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Arguments mathématiques. Le Cycle des quintes « ne se ferment » que si il existe 2 nombres entiers N et P tels que N quintes = P octaves ou encore 1,5.

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1 Arguments mathématiques

2 Le Cycle des quintes « ne se ferment » que si il existe 2 nombres entiers N et P tels que N quintes = P octaves ou encore 1,5 N = 2 P Pourquoi 1,5 N = 2 P na pas de solution Solutions approchées de 1,5 N = 2 P Mesure des intervalles en fraction doctave Mesure des intervalles en degré (gamme circulaire). Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques

3 1,5 N = 2 P a-t-elle des solutions entières ? 1,5 N = 2 P (3/2) N = 2 P 3 N = 2 P+N 3 N est un nombre impair (produit de facteurs 3) 2 P+N est un nombre pair (produit de facteurs 2) Il ne peut donc y avoir dégalité entre 3 N et 2 P+N Léquation 1,5 N = 2 P na donc pas de solutions entières Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques

4 Solutions approchées de 1,5 N = 2 P Empiriquement, on peut constater en examinant les puissances successives de 1,5 et 2 que les meilleures approximations sont: 1,5 5 7,59 et 2 3 = 8 Cela donne la gamme pentatonique Erreur 0,41 / 8 5% 1, ,7 et 2 7 = 128 Cela donne la gamme de Pythagore Erreur 1,7 / 128 1,3% 1, ,5 et 2 24 = Cela donne une gamme de 41 notes Erreur 1,1% Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques

5 MESURE DES INTERVALLES On choisit donc la gamme de Pythagore: 12 quintes 7 octaves. La différence sera le COMMA. 12 quintes > 7 octaves (1, ,7 et 2 7 = 128) 1 comma = 12 quintes - 7 octaves 1 octave contient combien de comma? 1 octave = x comma Il sagit de trouver x tel que (3 12 / 2 19 ) x = 2. En passant par les logarithmes: x Log (3 12 / 2 19 ) = Log (2) Cela donne : x = Log (2) / Log (3 12 / 2 19 ) 51, Le coefficient multiplicateur du comma est donc: 1,5 12 / 2 7 = 3 12 / , … On a donc: 1 octave = 51, … comma Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques

6 MESURE DES INTERVALLES De la même façon, on calcule combien une quinte contient de comma: 1 quinte = x comma Il sagit de trouver x tel que (3 12 / 2 19 ) x = 1,5. En passant par les logarithmes: x Log (3 12 /2 19 ) = Log (1,5) Cela donne : x = Log (1,5) / Log (3 12 / 2 19 ) 29, On a donc: 1 Octave = 51, … comma 1 Quinte = 29, … comma Ecrit autrement: 1 comma = 1 / 51, …= 0, …Octave 1 Quinte = 29, … / 51, … = 0, …Octave Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques

7 MESURE DES INTERVALLES EN DEGRE Sur la gamme circulaire, 1 octave mesure 360° 1 quinte mesure 0, octave soit en degré 360 x 0, ,5865: 1 quinte 210,5865° 1 comma mesure 0, octave soit en degré 360 x 0, ,5865: 1 comma 7, ° De la même façon, on mesure les autres intervalles: Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques


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