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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Le point le plus près Le point le plus près.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Le point le plus près Le point le plus près

2 Introduction Nous verrons comment déterminer le point dune droite ou dun plan le plus rapproché dun point hors de cette droite ou de ce plan.

3 Le point le plus près dans R 2 On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons comment procéder en déterminant lintersection de lieux géométriques. Le point R dune droite le plus proche dun point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite.

4 Le point le plus près dans R 2 Intersection de lieux pour déterminer le point R dune droite le plus rapproché dun point Q hors de cette droite par lintersection de lieux. 1.Déterminer une équation de la droite passant par le point Q et perpendiculaire à la droite. 2.Substituer les équations paramétriques dans léquation carté- sienne. 3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre des droites. 4.Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché. Procédure

5 Exemple En substituant ces équations paramétriques dans léquation de la droite, on obtient : S S La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à est : x = 4 + t y = 9 – 2t2t (4 + t) – 2(9 – 2t) + 4 = 0 Doù :4 + t – t 4t + 4 = 0 Cela donne :5 t – 10 = 0 et t = 2 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : x = = 6 y = 9 – 2 2 = 5 Le point le plus rapproché est donc R(6; 5). (6; 5) Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à.

6 Exemple Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : (x (x – 7; y – 2) (4; 2) = 0 le plus proche du point Q(7; 2). x = –1 + 4t y = 3 + 2t Léquation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à est donnée par : Doù :4x 4x – y 2y – 4 = 0 Et :4x 4x + 2y 2y – 32 = 0 En substituant les équations paramétriques de dans léquation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient : S S 4(–1 + 4t) + 2(3 + 2t) – 32 = 0 Doù :–4 + 16t t 4t – 32 = 0 Cela donne :20 t – 30 = 0 et t = 3/2 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de, on obtient : x = –1 + 4(3/2) = 5 y = 3 + 2(3/2) = 6 Le point le plus rapproché est donc R(5; 6). (5; 6)

7 Exercice Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9). En substituant ces équations paramétriques dans léquation de la droite, on obtient : S S La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à est : x = –2 + 3t y = 9 – 2t 3(–2 + 3t) – 2(9 – 2t) – 15 = 0 Doù :–6 + 9t 9t – t 4t – 15 = 0 Cela donne :13t – 39 = 0 et t = 3 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : x = – = 7 y = 9 – 2 3 = 3 Le point le plus rapproché est donc R(7; 3). (7; 3)

8 Exercice Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : (x (x – 3; y – 2) (3; –2) = 0 le plus proche du point Q(3; 2). x = –1 + 3t y = 9 – 2t Léquation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à est donnée par : Doù :3x 3x – 9 – 2y 2y + 4 = 0 Et :3x 3x – 2y 2y – 5 = 0 En substituant les équations paramétriques de dans léquation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient : S S 3(–1 + 3t) – 2(9 – 2t) – 5 = 0 Doù :–3 + 9t 9t – t 4t – 5 = 0 Cela donne :13t – 26 = 0 et t = 2 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de, on obtient : x = – = 5 y = 9 – 2 2 = 5 Le point le plus rapproché est donc R(5; 5). (5; 5)

9 Le point le plus près dans R 3 Le point dune droite le plus près dun point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique). Le point cherché est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. Cette droite est dans un plan perpendiculaire à et passant par le point Q. On peut donc déterminer une équation cartésienne du plan et trouver son intersection avec la droite. Méthode de lintersection de lieux Le vecteur directeur de la droite est donc un vecteur normal au plan.

10 SSS Exemple (Intersection de lieux) Trouver sur la droite : x = 8 + 3t y = –1 – 2t z = –2 + t le point le plus rapproché du point Q(3; 8; 3). En substituant les équations paramétriques de la droite dans léquation du plan, on obtient : Léquation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à est : 3(8 + 3t) – 2(–1 – 2t) + (–2 + t) + 4 = 0 Doù :24 + 9t 9t t 4t – 2 + t + 4 = 0 Cela donne :14t + 28 = 0 et t = –2 On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à. (3; –2; 1) (x (x – 3; y – 8; z – 3) = 0, doù : 3x 3x – 2y + z + 4 = 0 x = –2) = 2 y = –1 – 2 –2) = 3 z = –2 + 1 –2) = –4 Le point le plus rapproché est donc R(2; 3; –4). En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

11 SSS Exercice (Intersection de lieux) Trouver sur la droite : x = 7 – 4t y = –4 + 2t z = –2 + 3t le point le plus rapproché du point Q(–2; 8; 7). En substituant les équations paramétriques de la droite dans léquation du plan, on obtient : Léquation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à est : –4(7 – 4t) + 2(–4 + 2t) + 3(–2 + 3t) – 45 = 0 Doù :– t – 8 + 4t 4t – 6 + 9t – 45 = 0 Cela donne :29t – 87 = 0 et t = 3 On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à. (–4; 2; 3) (x (x + 2; y – 8; z – 7) = 0, doù : –4x + 2y + 3z – 45 = 0 x = 7 – 4 = –5 y = –4 + 2 = 2 z = –2 + 3 = 7 Le point le plus rapproché est donc R(–5; 2; 7). En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

12 Le point dun plan le plus près dun point hors du plan (méthode de lintersection de lieux) Le point dun plan le plus près dun point Q hors de ce plan dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne). Le point cherché est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan. Cette perpendiculaire est une droite passant par le point Q et ayant comme vecteur directeur le vecteur normal au plan. On peut donc déterminer une description paramétrique de la droite et trouver son intersection avec le plan.

13 Exemple En substituant ces équations paramétriques dans léquation du plan, on obtient : S S La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à est : x = 7 + t y = 9 + 2t2t z = t3t (7 + t) + 2(9 + 2t) + 3(15 + 3t) – 28 = 0 Doù :7 + t t 4t t – 28 = 0 Cela donne :14t + 42 = 0 et t = –3 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : x = –3) = 4 y = = 3 z = –3) = 6 Le point le plus rapproché est donc R(4; 3; 6). Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : x + 2y + 3z –28 = 0 le plus proche du point Q(7; 9; 15). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à.

14 Exercice En substituant ces équations paramétriques dans léquation du plan, on obtient : S S La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à est : x = t5t y = t3t z = –1 + t 5(23 + 5t) + 3(14 + 3t) + (–1 + t) – 16 = 0 Doù : t t 9t – 1 + t – 16 = 0 Cela donne :35t = 0 et t = –4. En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : x = –4) = 3 y = –4) = 2 z = –1 + 1 –4) = –5 Le point le plus rapproché est donc R(3; 2; –5). Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : 5x + 3y + z – 16 = 0 le plus proche du point Q(23; 14; –1). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à.

15 Les points les plus rapprochés de deux droites gauches Lorsquon a deux droites gauches, il y a toujours des plans parallèles contenant les droites. Méthode du vecteur normal En notant A et B, les points les plus rapprochés, on a alors : AB Les coordonnées des points A et B doivent satisfaire aux équations para- métriques de leur droite respective. = k On peut donc établir un système de contraintes dont les variables sont les paramètres des équations des droites et le scalaire k. En résolvant ce système, on connaîtra la valeur des paramètres aux points les plus rapprochés. N

16 Les vecteurs directeurs sont : Exemple (vecteur normal) Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes : SS = (–2; 4; –1) et D1 D1 1 : x = 7 – 2t y = –6 + 4t z = 6 – t = (1; –3; 2) D2 D2 2 : x = 1 + s y = –10 – 3s z = 8 + 2s N + (6 – 4) ijk –24 –1 1–32 = (8 – 3) i – (–4 + 1) j k D 1 D 2 = = 5i+ 3jk + 2 N = Trouvons le vecteur normal : = (5; 3; 2) S Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite 1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite 2. Il existe donc des valeurs de t et s telles que : a = 7 – 2t b = –6 + 4t c = 6 – t d = 1 + s e = –10 – 3s f = 8 + 2s AB = (d – a; e – b: f – c) = (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) Doù : AB Puisque : = k N, on a : (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) = k(5; 3; 2) = (5k; 3k; 2k) Doù lon tire le système déquations : s + 2t – 5k = 6 –3s – 4t – 3k = 4 2s + t – 2k = –2 En résolvant, on a : L1L1 L 2 + 3L 1 L 3 – 2L 1 12–5 0– –38–14 2 L 1 – L2L2 L2L2 2L 3 + 3L –18 – – L1L1 L 2 /2 L 3 /(–38) –9 – –1 1 L 1 – 13L 3 L 2 + 9L 3 L3L –3 2 00–1 1 1 S On a donc s = –3 et t = 2, doù : A :B : 2–5 –3–4– –2 1 1 Les points les plus rapprochés sont donc A(3; 2; 4) sur 1 et B (–2; –1; 2) sur 2. x = 7 – 2 2 = 3 y = – = 2 z = 6 – 2 = 4 x = 1 – 3 = –2 y = –10 – 3 (–3) = 1 z = = 2

17 Les vecteurs directeurs sont : Exercice (vecteur normal) Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes : SS = (3; 7; 4) et D1 D1 1 : x = –4 + 3t y = –10 + 7t z = –11 + 4t = (1; –1; –1) D2 D2 2 : x = 1 + s y = 1 – s z = 11 – s N + (–3 – 7) ijk –1 = (–7 + 4) i – (–3 – 4) j k D 1 D 2 = = –3i+ 7jk – 10 N = Trouvons le vecteur normal : = (–3; 7; –10) S Notons A(a; b; c), c), le point cherché sur la droite 1, et B(d; e; e; f), le point cherché sur la droite 2. Il existe donc des valeurs de t et s telles que : a = –4 + 3t b = –10 + 7t c = –11 + 4t d = 1 + s e = 1 – s f = 11 – s AB = (d – a; e – b: f – c) = (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) Doù : AB Puisque : = k N, on a : (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) = k (–3; 7; –10) = (–3k; 7k; –10k) Doù lon tire le système déquations : s – 3t + 3k = –5 –s – 7t – 7k = –11 –s – 4t + 10k = –22 En résolvant, on trouve : L1L1 L 2 + L1L1 L 3 + L1L1 1–33 0–4 –5 –16 0–713–27 –10 10L 1 – 3L 2 L2L2 10L 3 – 7L –4 –2 – –158 –10 L1L1 L2L2 L 3 /(–158) –4 –2 –16 00–1 –10 L 1 – 42L 3 L 2 + 4L 3 L3L –20 00 –1 –10 1 S On a donc s = 4 et t = 2, doù : A :B : –33 –1–7 –5 –11 –110–22 1 –4 Les points les plus rapprochés sont donc A(2; 4; –3) sur 1 et B (–2; –1; 2) sur 2. x = – = 2 y = – = 4 z = – = –3 x = = 5 y = 1 – 4 = z = 11 – 4 = 7

18 Conclusion En utilisant les vecteurs directeurs et les vecteurs normaux, on peut déterminer léquation dune droite ou dun plan perpendiculaire à un plan ou à une droite donnée passant par un point extérieur à cette droite. Lintersection de ces lieux géométriques donne le point le plus rapproché.

19 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 340 à 354.


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