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Du calcul numérique au calcul littéral Les différents statuts de « la lettre » et du « signe = »

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Présentation au sujet: "Du calcul numérique au calcul littéral Les différents statuts de « la lettre » et du « signe = »"— Transcription de la présentation:

1 Du calcul numérique au calcul littéral Les différents statuts de « la lettre » et du « signe = »

2 Un des objectifs de lenseignement mathématique au collège est que le calcul littéral prenne place à côté du calcul numérique dans les moyens dexpression et de résolution de problèmes… En 6° et 5°: On initie à lusage des lettres en choisissant des situations où leur utilité est reconnue par les élèves. En 4° et 3°: On aborde la pratique du calcul littéral mais dans lobjectif de résolution de problèmes.

3 Les différents statuts de la lettre Celui de variable : cest le cas où on lutilise pour produire une formule, un travail avec tableur permet alors de donner du sens à cette notion. Celui dindéterminée : symbolisant un nombre quelconque pour, par exemple, énoncer une propriété, elle prend un caractère duniversalité. Celui dinconnue : pour écrire et résoudre une équation, cela renvoie alors au statut du signe =, le tableur peut être utile comme instrument de test. Celui de paramètre : pour représenter une quantité connue par rapport à dautres lettres.

4 La rupture arithmétique/algèbre « écrire en fonction de… » Recherche de situations qui peuvent valider auprès des élèves lintroduction des lettres dans les calculs: Comment rendre la présence de la lettre progressivement nécessaire? Des exemples dactivités pour donner du sens: « les carrés accolés » « les carrés accolés » « le carré bordé » « le carré bordé » Le travail sur les formules, première rencontre avec les expressions algébriques est loccasion de les démystifier…elles apparaissent alors comme la traduction des méthodes de calcul mises en œuvre par les élèves…

5 Les différents statuts du signe = A lécole élémentaire : Annonce un résultat Communique la décomposition dun nombre. Très rarement exprime que deux écritures représentent le même nombre. Au collège : Il exprime quon a deux expressions dun même objet mathématique. Il rend compte de luniversalité dun énoncé. Il exprime un questionnement dans lécriture dune équation. Il est symbole daffectation.

6 Des exemples Il paraît intéressant dentraîner assez tôt les élèves à manipuler des égalités « complexes » par exemple, dans lesquelles une écriture littérale figure dans les deux membres: Compléter les points avec le même nombre pour que légalité soit vraie(ex1 et 2), avec les nombres de ton choix (ex3). Ex1: Ex2: Ex 3:

7 Il savère vite utile de recourir à lusage des lettres, en remarquant que le choix des lettres na pas dimportance sur la solution du problème…lélève doit également être amené à prendre conscience quune écriture littérale est porteuse dinformation et que les transformations de ces écritures vont permettre avec « économie » de résoudre le problème posé … Exemple: Un rectangle a pour dimensions 4x et 25x. Quelle est la mesure du côté du carré ayant la même aire?

8 Des situations pour construire des règles le calcul littéral et la démonstration … Règles de calcul Transformations décritures pour faire apparaître des propriétés Démonstrations de propriétés concernant les nombres entiers Comparaison de nombres, ordre et opérations Pb du choix de la démarche ( démos confiées aux élèves, guidées ou conduites par lenseignant ) Le contre exemple

9 Prouver que la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de trois. La moitié dun nombre est- elle toujours inférieure à ce nombre? Justifier; Le carré dun nombre est-t-il supérieur à ce nombre? Justifier. Parmi les expressions suivantes, lesquelles représentent le même nombre?…(ex) La différence entre le quart dun nombre et son inverse est nulle: quel est ce nombre ? Est-il le seul? La somme des inverses de deux nombres non nuls est- elle égale à linverse de leur somme? Justifie ta réponse. Le carré dun nombre entier naturel impair peut-il être pair? Justifie ta réponse. x et y sont des nombres supérieurs à 10, ranger dans lordre croissant: Le quotient de x par y, le quotient de la somme de x et de 5 par y et le quotient de la différence entre x et 10 par y.

10 La résolution de problèmes Le raisonnement arithmétique: du connu vers linconnu. La langue naturelle est largement utilisée pour décrire la démarche et exprimer les réponses. Légalité est indicateur de calculs. Le raisonnement algébrique: on désigne la ou les inconnues par des lettres et la démarche est inversée. Transformations décritures littérales sappuyant sur des règles formelles. = relation symétrique.

11 Deux situations exemples Je pense à un nombre je le multiplie par 4, je retranche 5 au résultat et je trouve11. Quel est le nombre auquel je pense? Pierre et Paul affichent le même nombre sur leurs calculatrices. Pierre multiplie le nombre affiché par 3 et soustrait 1 au résultat, Paul multiplie le nombre affiché par 2 et ajoute 5 au résultat.Ayant fini leurs calculs respectifs ils saperçoivent que leurs calculatrices affichent le même résultat. Quel était le nombre affiché au départ?

12 « Procédural ou structural? » Les deux aspects dune expression algébrique Le point de vue dynamique: on effectue une suite dopérations. Programme de calcul. Test sur des valeurs numériques. Tableur: étapes successives Le caractère statique, on peut décrire la forme de lexpression, la transformer… Traduire une expression. Tableur : nature de la formule écrite dans la dernière cellule

13 Atelier : du numérique au littéral Dans les programmes du cycle central, quels sont les points qui permettent des démonstrations dans le cadre algébrique: à quel moment, avec quels outils? Elaborer ou repérer des situations permettant de travailler laspect structural dune expression au niveau 5° et 4°. Trouver des situations permettant de mettre en évidence les limites de la résolution arithmétique dun problème en 4°. Exploiter des idées dactivités faisant intervenir les différents statuts de la lettre.

14 Un prisme P a pour base un triangle rectangle dont les côtés de langle droit mesurent 6cm et 5 cm, sa hauteur a pour mesure h. Un prisme P a pour base un parallélogramme dont laire mesure 15 cm² et sa hauteur h. Un prisme Pa pour base un trapèze dont laire est égale à celle du parallélogramme.Sa hauteur mesure 20cm et son volume est égal à la somme des deux autres. Quelles sont les valeurs de h et h? Exemple 1: Deux prismes P et Pont pour base un polygone daire a et pour hauteurs respectives 5,6cm et 3,5 cm.Quelle est la hauteur dun prisme de même base qui a pour volume la somme des volumes des deux prismes P et P. Même question en fixant une valeur numérique pour laire et en nommant h et h les mesures des deux hauteurs… Exemple 2:

15 Les carrés « accolés » Choix de la position du point C Niveau? Consigne: périmètre, aire? En fonction de… Production de formule Mise en équation Prolongement…etc

16 Le carré « bordé » Niveau? Consigne? Objectifs? Mise en œuvre classe Prolongements?


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