La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Équationsdifférentielles. Équations différentielles Se dit dune équation qui lie une fonction dérivable et ses dérivées successives. On note le plus souvent.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Équationsdifférentielles. Équations différentielles Se dit dune équation qui lie une fonction dérivable et ses dérivées successives. On note le plus souvent."— Transcription de la présentation:

1 Équationsdifférentielles

2 Équations différentielles Se dit dune équation qui lie une fonction dérivable et ses dérivées successives. On note le plus souvent y la fonction inconnue de léquation et y, y (…) les dérivées de cette fonction. Résoudre Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, cest trouver toutes les fonctions solutions y définies sur I ; cest à dire toutes les fonctions, un certain nombre de fois dérivables sur I, et qui vérifient, pour tout x I, léquation différentielle proposée.

3 Exemples : Pour simplifier (!) les équations, on évite décrire y (x), y(x)...

4 Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre Tout dabord, comme nous ne sommes pas courageux ! Nous nous intéressons aux équations les plus simples : Pas de y 2, de... Que des y et y Coefficients sans la variable x Dun côté les « y » de lautre 0 ! Cest à dire : ou encore :

5 Théorème : Ce théorème est à connaître par cœur ! Tout comme la preuve de ce théorème ! Les solutions sur R de léquation différentielle (1) : y = a y, où a 0, sont les fonctions f k définies sur R par :, où k R.

6 Preuve : Montrons tout dabord quil y a des solutions ! Cest à dire des fonctions dérivables qui vérifient (1) : y = a y. Pour cela nous allons simplement vérifier que f1 f1 est une solution de (1). f 1 est dérivable sur R et pour tout x : Ainsi, pour tout x R : Ce qui veut bien dire que f1 f1 est une solution de léquation (1). On peut de la même manière vérifier le théorème pour f k.

7 Maintenant, montrons quil ne peut pas y avoir dautres solutions ! Pour cela, soit g une solution quelconque de (1) : y = a y. On sait quil y a des solutions (cf diapo précédente !) g est donc une fonction dérivable sur R qui vérifie léquation (1) ; cest à dire que pour tout x R, g(x) = a g (x). On considère la fonction u définie sur R par : La fonction u est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables sur R. On a :Donc : Comme g(x) - a g (x) = 0, il en vient : Comme une exponentielle nest pas nulle, on a pour tout x R, u (x) = 0.0. Ainsi, la fonction u est une constante que lon peut notée k. Pour tout x R, u (x) = k.k. Ce qui donne pour la fonction g :

8 Exemple : On considère léquation différentielle : y = 3 y.y. Les solutions de cette équation sont les fonctions f définies sur R par :, où k R. C est aussi simple que ça !

9 Théorème : Pour tout couple (x0 (x0 ; y 0 ), il existe une unique solution f à l équation (1) : y = a y qui vérifie la condition initiale : f (x 0 ) = y 0. Cela revient à choisir la constante k de la fonction solution f k qui vérifie cette condition initiale. Linterprétation graphique de ce théorème nous donne : Par tout point M (x0 (x0 ; y 0 ), il ne passe quune seule courbe solution de (1). Ou encore : on peut toujours trouver une unique solution de (1) telle que la courbe de cette solution passe par un point donné.

10 Quelques courbes de solutions de léquation différentielle : y = 3 y.y. Ici k = 0,00001 Ici k = 100

11 Exemple : On considère léquation différentielle (1) : y = 3 y.y. On recherche la solution particulière f qui vérifie : f (-1) = 10. Les solutions de léquation (1) sont les fonctions f définies sur R par :, où k R. Or si f (-1) = 10, on a :Ce qui donne pour la constante k : Soit environ k = 201 !

12 Courbe de la fonction f définie par :

13 Théorème : Les solutions sur R de léquation différentielle (1) : y = a y + b, où a 0 et b 0 sont les fonctions f k définies sur R par :, où k R.

14 Exemple : On considère léquation différentielle : y = 3 y - 2. Les solutions de cette équation sont les fonctions f définies sur R par :, où k R. On peut aussi rechercher une solution particulière en imposant une condition.


Télécharger ppt "Équationsdifférentielles. Équations différentielles Se dit dune équation qui lie une fonction dérivable et ses dérivées successives. On note le plus souvent."

Présentations similaires


Annonces Google