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Chapitre 8: Solutions à certains exercices Dautres solutions peuvent sajouter sur demande: ou

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1 Chapitre 8: Solutions à certains exercices Dautres solutions peuvent sajouter sur demande: ou

2 E1 0 m2m2 m1m1 y U = 0 m2m2 m1m1 y 0 y2y2 y1y1 On ne change rien au problème en mettant les deux blocs au même niveau pour utiliser le même système de référence. Selon ce choix, les deux énergies potentielles initiales sont nulles. Comme le système part du repos, les énergies cinétiques sont également nulles et lénergie mécanique totale est nulle. Puisque le bloc m 1 descend à partir de zéro, son énergie potentielle devient négative et il perd de lénergie potentielle. Cette énergie se transforme en énergie cinétique des deux blocs ainsi quen énergie potentielle du bloc m 2 qui augmente.

3 E2 U = 0 y 0 y0y0 Lénergie initiale E i, qui est lénergie potentielle du bloc m 1 se trouvant à une hauteur y 0, est transformée en énergie cinétique des deux blocs. Lénergie potentielle de bloc m 2 ne change pas. U = 0 y 0 y0y0 m2m2 m1m1 m2m2 m1m1

4 Puisque m 2 > m 1 et que langle de m 2 est le plus grand, il est clair que m 2 va descendre et que m 1 va monter. Pour chacune des masses, il faut décider de lendroit ou U = 0. Le plus simple est de choisir les positions initiales des deux masse. Ainsi les énergies potentielles des masses sont initialement nulles. Lénergie potentielle finale de m 2 sera négative et celle de m 1 positive. E3

5 E5 y Il convient dabord de trouver lénergie mécanique totale E i dans la situation initiale car elle sera conservée par la suite. La vitesse sera maximale au plus bas de la trajectoire, là où y f = 0 et U = 0 puisquà cet endroit toute lénergie sest transformée en énergie cinétique. a)Langle θ f sera maximal lorsque la hauteur et donc lénergie potentielle seront au maximum. Ce sera le cas lorsque K f = 0 et v f = 0.

6 y = 0, U = 0 y 0 = 0,6 y Selon le système de référence choisi, y est négatif et donc aussi lénergie potentielle mgy. La bonne racine est donc m y? E9

7 E11 0 y1y1 y m2m2 m1m1 0 y1y1 y m2m2 m1m1

8 E13 U = 0 m1m1 m2m2 0 y1y1 y2y2 y m1m1 m2m2 0 y1y1 y2y2 y

9 Vu le système de référence, la position finale x sera négative et lénergie potentielle finale sera également négative. E14

10 Puisquil ny a pas de frottement, lénergie mécanique est constante (165 J). Il passera le point B si lénergie est supérieure ou égale à lénergie potentielle à ce point. De cette manière il reste de lénergie cinétique (8 J) et donc de la vitesse. Au point D, le mobile sarrête (K=0) après avoir compressé le ressort au maximum (x). E15

11 Comme il ny a pas de frottement, lénergie mécanique (potentielle + cinétique) totale est conservée. Il suffit de calculer cette énergie en A puis supposer quelle reste la même aux points B et C. E19

12 E30 0 y0y0 y f N mg f N v

13 vovo 0x vovo 0 x vovo 0 x A) B) C) E31

14 53 o 37 o 4 m x A C B E32

15 Cest léquivalent de lexercice E28, mais avec du frottement. Ici encore, vu le choix du système de référence, le x final est négatif. E34

16 Initialement, le bloc est au repos avec une énergie potentielle nulle au point x=0. Le ressort est initialement détendu à x=0. Lorsque le bloc descend dune distance x, son énergie potentielle devient –mgh et le ressort est étiré dune distance x. Notez que la masse sarrête momentanément avant de remonter; cest pourquoi on pose que v=0 pour trouve x max. E57

17 P5 Selon le principe de conservation de lénergie mécanique. lénergie cinétique en bas est égale à la somme des lénergies cinétique et potentielle en haut: De plus, nous pouvons appliquer la 2e loi de Newton en haut ( ) puis en bas ( ) de la trajectoire. En faisant la différence de ces deux équations et en combinant le résultat avec la première, on obtient le résultat recherché. x x

18 P7 A B Pour que la masse effectue un cercle complet, il lui faut une vitesse minimale au point B. À cette vitesse, le poids est égal à la force centripète nécessaire pour effectuer un cercle de rayon R. On trouve cette vitesse ( ) et on la substitue dans léquation de conservation de lénergie mécanique totale.

19 P8 Pour que le bloc puisse raser le sommet sans le toucher au point B, il faut que son poids soit égal à la force centripète nécessaire pour effectuer un cercle de rayon r. On trouve la vitesse ( ) qui en découle et on la substitue dans léquation de conservation de lénergie mécanique totale. A B


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