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Equivalence entre les représentations d images à l aide de complexes et d ordres Sylvie Alayrangues Jacques-Olivier Lachaud Séminaire IRCOM-SIC juin 2002.

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1 Equivalence entre les représentations d images à l aide de complexes et d ordres Sylvie Alayrangues Jacques-Olivier Lachaud Séminaire IRCOM-SIC juin 2002

2 Plan Motivations Equivalence ordre/complexe propriétés intéressantes sur une sous-catégorie d ordres et de complexes : ordres et complexes SN ex : complexes simpliciaux, polyédriques, Z n Applications : Homotopies Groupe fondamental Simplification d un objet dans un espace

3 Motivations Représentations topologiques des images Modèles généraux : indépendants de la dimension, sans contrainte sur la nature du support de l image, sans contrainte géométrique…

4 Représentations à l aide d ordres et de complexes Ordres développés par Bertrand et al. Approche ensembliste Complexes proposés par Dominguez et al. Topologie combinatoire : complexes plongés dans un espace euclidien Différents résultats : définitions et algorithmes purement discrets : surfaces, homotopie, points simples / squelettisation, segmentation définitions par analogie avec le continu : surfaces, groupe fondamental, théorème de Seifert/Van Kampen

5 Points communs Eléments répartis entre deux classes : pixels de l image : -terminaux / n-cellules liens entre ces pixels : non -terminaux / k-cellules avec k < n

6 Ordre |X| = (X,α) X : ensemble déléments α : relation d ordre (i.e. relation binaire réflexive, transitive, antisymétrique) α -1 = β (X, β) ordre dual Ordre CF : X dénombrable localement fini : fini α-terminal Ordre CF

7 Représentation des ordres x2x2 x1x1 x3x3 x6x6 x5x5 x4x4 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 x 12 x 13 x 14 x 11 x2x2 x1x1 x3x3 x6x6 x5x5 x4x4 x7x7 x8x8 x9x9 x 10 x 12 x 13 x 14 x 11

8 Complexe cellulaire abstrait : C=(E,,dim) E : ensemble déléments abstraits, E E : relation binaire non réflexive, antisymétrique, transitive (relation de bord) dim : E I Z telle que dim(e) < dim(e) ssi e e (dimension) Complexe localement fini de dimension n: fini Complexe cellulaire abstrait

9 Représentation des complexes Restriction à des complexes polyédriques e5e5 e4e4 e2e2 e1e1 e7e7 e 10 e 11 e 12 e9e9 e8e8 e6e6 e3e3

10 C=(E,<,dim) |X|=(X, Lien complexe / ordre ???

11 Construire un complexe à partir d un ordre (1) -décomposition de lordre : famille {X i } fonction dim x X i, dim (x) = i x7x7 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x8x8 x9x9 x 10 x 11 x 12 X0X0 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4

12 Construire un complexe à partir d un ordre (2) Complexe cellulaire abstrait associé à |X| : C |X| =(E,,dim) x X, (x) E, (x,x) X X, x (x)/{x} then (x) (x), dim( (x)) = dim (x). Complexe cellulaire abstrait dual associé à |X| : C * |X| =(E *, *,dim * ) x X, * (x) E *, (x,x) X X, x (x)/{x} then * (x) * (x), dim( * (x)) = (dim (x)) - dim (x)) = dim * (x)).

13 Exemple x1x1 x2x2 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x9x9 e5e5 e4e4 e2e2 e1e1 e7e7 e 10 e 11 e 12 e9e9 e8e8 e6e6 e3e3 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 *

14 Exemple e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x9x9 x5x5 x4x4 x3x3 x 11 x 10 x9x9 x8x8 x7x7 x2x2 x1x1 x5x5 x6x6 * ordre dual e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e 10 e 11 e 12 e5e5 e6e6 e9e9 e8e8 e7e7

15 Ordre / Complexe dual -terminaux représentés par des n-cellules complexe pur : toute k-cellule est face dau moins une n-cellule

16 Correspondances ordre/complexe dual * ( (x)) = st( * (x)) * ( (x)) = cl( * (x)) topologies dAlexandroff : ouverts de |X| fermés de C * |X| fermés de |X|ouverts de C * |X|

17 Images des adhérences * ( (x)) = st( * (x)) * ( (x)) = cl( * (x)) x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7

18 Ouverts dans les ordres Ordre CF : S ouvert S={x S/ (x) S} Complexe dual : * (S) fermé * (S)=cl( * (S) ) x9x9 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7

19 Fermés dans les ordres CF-Order : S fermé S={x S/ (x) S} Dual abstract complex : * (S) ouvert * (S)=st( * (S)) x9x9 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7

20 Connexité entre les -terminaux / n-cellules Sélectionner des non -terminaux / des k-cellules (k

21 Deux approches pour déterminer la connexité maximale Topologique : par équivalence homotopique suppression itérative de points par rétractions élémentaires sans changement de la topologie -noyau Ensembliste : par examen des intersections des clôtures combinatoire de tout ensemble de n-cellules nombre minimal de k- cellules qui connectent le maximum de n-cellules Support

22 x1x1 x2x2 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x 11 x 12 x3x3 x8x8 x 13 x9x9 x 10 x1x1 x2x2 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x 11 x 12 x3x3 x8x8 x 13 x9x9 x 10 x1x1 x2x2 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x 11 x 12 x3x3 x8x8 x 13 x9x9 x 10 x1x1 x2x2 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x 11 x 12 x3x3 x8x8 x 13 x9x9 x 10 x1x1 x2x2 x 11 x 12 x3x3 x 13 Exemple d extraction d un noyau

23 Exemple de détermination d un support

24 Configuration problématique x1x1 x4x4 x5x5 x6x6 x2x2 e*1e*1 e*2e*2 e*5e*5 e*6e*6 e*4e*4 e*3e*3 x3x3

25 Ordres et Complexes Strongly Normal complexe SN pur : complexe localement fini l intersection des clôtures de tout ensemble de n-cellules est soit vide, soit la clôture d une cellule de dimension quelconque. ordre SN: Ordre CF L intersection des β-adjacences de tout ensemble de -terminaux est soit vide, soit la β-adjacence d un élément quelconque de l ordre

26 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 x 13 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 e * 13 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 x 13 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 e * 13 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 x 13 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 e * 13 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 x 13 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 e * 13 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 x 13 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 e * 13 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 x 13 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 e * 13 x1x1 x2x2 x4x4 x6x6 x7x7 x 10 x 11 x3x3 x8x8 x 12 x5x5 x 13 x9x9 e*1e*1 e*2e*2 e*3e*3 e*4e*4 e * 10 e * 11 e * 12 e*5e*5 e*6e*6 e*9e*9 e*8e*8 e*7e*7 e * 13 Exemple

27 Résultat principal O x : sous-ensemble de -terminaux d un ordre SN O K : sous-ensemble de n-cellules d un complexe SN tels que O K = * (O X ) -noyau de | β(O X )| = support de O K

28 " Strong weak lighting functions" Famille de fonctions permettant de formaliser différentes notions de connexité par sélection des cellules/éléments nécessaires valable pour un objet et son complémentaire Propriétés de ces fonctions pour tout objet O les pixels (n-cellules / -terminaux) de O sont sélectionnés seuls les éléments appartenant au support de O / -noyau de |β(O)| peuvent être sélectionnés si un élément est sélectionné pour un objet O, il est sélectionné pour l image le choix de sélectionner ou non un élément doit pouvoir se faire localement

29 Homotopie Transformations préservant la topologie squelettisation… Définition purement discrète sur les ordres suite d homotopies élémentaires -homotopie et β-homotopie Transfert sur les complexes -homotopie et -homotopie

30 Groupe fondamental Invariant algébrique utilisé pour comparer les formes des objets groupe composé des classes d équivalence pour la relation d homotopie de l ensemble des lacets ex : sphère / groupe fondamental trivial (i.e. elle est simplement connexe) Défini par Dominguez par analogie avec le continu construction de chemins et de lacets entre les n-cellules : un chemin de e à e est une fonction c dun intervalle [0,t max ] telle que c(0)=e, c(t max )=e et c(t) est alternativement une n-cellule et une k-cellule (k < n). Transfert sur les ordres : construction similaire de chemins et de lacets entre -terminaux

31 Exemple : chemins homotopes sur un objet O

32 Simplification Définition de points simples : points dont la suppression ne modifie ni la topologie de l objet ni celle de son complémentaire Caractérisation de points simples d un ordre par Bertrand caractérisation de points simples sur un objet de l ordre / du complexe (en cours)

33 Conclusion

34 Perspectives Vérification de la cohérence des notions de surface définies sur les ordres et les complexes Comparaison avec d autres modèles : cartes… Utilisation des ordres pour de l analyse d images multirésolution


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