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III: Hydrostatique des fluides III.1 Équations de la statique La statique des fluides concerne les fluides au repos. Dans ce cas, la vitesse est nulle,

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1 III: Hydrostatique des fluides III.1 Équations de la statique La statique des fluides concerne les fluides au repos. Dans ce cas, la vitesse est nulle, mais la pression varie au sein du fluide du fait de son poids propre. x y z Statique Dans toute la suite de ce chapitre, on se place dans le cas particulier mais très important de lhydrostatique: = cste Les isobares, les isochores et les isothermes sont horizontales en prenant la température comme une fonction de la pression et de la masse volumique T = T( p, ) La pression augmente linéairement avec la profondeur z Hydrostatique = Cte La loi de lhydrostatique est très simple: P + gz = cste. Cette constante se retrouve sous des vocables différents suivant les ouvrages. Cest la pression motrice – étoilée ou modifiée. On trouve très souvent pression étoilée, notée p*. Sa valeur dépend des références prises pour la pression et la cote z.

2 P h Exercice: Montrer que le niveau h dans le tube vertical est une mesure de la pression relative (/ à Patm) dans lécoulement. Exercice: On aspire de leau avec une paille recourbée. Dans chaque cas, discuter lévolution de la pression relative le long de la paille et expliquer ce quil se passe si on relâche la paille. h Mercure (Hg) Hg =13600 Kg/m 3 Exercice: Baromètre à mercure de Torricelli (1643) Schématiquement, ce baromètre est constitué dun long tube rempli de mercure que lon renverse dans une cuve de mercure en faisant attention à ce que lair ne pénètre pas dans le tube. On constate alors que le tube ne peut se vider complètement; la surface libre dans le tube se stabilise à une hauteur h au dessus du niveau de la cuve. -1 Expliquer pourquoi le tube ne se vide pas et dire ce quil y a entre le haut de la colonne de mercure et le haut du tube. -2 La pression atmosphérique standard étant de Pa, calculer h. -3 Calculer h si on remplace le mercure par de leau, conclusion… III: Hydrostatique des fluides

3 III.3 Poussée sur une surface (ouverte) La résultante des efforts exercés par leau sur la surface S est: Calcul dune composante horizontale de la résultante Ri Calcul de la composante verticale de la résultante Rz Patm ds z dsv Z=0 Poids deau entre la surface S et la surface libre Patm ds dsi S S1 S2 Si P z Z=0

4 Cas S1 -1 Calculer la composante sur, Ri, de la résultante des efforts sur la vanne -2 Calculer la composante sur, Rz, de la résultante des efforts sur la vanne Air, Patm = 0 Poids deau Cas S Cas S2 a b c Poids deau contribution sur a,b Poids deau contribution sur b,c III: Hydrostatique des fluides Exercice: Une vanne demi-cylindrique de centre O (sur la berge du bassin) de rayon R de largeur L (perpendiculairement à la feuille) est dans sa position fermée. Laxe de rotation de la vanne est laxe horizontal passant par O. La berge du bassin fait un angle de 45° avec lhorizontal. Applications numériques : H=4m, L=2m, R=1m, =45 degrés R H Eau O Application: Surface libre Vanne ½ cylindrique Berge du bassin

5 Exercice: Donner laction du fluide sur la surface dans les cas suivants: -cas 2: Citerne remplie plus que la moitié -cas 1: Citerne remplie moins que la moitié -cas 3: Caillou dans leau -cas 4: Ballon de rugby sur leau Exercice: Dans chacun des cas ci-dessous, la surface S de la face horizontale inférieure est identique. Donner dans chaque cas laction de leau sur cette face; conclusion… III: Hydrostatique des fluides

6 III.4 Poussée sur une surface fermée, théorème dArchimède III: Hydrostatique des fluides Le théorème dArchimède a été mis en évidence à travers les exemples du caillou et du ballon de rugby. Il sénonce de la façon suivante: « Tout corps plongé dans un liquide reçoit une poussée de bas en haut égale au poids du volume de liquide déplacé » Notons que nest en aucun cas la masse volumique du corps, mais celle du fluide. Si la masse volumique du fluide varie, la masse du volume de liquide déplacé est obtenue en prolongeant les isochores à lintérieur du corps S V III.5 Centre de poussée P sur une surface plane (ouverte) Iso- M ? P N S P est le barycentre des forces élémentaires p(N)ds

7 III: Hydrostatique des fluides Exercice: -1 Montrer que le centre de poussée sur une vanne plane rectangulaire de longueur L (largeur 1m), affleurante en surface, se situe au tiers inférieur de celle- ci. Ce résultat est indépendant de linclinaison de la vanne. -2 Donner le vecteur résultante. Exercice: La même plaque est maintenant immergée dune profondeur h. -1 expliquer qualitativement comment évolue la position du centre de poussée lorsque h augmente de 0 à linfini; quelle est sa position limite pour h tendant vers linfini ? -2 On remarque que le champ de pression sur la vanne est obtenu par la somme dun champ uniforme de valeur gh et du champ de lexercice précédent donner le vecteur résultante et le centre de poussée de chaque contribution donner la position du centre de poussée; vérifier le cas limite h tendant vers linfini. Patm = 0 z x L Patm = 0 z L h

8 III: Hydrostatique des fluides Patm =0, z =0 O G o L z O S Calcul pratique du centre de poussée sur une surface plane de forme quelconque (pour illustrer, on présente le cas dune forme triangulaire) On nomme 0 la position du sommet de la plaque On nomme G la position du centre de gravité géométrique de la plaque. On nomme P la position du centre de poussée sur la plaque. On nomme labscisse comptée à partir du centre de gravité géométrique. On montre que: b Exercice: Plaque rectangulaire: -1 Donner G et I -2 Retrouver lexpression de trouvée lors de lexercice précédent. P Exercice: Plaque triangulaire: - Donner G, I et Donner pour une plaque affleurante Vue à la plaque

9 III.6 Centre de poussée sur une surface fermée III: Hydrostatique des fluides Enoncé complet du théorème dArchimède: Le torseur équivalent des forces de pression sur un corps immergé est donné par la résultante et le moment résultant créés par la gravité inversée sur le volume de fluide placé fictivement à lintérieur du corps. => Le centre de poussée P est le centre de masse (gravité) du fluide placé fictivement à lintérieur du corps et tous les points P alignés. P O z Froid Chaud Exercice: On crée une gradient de température vertical constant dans un réservoir dhuile. Ce réservoir contient un barreau homogène libre en rotation autour de son centre géométrique. On néglige la compressibilité de lhuile devant sa dilatabilité, supposée constante dans la gamme des températures de lexpérience. -1 Donner, sans rien calculer, lallure des variations de T (température), et p. -2 Positionner les forces sappliquant sur le barreau, dans quel sens a t-il tendance à tourner dans la position du schéma ? -4 Quelle(s) est (sont) sa (ses) position(s) déquilibre. Discuter la stabilité de cette (ces) position(s).


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