est lorthotropie: un matériau orthotrope est un matériau qui a trois plans orthogonaux de symétrie matérielle. Nombre de cristaux sont orthotropes, mais aussi les composites renforcées par des fibres orientées, qui créent artificiellement les symétries matérielles.

51 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 51 Élasticité anisotrope et isotrope (3) Un matériaux orthotrope a seulement 9 composantes élastiques indépendantes. Des symétries plus poussées existent encore. Dabord, lisotropie transverse: cest une orthotropie dans laquelle tous les axes qui sont orthogonaux à un des axes dorthotropie sont de symétrie. Cest le cas du bois: les fibre sont distribuées de façon uniforme autour de laxe central du tronc: toute direction orthogonale à laxe du tronc est de symétrie. Un matériau transversalement isotrope est caractérisé par seulement 5 composantes indépendantes. Finalement, la dernière réduction est obtenue pour les matériaux isotropes.

52 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 52 Les équations de Lamé (1) On a déjà introduit lisotropie comme indépendance de la réponse matérielle de la direction. On peut considérer, de façon totalement équivalente, lisotropie comme la symétrie totale: un matériau isotrope est un matériau pour lequel toute direction est de symétrie matérielle. Ou encore: il ny a pas de directions privilégiées, dun point de vue mécanique: toute direction est mécaniquement équivalente. Or, on démontre que pour un matériau isotrope, le nombre de constantes élastiques indépendantes est seulement de 2! La réduction est énorme (de 81 à 2), et ces deux constantes peuvent être déterminées à laide dun seul test de laboratoire: le test de traction quon a déjà vu.

53 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 53 Les équations de Lamé (2) Lamé a spécifié la loi de Hooke pour les matériaux élastiques linéaires isotropes: et ce sont les constantes de Lamé, qui décrivent complètement le comportement élastique dun milieu isotrope. En notation indicielle, il est Le terme kk indique évidemment la trace de :

54 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 54 Les équations de Lamé (3) Souvent, au lieu dutiliser directement les constantes et, on préfère les remplacer par deux autres constantes, fonctions de et, car de signification physique plus directe et de plus simple mesure: le module dYoung, E, et le coefficient de Poisson, : Avec E et, les équations de Lamé deviennent: Les équations de Lamé inverses sobtiennent facilement:

55 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 55 Les équations de Lamé (4) Voyons la signification physique de E et, et pour cela, comme déjà dit, considérons encore une fois le test de traction. Une fois la charge de traction appliquée, léprouvette sallonge en direction longitudinale et se rétrécie en direction transversale (cest leffet Poisson). Dans la zone centrale de léprouvette, létat de contrainte est uniforme: En inversant les équations de Lamé, on obtient: x3x3 x2x2 x1x1

56 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 56 Les équations de Lamé (5) La signification physique de E et est donc évidente: E mesure le rapport entre la contrainte normale et la déformation qui lui correspond; cest donc la rigidité (par unité de surface et de déformation) du matériau; mesure le rapport entre les deux déformations, transversale et longitudinale; cest donc une mesure de leffet Poisson dans un matériau donné. Le calcul de E et se fait daprès la mesure de la force appliquée f (grâce à des capteurs de force) et des déformations, longitudinale 33 et transversale, 11 ou 22, par le biais de jauges extensimétriques collées sur léprouvette. Comme létat de contrainte est uniforme dans la partie centrale de léprouvette, et donc:

57 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 57 Les équations de Lamé (6) On démontre mathématiquement que E est une quantité positive, alors que A remarquer que si <0 le matériau se dilate en direction transversale lorsquon le tire! Cest p. ex. le cas du Gore-tex® ou encore dautres matériaux nouveaux, ainsi que de quelques composites dans certaines directions. Quelques valeurs pour des matériaux courants: AcierAllum.BoisBétonVerreCarbone E (GPa)

58 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 58 Les critères de résistance (1) La théorie de lélasticité constitue peut-être le plus complet et rigoureux exemple de théorie mécanique. Elle permet de calculer létat de contrainte et déformation dans de nombreux cas intéressants en pratique et donne aussi la démarche générale pour les calculer de façon numérique dans un cas quelconque. Elle sappuie sur un certain nombre de théorèmes quon démontre mathématiquement, dans le cadre théorique présenté ci-dessus (les hypothèses fondamentales restent la HPP et la loi de Hooke généralisée). La théorie de lélasticité a donc permis le développement de la mécanique des structures, car pour celle-ci la constatation fondamentale est que toute structure se comporte de façon élastique. Nous ne verrons pas dautres sujets en théorie de lélasticité, car elle est une théorie «dure» dun point de vue mathématique.

59 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 59 Les critères de résistance (2) Toutefois, nous avons vu lors de létude du test de traction, que la zone élastique nest pas infinie, mais elle termine, souvent, pour les matériaux ductiles, avec une zone plastique. Or, on à déjà dit que les structures se comportent de façon élastique. Ceci est très important dans les applications, car il comporte quune fois la structure utilisée, elle revient à sa forme et dimensions dorigine quand les actions cessent dagir. En plus, lélasticité linéaire signifie simplement quà effort double correspond déformation double etc. Or, en réalité, en considérant le diagramme contrainte- déformation, il faudrait plutôt dire quil faut faire en sorte quune structure se comporte de façon élastique. En fait, les concepteurs de structures doivent sassurer que le matériau reste partout en zone élastique.

60 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 60 Les critères de résistance (3) En fait, en zone plastique, les déformations sont irréversibles, et la structure ne reprend plus sa forme et dimensions dorigine (imaginez la Tour Eiffel que sous laction du vent va en régime plastique: une fois le vent cessé, elle resterait penchée…). Les concepteurs ont donc besoin de contrôler létat de contrainte dans la structure pour sassurer quon narrive jamais à la contrainte limite qui, pour les matériaux ductiles, est la contrainte limite délasticité, él. Or, si le matériau est soumis à un état monoaxial, comme pour léprouvette en traction, cest simple de faire ce contrôle, il suffit de comparer directement la contrainte avec él. Mais, comme cest le cas le plus souvent, normalement on a plusieurs composantes de contraintes non nulles (le tenseur est «plein»). Dans ce cas, il faut un critère, capable de transformer le tenseur de la contrainte en une contrainte «idéale» quon peut comparer avec él.

61 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 61 Les critères de résistance (4) Le concepteurs appelle ça un critère de résistance. Le critère de résistance le plus utilisé en élasticité, pour les métaux, est le critère de Von Mises. Selon ce critère, la limite élastique dun matériaux est atteinte lorsque lénergie de déformation responsable du changement de forme du corps arrive à une valeur limite, qui dépend du matériau. Cest intéressant de voir que selon Von Mises, ce ne sont pas les changements de volume responsables de lobtention de létat limite, mais seulement les changements de forme. A stricte rigueur, ceci est faux: en fait, ça voudrait dire, p. ex., quon arriverait jamais à casser un ballon quon gonfle! Toutefois, dans le cadre de lHPP cest une modèle qui donne des bonnes prédictions; comme, par la grande rigidité des métaux, on est presque toujours en HPP, ce critère est universellement accepté.

62 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 62 La fatigue (1) Il y a toutefois un cas où un matériau peut se rompre pour des valeurs de la contrainte maximale inférieures à la valeur limite de rupture: cest le cas de la fatigue. La fatigue est un phénomène qui se produit lorsquune pièce mécanique est sollicité dynamiquement, de sorte à ce que la contrainte oscille entre deux valeurs. Dans ce cas, comme dit, la rupture peut se produire, au bout dun certain nombre de cycles, même si, en conditions statiques, on serait en sécurité. Griffith, en 1920, a donné un modèle efficace pour expliquer le phénomène de la fatigue. Ceci est dû essentiellement au fait que le chargement dynamique donne de lénergie à la pièce et cette énergie se transforme en énergie de création de nouvelles surfaces.

63 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 63 La fatigue (2) Alors, une microfissure (il y a toujours des microfissures dans les pièces mécaniques), commence à se propager et à un moment donné arrive à casser complètement la pièce. Il faut dire quil sagit dun phénomène très complexe et dangereux. Beaucoup de désastres ont été provoqués par la fatigue: les Liberty Ship, qui se cassaient en deux, au beau milieu de locéan, les avions Constellation, qui perdaient les ailes, des ponts qui se cassaient etc. La fatigue nest pas un phénomène élastique, mais il est insidieux pour les structures élastiques sollicitées de façon dynamique: il faut toujours le considérer avec beaucoup de précaution.

64 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 64 Chapitre 3 7. Bibliographie En librairie… … et sur Internet En arrière-plan: sur la résistnce des poutres de différentes dimensions. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

65 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 65 En librairie… A. E. H. Love: A treatise on the mathematical theory of elasticity. Dover, (La Bible de la théorie lélasticité…). C. A. Truesdell: A first course in rational continuum mechanics. Academic Press, 1977 (2 tomes). Edition française: Introduction à la mécanique rationnelle des milieux continus. M. E. Gurtin: An introduction to continuum mechanics. Academic Press, J. E. Marsden, T. J. R. Hughes: Mathematical foundations of elasticity. Dover, G. Duvaut, Mécanique des milieux continus. Dunod, P. Germain, P. Müller: Introduction à la mécanique des milieux continus. Masson, J. Coirier: Mécanique des milieux continus. Dunod, 1997.

66 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 3 66 … et sur Internet P. Pedersen: Elasticity, anisotropy, laminates. Cours délasticité orienté aux stratifié en composite, à télécharger à ladresse J. Salençon: Mécanique des milieux continus. Tome 1. Un must de lEcole Polytechnique, à télécharger à ladresse J. Garrigues: Mécanique des milieux continus. Document à télécharger à ladresse http://esm2.imt-mrs.fr/gar/mmc.html


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