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La multiplication et la division par images mentales. Robert Lyons Mars 2009.

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1 La multiplication et la division par images mentales. Robert Lyons Mars 2009

2 -Table de Pythagore 3 -Nombres carrés 6 -Facteurs de Facteurs communs 9 -Nombres premiers 11 -Multiples de Élément neutre 13 -Élément absorbant 14 -Division par zéro 16 -Multiplier cest … 18 -Diviser cest … 20 -Racine carrée. 21 -Divisions 24 -Multiplications 26 -Multiplication de fractions.30 -Racine carrée dune fraction 37 -Multiplication relatifs.41 -Formules pour trouver les zéros. 42 -Priorité des opérations. 43 -Résolution de problèmes (1) 48 -Équations à 2 inconnues.53 -Arrondir des nombres.59 -Dénominateur commun.62 -Loi des signes. 71 -Les exposants. 76

3 Table de Pythagore moderne

4 Dans cette table, reconnaissez-vous les nombres carrés?

5 Table de Pythagore originale

6 Les rectangles orange représentent les nombres carrés

7 Quels sont les facteurs de 12 ? 1, 2, 3, 4, 6 et 12

8 Quels sont les facteurs de 12 ? «Facteur» signifie celui qui fait. Un rectangle est construit (fait) avec des côtés. 1 X 12 = 12 2 x 6 = 12 3 X 4 = 12

9 21 et 56 ont-ils des facteurs communs ? Facteurs de 21 : 1, 3, 7 et 21. Facteurs de 56 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 et 56. Un seul facteur commun : 7

10 21 et 56 ont-ils des facteurs communs ? 7 3 8

11 Où sont les nombres premiers ? Dans la première ligne et dans la première colonne seulement.

12 Où sont les multiples de 3 ? Ils sont tous dans la 3 e ligne ou dans la 3 e colonne.

13 Le nombre 1 est neutre en multiplication. 1 6 Un rectangle dont un des côtés mesure une unité possède autant dunités daire que son autre côté possède dunités de longueur.

14 Le nombre 0 est absorbant en multiplication ____________________________ Un rectangle dont la mesure dun des côtés est de 0 unité possède une aire de 0 unité.

15 Diviser 15 par 3 cest construire un rectangle dont laire est de 15 unités et la largeur de 3 unités. La longueur de ce rectangle représente la réponse à la division : 15 ÷ 3 = 5

16 Diviser par 0, cest impossible ! Soit 7 ÷ 0. Cela signifie quil faut daller un rectangle qui na aucune largeur au moyen de 7 unités daire différentes de 0. Même si le rectangle se prolonge à linfini, aucune unité daire naura encore été insérée.

17

18 Voici une image mentale fort nuisible : = 5 × 3 ou

19 La multiplication est-elle vraiment une addition répétée ? ½ x ½ = ¼ ½ + ½ + ½ + … = ¼ ??? (-3) X ( -4) = 12 (-3) + (-3) + (-3) + … = +12 ???

20 Diviser est-ce partager ou mesurer ? 1$ ÷ ½ = 1$ x 2 = 2$ 6m² ÷ 2m = 3m (-6$) ÷ (-3) = 2$ Partages ou mesures ?

21 Que représentent : La terrible racine carrée.

22 Fais un carré avec 4 grands carrés, 4 rectangles et 1 petit carré. À la portée des élèves de 7 ans !

23 2x + 1y 21 2,1 Trouver la racine carrée, cest trouver la longueur du côté dun carré dont laire est donnée.

24 Effectuer une division cest construire un rectangle dont laire et la longueur dun côté sont connus. La longueur du côté perpendiculaire au côté connu est la réponse de la division.

25 Arithmétique sur les entiers : 943 ÷ 23 = 41 Arithmétique sur les nombres à virgule : 9,43 ÷ 2,3 = 4,1 Algèbre : (8x² + 14xy + 3y²) ÷ (2x + 3y) = 4x + 1y

26 Multiplier deux nombres, cest construire un rectangle qui a pour hauteur et largeur la mesure des deux nombres à multiplier.

27 × 14

28 1 30,2 1,20,08 3 0,2 0,4 3,2 × 1,4

29 (3x + 2y) × (1x + 4y) 3x3x 2y2y 1x1x 4y4y 3 x² 2 xy 12 xy 8 y²

30 Voici le plancher de ma salle de bain. Multiplication de fractions

31 Cette fois, le bain a été installé. Multiplication de fractions

32 Le bain couvre partiellement 2 des 5 rangées. Multiplication de fractions 25

33 Le bain couvre partiellement 4 des 7 colonnes. Multiplication de fractions 4 7

34 Le bain couvre exactement 8 des 35 tuiles du plancher. Multiplication de fractions 8 35

35 La multiplication de fractions : un bain sur un plancher! Multiplication de fractions

36 La multiplication de fractions : un bain sur un plancher! Multiplication de fractions

37 Racine carrée Voici lillustration du plancher de ma seconde salle de bain.

38 Racine carrée Cette fois, la douche couvre 4 des 25 tuiles du plancher.

39 Racine carrée La douche occupe les 2/5 des rangées et des colonnes.

40 Racine carrée La racine carrée, cest la longueur du côté dun carré.

41 (7 – 2) (6 – 4) (7-2)(6-4) = = 10

42

43 Et si nous allions chercher des tomates à lépicerie ! Priorité des opérations

44 Commençons par trouver le (comptoir) des fruits et légumes. Priorité des opérations

45 Observons bien ce qui est exposé. Priorité des opérations

46 Combien de tomates voulons-nous ? Priorité des opérations

47 Et noublions pas de payer laddition! Priorité des opérations

48 Résolution de problèmes 1 Dans 5 ans, lâge de x sera la moitié de lâge de y qui a 21 ans actuellement. Quel est lâge de x ? Résolution de problèmes 1

49 Dans 5 ans, lâge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans. x y 21 Y a 21 ans actuellement. Résolution de problèmes 1

50 Dans 5 ans, lâge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans. xy 21 Dans 5 ans y aura 26 ans. 26 Résolution de problèmes 1

51 Dans 5 ans, lâge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans. xy Dans 5 ans lâge de x sera la moitié de celui de y, donc 13 ans Résolution de problèmes 1

52 Dans 5 ans, lâge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans x y Actuellement x a donc 8 ans, soit 5 ans de moins que lâge quil aura dans 5 ans Résolution de problèmes 1

53 Une compagnie, qui fabrique des boutons, les place sur des cartes. Sur des cartes de même couleur, le nombre de boutons est toujours le même. Dispose 12 boutons sur les cartes suivantes : Cet énoncé et ces dessins correspondent à léquation : 3y + 2x = 12 Équations à 2 inconnues

54 Voici une possibilité Les 3 y sont représentés par les rectangles bleus. Ils contiennent en tout 6 jetons, donc 3 y = 6 et y = 2. Les 2 x sont représentés par les rectangles roses. Ils contiennent aussi 6 jetons, donc 2 x = 6 et x = 3. Équations à 2 inconnues

55 En voici une autre Les 3 y sont représentés par les rectangles bleus. Ils contiennent en tout 12 jetons, donc 3 y = 12 et y = 4. Les 2 x sont représentés par les rectangles roses. Ils ne contiennent aucun jeton, donc 2 x = 0 et x = 0. Équations à 2 inconnues

56 Et une autre Les 3 y sont représentés par les rectangles bleus. Ils ne contiennent aucun jeton, donc 3 y = 0 et y = 0. Les 2 x sont représentés par les rectangles roses. Ils contiennent 12 jetons, donc 2 x = 12 et x = 6. Équations à 2 inconnues

57 Illustrons les 3 solutions trouvées dans un plan cartésien. x = 6, y = 0 x = 3, y = 2 x = 0, y = 4 Équations à 2 inconnues

58 Ces 3 points appartiennent à la droite 2 x + 3 y = 12. x = 6, y = 0 x = 3, y = 2 x = 0, y = 4 Équations à 2 inconnues

59 Arrondir des nombres Dans un gros volume, prenez la page 138. Trouvez maintenant la page la plus proche qui se termine par 0. Vous venez darrondir 138 à la dizaine près.

60 Prenez encore le nombre 138 et trouvez la page la plus proche qui se termine par 00. Vous venez darrondir 138 à la centaine près. Arrondir des nombres

61 Prenez le nombre 245 et trouvez la page la plus proche qui se termine par 0. Il y en a deux : 240 et 250. Par convention, on choisit 250 lorsquon demande darrondir 245 à la dizaine près. Arrondir des nombres

62 Lorsquun francophone, qui ne parle pas anglais, rencontre un anglophone, qui ne parle pas français, comment peuvent-ils communiquer ? Dénominateur commun

63 -En demandant un interprète; -En sexprimant par signes; -En utilisant une 3 e langue, connue des deux. Dénominateur commun

64 Voici une personne qui décrit la surface colorée de son plan. Elle dit que les 2/3 du plan sont colorés. Dénominateur commun

65 Une autre personne mentionne que les 3/5 de son plan sont colorés. Dénominateur commun

66 La première personne connaît la langue des tiers mais pas la langue des cinquièmes. La seconde personne connaît la langue des cinquièmes mais pas la langue des tiers. AU SECOURS ! Dénominateur commun

67 Fusionnons les découpages en tiers et en cinquièmes. Dénominateur commun

68 La surface est maintenant découpée en quinzièmes. Dénominateur commun

69 Et voici la langue des tiers traduite dans la langue des quinzièmes. Dénominateur commun

70 Au tour de la langue des cinquièmes dêtre traduite dans la langue des quinzièmes. Dénominateur commun

71 Voici un schéma qui représente le circuit électrique qui permet dallumer ou de fermer une ampoule électrique à partir de deux endroits différents. Dans un escalier par exemple. C1 et C2 sont les commutateurs à deux positions. Loi des signes

72 Les deux commutateurs permettent au courant de passer par le même fil, le fil +. Lampoule électrique est traversée par le courant qui passe par les composantes colorées en rouge. Elle brille (+). Loi des signes

73 La position des commutateurs(+ et –) ne permet pas que le courant suive un circuit fermé, sans trou. Lampoule ne peut briller (–) car aucun courant ne la traverse. Loi des signes

74 Les deux commutateurs permettent au courant de passer par le même fil, le fil –. Lampoule électrique est traversée par le courant qui passe par les composantes colorées en rouge. Elle brille (+). Loi des signes

75 La loi des signes en français Cest vrai (+) quil est poli (+), donc il est poli (+). Cest vrai (+) quil est impoli (–), donc il est impoli (–). Cest faux (–) quil est poli (+), donc il est impoli (–). Cest faux (–) quil est impoli (–), donc il est poli (+). Loi des signes

76 En mathématiques, les symboles + et – sont utilisés afin dexprimer diverses oppositions. Les exposants

77 En haut ou en bas, à gauche ou à droite, vrai ou faux, avant ou après, additionner ou soustraire, tout cela se résume à deux équipes, celle des + et celle des –. Les exposants

78 Voici un nombre exprimé de façon fort longue. Il y a certainement moyen de le simplifier. Les exposants

79 Le nombre 7 est incontournable. Notons-le. Les exposants

80 La seconde information importante est quil y a 2 nombres «7» de plus en haut (+) quen bas (–). Doù : Les exposants

81 Et après simplification : Les exposants

82 Voici un autre nombre : Les exposants

83 Le nombre 8 est incontournable. Notons-le. Les exposants

84 Cette fois, il y a trois 8 de plus en bas (–) quen haut (+), doù : Les exposants

85 Voici un troisième nombre : Les exposants

86 Le nombre 5 constitue linformation de base. Notons-le. Les exposants

87 Il ny a aucun nombre 5 de plus en haut ou en bas, donc ± 0 ou 0. Les exposants


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